高考数学大一轮复习第八章立体几何8-4直线平面平行的判定与性质教师用书.doc
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1、1 / 21【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何精选高考数学大一轮复习第八章立体几何 8-48-4直线平面平行的判定与性质教师用书直线平面平行的判定与性质教师用书1线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)la,a,l,l性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l,l,b,lb2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两
2、个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a,b,abP,a,b,性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,a,b,ab【知识拓展】重要结论:(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a,a,则;(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a,b,则ab;2 / 21(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若 ,则.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面( )(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那
3、么这两个平面平行( )(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行,则 a.( )(6)若 ,直线 a,则 a.( )1(教材改编)下列命题中正确的是( )A若 a,b 是两条直线,且 ab,那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a,那么 a 与 内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线 a,b 和平面 满足 ab,a,b,则 b答案 D解析 A 中,a 可以在过 b 的平面内;B 中,a 与 内的直线可能异面;C 中,两平面可相交;D 中,由直线与平面平行的判定定理知,3 / 21
4、b,正确2(2016烟台模拟)若平面 平面 ,直线 a平面 ,点B,则在平面 内且过 B 点的所有直线中( )A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一与 a 平行的直线答案 A解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A.3过三棱柱 ABCA1B1C1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1 平行的直线共有_条答案 6解析 各中点连线如图,只有平面 EFGH 与平面 ABB1A1 平行,在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意4. 如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则
5、四边形 EFGH 的形状为_答案 平行四边形解析 平面 ABFE平面 DCGH,又平面 EFGH平面 ABFEEF,平面 EFGH平面 DCGHHG,EFHG.同理 EHFG,四边形 EFGH 的形状是平行四边形4 / 21题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点 1 直线与平面平行的判定例 1 如图,四棱锥 PABCD 中,ADBC,ABBCAD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点(1)求证:AP平面 BEF;(2)求证:GH平面 PAD.证明 (1)连接 EC,ADBC,BCAD,BC 綊 AE,四边形 ABCE 是平行
6、四边形,O 为 AC 的中点又F 是 PC 的中点,FOAP,FO平面 BEF,AP平面 BEF,AP平面 BEF.(2)连接 FH,OH,F,H 分别是 PC,CD 的中点,FHPD,FH平面 PAD.又O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点,OHAD,OH平面 PAD.又 FHOHH,平面 OHF平面 PAD.5 / 21又GH平面 OHF,GH平面 PAD.命题点 2 直线与平面平行的性质例 2 (2016长沙模拟) 如图,四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 2.点 G,E,F,H 分别是棱PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH平面 ABCD
7、,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若 EB2,求四边形 GEFH 的面积(1)证明 因为 BC平面 GEFH,BC平面 PBC,且平面 PBC平面 GEFHGH,所以 GHBC.同理可证 EFBC,因此 GHEF.(2)解 如图,连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK.因为 PAPC,O 是 AC 的中点,所以 POAC,同理可得 POBD.又 BDACO,且 AC,BD 都在底面内,所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD,且 PO平面 GEFH,所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK,所以 POGK,
8、且 GK底面 ABCD,从而 GKEF.6 / 21所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8,EB2 得 EBABKBDB14,从而 KBDBOB,即 K 为 OB 的中点再由 POGK 得 GKPO,即 G 是 PB 的中点,且 GHBC4.由已知可得 OB4,PO6,所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 SGK318.思维升华 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理(,aa);(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa)如图所示,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E,F,G,H
9、 分别在 BD,BC,AC,AD 上,且 CDAB.求证:四边形 EFGH 是矩形证明 CD平面 EFGH,而平面 EFGH平面 BCDEF,CDEF.同理 HGCD,且 HEAB,EFHG.同理 HEGF,7 / 21四边形 EFGH 为平行四边形CDEF,HEAB,HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角(或补角) 又CDAB,HEEF.平行四边形 EFGH 为矩形题型二 平面与平面平行的判定与性质例 3 如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:(1)B,C,H,G 四点共面;(2)平面 EFA1平面 BCHG.证
10、明 (1)G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点,GH 是A1B1C1 的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G 四点共面(2)E,F 分别是 AB,AC 的中点,EFBC.EF平面 BCHG,BC平面 BCHG,EF平面 BCHG.A1G 綊 EB,四边形 A1EBG 是平行四边形,8 / 21A1EGB.A1E平面 BCHG,GB平面 BCHG,A1E平面 BCHG.A1EEFE,平面 EFA1平面 BCHG.引申探究1在本例条件下,若 D 为 BC1 的中点,求证:HD平面 A1B1BA.证明 如图所示,连接 HD,A1B,D 为 BC1 的中点,H 为 A1
11、C1 的中点,HDA1B,又 HD平面 A1B1BA,A1B平面 A1B1BA,HD平面 A1B1BA.2在本例条件下,若 D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点,求证:平面A1BD1平面 AC1D.证明 如图所示,连接 A1C 交 AC1 于点 M,四边形 A1ACC1 是平行四边形,M 是 A1C 的中点,连接 MD,D 为 BC 的中点,A1BDM.A1B平面 A1BD1,9 / 21DM平面 A1BD1,DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1 綊 BD,四边形 BDC1D1 为平行四边形,DC1BD1.又 DC1平面 A1BD1,BD1平面 A1BD1,DC1平面 A1B
12、D1,又DC1DMD,DC1平面 AC1D,DM平面 AC1D,平面 A1BD1平面 AC1D.思维升华 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”的相互转化(2016西安模拟) 如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O底面 ABCD,ABAA1.(1)证明:平面 A1BD平面 CD1B1;(2)求三棱
13、柱 ABDA1B1D1 的体积(1)证明 由题设知,BB1 綊 DD1,四边形 BB1D1D 是平行四边形,BDB1D1.10 / 21又 BD平面 CD1B1,B1D1平面 CD1B1,BD平面 CD1B1.A1D1 綊 B1C1 綊 BC,四边形 A1BCD1 是平行四边形,A1BD1C.又 A1B平面 CD1B1,D1C平面 CD1B1,A1B平面 CD1B1.又 BDA1BB,平面 A1BD平面 CD1B1.(2)解 A1O平面 ABCD,A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1 的高又 AOAC1,AA1,A1O1.又 SABD1,SABDA1O1. 1 11三棱柱ABDA B DV题型
14、三 平行关系的综合应用例 4 (2016盐城模拟) 如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由解 方法一 存在点 E,且 E 为 AB 的中点时,DE平面 AB1C1.下面给出证明:如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF,则 DFB1C1,AB 的中点为 E,连接 EF,ED,11 / 21则 EFAB1,B1C1AB1B1,平面 DEF平面 AB1C1.而 DE平面 DEF,DE平面 AB1C1.方法二 假设在棱 AB 上存在点 E,使得 DE平面 AB
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