分析06-平方逼近-数值分析-教学--西南交通大学课件.ppt

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1、W Y第六章第六章函数逼近函数逼近（最佳平方逼近最佳平方逼近）6-1第章 W Y第六章目录第六章目录1最小二乘法原理和多项式拟合最小二乘法原理和多项式拟合2一般最小二乘拟合一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合3正交多项式曲线拟合正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合用离散正交多项式作曲线拟合4函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近5最佳一致逼近最佳一致逼近2第章 W Y4函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近前面对离散数据，我们利用最前面对离散数据，我们利用最小二乘法求拟合函数

2、（多项式），小二乘法求拟合函数（多项式），本节对一些连续函数，当其表达式本节对一些连续函数，当其表达式较复杂不易于计算和研究时，我们较复杂不易于计算和研究时，我们利用最小二乘法，求这些连续函数利用最小二乘法，求这些连续函数的近似函数（较简单的函数），称的近似函数（较简单的函数），称为为函数函数f(x)在在a,b上的最佳平方逼上的最佳平方逼函数函数(x)。3第章 W Y4.1基本方法基本方法设设f(x)在在a,b上连续，上连续，i(x)(i=0,1,2,m)在在a,b上线性无关，上线性无关，H=Span 0,1,m为为 k(x)的集合，求的集合，求(x)使：使：定义定义6.2连续情况下的连续情况

3、下的内积内积定义为：定义为：(x x)为权函数）为权函数）为权函数）为权函数）4第章 W YW Y最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式举例举例例例例例7 7求求求求f f(x x)=cos)=cos x x在在在在0,10,1上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式 问题问题问题问题：如何求二：如何求二：如何求二：如何求二次、三次最佳平次、三次最佳平次、三次最佳平次、三次最佳平方逼近多项式，方逼近多项式，方逼近多项式，方逼近多项式，可：可：可：可：（1 1）如上，如上，如上，如上，H H=1,=1,x x,x x2 2 即取即取即

4、取即取 2 2(x x)=)=x x2 2（2 2）或如后面例，按三项推式构造正交多项式或如后面例，按三项推式构造正交多项式或如后面例，按三项推式构造正交多项式或如后面例，按三项推式构造正交多项式6第章 W Y4.24.2利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式 从上节知道从上节知道从上节知道从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便解，

5、并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到正交多项式。正交多项式。正交多项式。正交多项式。定义定义定义定义6.36.3如果函数系如果函数系如果函数系如果函数系 0 0(x x),),1 1(x x),),mm(x x),),满足满足满足满足:则称此函数为区间则称此函数为区间则称此函数为区间则称此

6、函数为区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正的正的正的正交函数系。特别地，若交函数系。特别地，若交函数系。特别地，若交函数系。特别地，若A Ak k=1(k=0,1,2,)=1(k=0,1,2,)，则称其为，则称其为，则称其为，则称其为标准正交函数系，当标准正交函数系，当标准正交函数系，当标准正交函数系，当 k k(x x)为多项式时，称为为多项式时，称为为多项式时，称为为多项式时，称为正交多正交多正交多正交多项式。项式。项式。项式。7第章 W Y正交多项式举例正交多项式举例8第章 W YW Y定理定理6.4的证明的证明10第章 W Y定理定理6

7、.5证明类似于定理证明类似于定理证明类似于定理证明类似于定理6.26.2，略。，略。，略。，略。构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：定定定定理理理理6 6.5 511第章 W YW YLegendre多项式性质多项式性质（1 1）P Pk k(x x)是区间是区间是区间是区间 1,11,1上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)1 1的正交的正交的正交的正交函数系，且函数系，且函数系，且函数系，且 13第章 W YW YLegendre多项式性质（续多

8、项式性质（续2）（2 2）LegendreLegendre多项式满足递推公式多项式满足递推公式多项式满足递推公式多项式满足递推公式:例例例例如如如如：15第章 W Y（二）第一类切比雪夫（二）第一类切比雪夫（二）第一类切比雪夫（二）第一类切比雪夫（ChebyshevChebyshev）多项式）多项式）多项式）多项式 第一类第一类第一类第一类ChebyshevChebyshev多项式的一般表示式为：多项式的一般表示式为：多项式的一般表示式为：多项式的一般表示式为：令令令令x x=cos=cos ，当，当，当，当x x在在在在 1,11,1上变化时，对应的上变化时，对应的上变化时，对应的上变化时，

9、对应的 在在在在0,0,上变化，上变化，上变化，上变化，（6-126-12）可改写成：）可改写成：）可改写成：）可改写成：具体表达式为：具体表达式为：具体表达式为：具体表达式为：由上式容易看出，由上式容易看出，由上式容易看出，由上式容易看出，T Tn n(x x)是首是首是首是首项系数为项系数为项系数为项系数为2 2n n-1-1的的的的n n次次次次多项式。多项式。多项式。多项式。16第章 W YW Y第一类第一类Chebyshev多项式性质（续）多项式性质（续）性质（性质（性质（性质（3 3），（），（），（），（4 4）由余弦函数性质即得。由余弦函数性质即得。由余弦函数性质即得。由余弦函

10、数性质即得。18第章 W Y（三）拉盖尔（三）拉盖尔（Laguerre）多项式）多项式 LaguerreLaguerre多项式多项式多项式多项式定义为：定义为：定义为：定义为：其具体表达式为：其具体表达式为：其具体表达式为：其具体表达式为：19第章 W YLaguerre多项式性质多项式性质LaguerreLaguerre多项式有以下性质：多项式有以下性质：多项式有以下性质：多项式有以下性质：（1 1）L Ln n(x x)是区间是区间是区间是区间0,+0,+)上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)=)=e ex x的正交的正交的正交的正交多项多项多项多项 式系，且：式系

11、，且：式系，且：式系，且：（2 2）LaguerreLaguerre多项式满足递推公式：多项式满足递推公式：多项式满足递推公式：多项式满足递推公式：由定理由定理由定理由定理6.56.5可以逐步构造在区间可以逐步构造在区间可以逐步构造在区间可以逐步构造在区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正交多项式系的正交多项式系的正交多项式系的正交多项式系 n n(x x)进而求出满进而求出满进而求出满进而求出满足式（足式（足式（足式（6-86-8）的）的）的）的最佳平方最佳平方最佳平方最佳平方逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：也可直接利用已知的正

12、交多项式作出满足式（也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（6-86-8）的）的）的）的最佳平方最佳平方最佳平方最佳平方逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：20第章 W Y最佳平方最佳平方逼近多项式举例逼近多项式举例例例例例8 8 利用正交多项式求利用正交多项式求利用正交多项式求利用正交多项式求y=tg 1x在区间在区间在区间在区间0,10,1上的上的上的上的最佳平方逼近一次式。最佳平方逼近一次式。最佳平方逼近一次式。最佳平方逼近一次式。21第章 W Y例例8（续）（续）22第章 W YW YLague

13、rre多项式举例（例多项式举例（例10）例例10求求求求f f(x x)=)=e ex x 在在在在 1,11,1上的三次最佳平方逼近多项式上的三次最佳平方逼近多项式上的三次最佳平方逼近多项式上的三次最佳平方逼近多项式 24第章 W YLaguerre多项式举例（例多项式举例（例10续）续）若区间不一样，如求若区间不一样，如求若区间不一样，如求若区间不一样，如求f f(x x)=)=e ex x 在在在在0,10,1上的二次最佳平上的二次最佳平上的二次最佳平上的二次最佳平方逼近则需要变换区间，将方逼近则需要变换区间，将方逼近则需要变换区间，将方逼近则需要变换区间，将 1,11,1上的上的上的上的P Pn n(x x)变换为变换为变换为变换为0,10,1区区区区间上的正交多项式间上的正交多项式间上的正交多项式间上的正交多项式:25第章 W Y第六章第六章结 束6-26第章 W YW Yx00.20.61.01.31.61.71.81.9y0 2.5 4.0 5.7 3.5 2.0 1.02.03.5x2.22.32.52.62.93.13.43.84.1y4.07.07.59.910.911.913.513.011.9x4.44.74.84.95.05.15.3y9.06.54.01.50.0 2.5 5.0观测数据表观测数据表28第章