有理系数多项式与矩阵的相似对角化.ppt

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1、带余除法定理带余除法定理带余除法定理带余除法定理 设设设设 a a,b b Z,Z,b b 0 0,则存在则存在则存在则存在 q q,r r Z,Z,使使使使 a a=bqbq+r r,0 0 r r|0,0,t t 0,0,n=s+tn=s+t,因为因为因为因为 p p|a a0 0,但但但但 p p2 2 不能整除不能整除不能整除不能整除 a a0 0,所以不妨设所以不妨设所以不妨设所以不妨设 p p|b b0 0,但不能整除但不能整除但不能整除但不能整除 c c0 0,又因为又因为又因为又因为 p p不能整除不能整除不能整除不能整除 a an n,故故故故 p p 不能整除不能整除不能整

2、除不能整除 b bs s,设设设设 p p 能整除能整除能整除能整除 b b0 0,b b1 1,b bk k11,但但但但 p p 不能整除不能整除不能整除不能整除 b bk k,所以所以所以所以 p p 不能整除不能整除不能整除不能整除 a ak k =b b0 0c ck k+b b1 1c ck k11+b bk k11c c1 1+b bk kc c0 0,这里这里这里这里 k k s s n n,与题设矛盾与题设矛盾与题设矛盾与题设矛盾.7定义定义定义定义6 6 设设设设 f f(x x),),g g(x x)ZZx x,若存在若存在若存在若存在 q q(x x)Z Z x x,使

3、得使得使得使得 f f(x x)=g g(x x)q q(x x),),则称在则称在则称在则称在 Z Zx x 中中中中 g g(x x)能整除能整除能整除能整除 f f(x x),),g g(x x)称为称为称为称为 f f(x x)在在在在 Z Zx x 中的因式中的因式中的因式中的因式,f f(x x)称为称为称为称为 g g(x x)在在在在 Z Zx x 中的倍式中的倍式中的倍式中的倍式,否否否否则称则称则称则称 g g(x x)在在在在 Z Zx x 中不能整除中不能整除中不能整除中不能整除 f f(x x).).在在在在 Z Zx x 中中中中 2 2 不能整除不能整除不能整除不

4、能整除 x x.在在在在 Z Zx x 中带余除法定理不成立中带余除法定理不成立中带余除法定理不成立中带余除法定理不成立,例如不存在整系数多项式例如不存在整系数多项式例如不存在整系数多项式例如不存在整系数多项式 q(x)q(x)和次数小于和次数小于和次数小于和次数小于 deg 2=0 deg 2=0 的整的整的整的整系数多项式系数多项式系数多项式系数多项式(只能是零多项式只能是零多项式只能是零多项式只能是零多项式),),使得使得使得使得 x x=2q(=2q(x x)+0.)+0.若整系数多项式若整系数多项式若整系数多项式若整系数多项式 f f(x x)可表为两个整系数多项式可表为两个整系数多

5、项式可表为两个整系数多项式可表为两个整系数多项式 g g(x x)和和和和 h h(x x)的乘积的乘积的乘积的乘积,且且且且 f f(x x),),g g(x x)和和和和 h h(x x)均不等于均不等于均不等于均不等于零或正负零或正负零或正负零或正负1,1,则则则则称整系数称整系数称整系数称整系数 f f(x x)在在在在 Z Zx x 中可约中可约中可约中可约,否则称否则称否则称否则称 f f(x x)在在在在 Z Zx x 中是不中是不中是不中是不可约的可约的可约的可约的.0 0和正负和正负和正负和正负1 1在在在在 Z Zx x 中既不是可约的中既不是可约的中既不是可约的中既不是可

6、约的,也不是不可约的也不是不可约的也不是不可约的也不是不可约的.P.17 P.17倒数第倒数第倒数第倒数第7979行改错行改错行改错行改错.8例例例例4 4 判断下面的结论是否正确判断下面的结论是否正确判断下面的结论是否正确判断下面的结论是否正确,并说明理由并说明理由并说明理由并说明理由:(1)(1)2 2x x 是是是是 Z Zx x 中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式.(2)(2)2 2 是是是是 Z Zx x 中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式.(3)(3)2 2 是是是是 Q Qx x 中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式

7、.解解解解(1)(1)2 2x x 是是是是 Z Zx x 中可约多项式中可约多项式中可约多项式中可约多项式,因为因为因为因为 2 2 和和和和x x是是是是 Z Zx x 中不中不中不中不可约多项式可约多项式可约多项式可约多项式.(2)(2)2 2是是是是 Z Zx x 中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式(3)(3)2 2 既不是既不是既不是既不是 Q Qx x 中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式中不可约多项式,也不是也不是也不是也不是QQx x 中可约中可约中可约中可约多项式多项式多项式多项式.9例例例例5 5 设设设设 p p 是一个素数是一个素数是一个素数

8、是一个素数,则则则则 f f(x x)=)=x xp-1p-1+x xp-2p-2+x x+1+1 在在在在 Q Q 上上上上不可约不可约不可约不可约.证明证明证明证明 由于由于由于由于 f f(x x)可约可约可约可约 f f(x x+1)+1)可约可约可约可约.由算术基本定理可知由算术基本定理可知由算术基本定理可知由算术基本定理可知 f f(x x+1)+1)满足满足满足满足 Eisenstein Eisenstein 判别法判别法判别法判别法,故故故故 f f(x x)在在在在 Q Q 上不可约上不可约上不可约上不可约.f f(x x)称为称为称为称为 p p 次分园多项式次分园多项式次

9、分园多项式次分园多项式.10例例例例6 6 由由由由P.12P.12例例例例8.88.8可知可知可知可知为为为为5 5次分园多项式次分园多项式次分园多项式次分园多项式x x4 4+x x3 3+x x2 2+x x+1=0+1=0 的根的根的根的根,为为为为 y y2 2+y y-1=0-1=0的根的根的根的根,由此可用尺规作由此可用尺规作由此可用尺规作由此可用尺规作正五边形正五边形正五边形正五边形.l l 17961796年高斯年高斯年高斯年高斯(Carl Friedrich Gauss,(Carl Friedrich Gauss,17771855)17771855)给出给出给出给出正十正十

10、正十正十 七边形七边形七边形七边形的作法的作法的作法的作法.高斯在高斯在高斯在高斯在1919岁时就发现了正十七边形的尺岁时就发现了正十七边形的尺岁时就发现了正十七边形的尺岁时就发现了正十七边形的尺 规作法规作法规作法规作法,对他本人可以说是刻骨铭心的事件对他本人可以说是刻骨铭心的事件对他本人可以说是刻骨铭心的事件对他本人可以说是刻骨铭心的事件.因此因此因此因此,在他在他在他在他 的墓碑上刻上了正十七边形的墓碑上刻上了正十七边形的墓碑上刻上了正十七边形的墓碑上刻上了正十七边形,作为永久的纪念作为永久的纪念作为永久的纪念作为永久的纪念.11第四讲第四讲第四讲第四讲 有理系数多项式与矩阵的相似对角化

11、有理系数多项式与矩阵的相似对角化有理系数多项式与矩阵的相似对角化有理系数多项式与矩阵的相似对角化 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵设设设设 V V 是是是是 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,1 1,2 2,n n 和和和和 1 1,2 2,n n 是是是是 V V 的的的的两组基两组基两组基两组基,这两组基之间有一个过渡矩阵这两组基之间有一个过渡矩阵这两组基之间有一个过渡矩阵这两组基之间有一个过渡矩阵 P,P,即即即即其中其中其中其中 P P 是是是是 n n 阶可逆阵阶可逆阵阶可逆阵阶可逆阵.又设又设又设又设

12、是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 上的一个线性变换上的一个线性变换上的一个线性变换上的一个线性变换,在这两组基下在这两组基下在这两组基下在这两组基下的矩阵分别是的矩阵分别是的矩阵分别是的矩阵分别是 A A 和和和和 B,B,即即即即由由由由(1),(2)(1),(2)和和和和(3)(3)式式式式,有有有有12由于由于由于由于 1 1,2 2,n n 线性无关线性无关线性无关线性无关,所以所以所以所以或或或或由此可见由此可见由此可见由此可见,同一个线性变换在不同基下的矩阵是由这两同一个线性变换在不同基下的矩阵是由这两同一个线性变换在不同基下的矩阵是由这两同一个线性变换在不同基下的

13、矩阵是由这两组基的过渡矩阵把它们联系在一起的组基的过渡矩阵把它们联系在一起的组基的过渡矩阵把它们联系在一起的组基的过渡矩阵把它们联系在一起的.我们把矩阵间的这种关系叫做我们把矩阵间的这种关系叫做我们把矩阵间的这种关系叫做我们把矩阵间的这种关系叫做相似关系相似关系相似关系相似关系.l l 设设设设 A,B A,B 是两个是两个是两个是两个 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵,如果存在如果存在如果存在如果存在一个一个一个一个 n n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P,P,使得使得使得使得 P P-1-1AP=B,AP=B,则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 B B 相似相似相似相似于矩阵于

14、矩阵于矩阵于矩阵 A,A,记作记作记作记作 A B.A B.l l 相似作为相似作为相似作为相似作为 n n 阶方阵之间的一种关系阶方阵之间的一种关系阶方阵之间的一种关系阶方阵之间的一种关系,满足以下三条性质满足以下三条性质满足以下三条性质满足以下三条性质:(1)(1)自反性自反性自反性自反性:AA;AA;(2)(2)对称性对称性对称性对称性:若若若若AB,AB,则则则则BA;BA;(3)(3)传递性传递性传递性传递性:若若若若AB,BC,AB,BC,则则则则AC.AC.l l 由于矩阵的相似关系有对称性由于矩阵的相似关系有对称性由于矩阵的相似关系有对称性由于矩阵的相似关系有对称性,如果如果如

15、果如果A A相似于相似于相似于相似于B,B,则则则则 B B 也也也也 相似于相似于相似于相似于A,A,以后就简单称作以后就简单称作以后就简单称作以后就简单称作A A与与与与B B相似或相似或相似或相似或 A,B A,B 是相似矩阵是相似矩阵是相似矩阵是相似矩阵.13(1)(1)相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的行列式.(2)(2)相似矩阵有相同的可逆性相似矩阵有相同的可逆性相似矩阵有相同的可逆性相似矩阵有相同的可逆性,且如果且如果且如果且如果A B,A B,那么那么那么那么 A A-1-1 B B-1-1.(3)(3)如果如果如果如果 A B,

16、A B,则则则则 A Amm B Bmm,其中其中其中其中 m m 是正整数是正整数是正整数是正整数.(4)(4)若若若若 A B,A B,设设设设 f f(X X)是一个一元多项式是一个一元多项式是一个一元多项式是一个一元多项式,则则则则 f f(A)(A)f f(B).(B).(5)(5)相似矩阵有相同特征多项式相似矩阵有相同特征多项式相似矩阵有相同特征多项式相似矩阵有相同特征多项式.(6)(6)相似矩阵具有相同的特征值、相似矩阵具有相同的特征值、相似矩阵具有相同的特征值、相似矩阵具有相同的特征值、迹迹迹迹(trA)(trA)和行列式和行列式和行列式和行列式.14例例例例1 1 当当当当

17、x x,y y 满足满足满足满足()()时时时时,矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与与与与 B B 相似相似相似相似,这里这里这里这里(1)(1)x x=0=0 且且且且 y y=0,(2)=0,(2)x x=0=0 或或或或 y y=0,(3)=0,(3)x x=y y,(4),(4)x x y.y.解解解解 若若若若 A A 与与与与 B B 相似相似相似相似,则则则则 A A 与与与与 B B 的特征多项式相等的特征多项式相等的特征多项式相等的特征多项式相等,即即即即令令令令 =0 =0 可得可得可得可得(x x-y y)2 2=0,=0,所以所以所以所以 x x=y y,再令再令再令再令 =

18、1 =1 可得可得可得可得 x x2 2+y y2 2=0,=0,所以所以所以所以 2 2x x2 2 =0,=0,故故故故 x x=y y =0,=0,答案只可能为答案只可能为答案只可能为答案只可能为(1),(1),下面我们来证明当下面我们来证明当下面我们来证明当下面我们来证明当 x x=y y=0 =0 时时时时,矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 和和和和 B B 是相似的是相似的是相似的是相似的.15即要证明即要证明即要证明即要证明可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵 P P 使得使得使得使得 P P-1-1AP=B=diag(0,1,2)AP=B=diag(0,1,2).我们先分析如下我们先分析如下我们先

19、分析如下我们先分析如下:相似，即存在三阶相似，即存在三阶相似，即存在三阶相似，即存在三阶用用用用 X X1 1,X,X2 2,X,X3 3 表示表示表示表示 P P 的三个列向量的三个列向量的三个列向量的三个列向量,即设即设即设即设 P=(X P=(X1 1,X,X2 2,X,X3 3).).则则则则 P P-1-1AP=diag(0,1,2),AP=P diag(0,1,2),AP=diag(0,1,2),AP=P diag(0,1,2),即即即即 (AX (AX1 1,AX,AX2 2,AX,AX3 3)=(0,X)=(0,X2 2,2X,2X3 3),),等式两边的列向量应当依次相等等式

20、两边的列向量应当依次相等等式两边的列向量应当依次相等等式两边的列向量应当依次相等,所以所以所以所以:AXAX1 1=0,AX=0,AX2 2=X=X2 2,AX,AX3 3=2X=2X3 3,反之设反之设反之设反之设 X X1 1,X,X2 2,X,X3 3 是三个是三个是三个是三个线性无关线性无关线性无关线性无关的列向量的列向量的列向量的列向量,满足满足满足满足:AXAX1 1=0,AX=0,AX2 2=X=X2 2,AX,AX3 3=2X=2X3 3,令令令令 P=(X P=(X1 1,X,X2 2,X,X3 3),),则则则则AP=A(XAP=A(X1 1,X,X2 2,X,X3 3)=

21、(AX)=(AX1 1,AX,AX2 2,AX,AX3 3)=()=(0 0,X,X2 2,2X,2X3 3)=(X =(X1 1,X,X2 2,X,X3 3)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2),)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2),P P-1-1AP=diag(0,1,2)=B.AP=diag(0,1,2)=B.16故故故故 A A 与与与与 B B 相似相似相似相似 存在存在存在存在三个线性无关的列向量三个线性无关的列向量三个线性无关的列向量三个线性无关的列向量 X X1 1,X,X2 2,X,X3 3 满足满足满足满足 AX AX1 1=0,AX=0,AX2

22、2=X=X2 2,AX,AX3 3=2X=2X3 3,即即即即 A A 有三个线性无关有三个线性无关有三个线性无关有三个线性无关的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量,下面我们先来求下面我们先来求下面我们先来求下面我们先来求 A A 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量.将将将将 1 1=0=0 代入代入代入代入 (I-A)X=0 I-A)X=0 得到得到得到得到(-A)X=0,(-A)X=0,即即即即解得基础解系解得基础解系解得基础解系解得基础解系:证明证明证明证明因此属于因此属于因此属于因此属于 1 1=0=0的全部特征向量就是的全部特征向量就是的全部特征向量就是的全部特征向量就是

23、k kX X1 1,k k 取遍所有非零数取遍所有非零数取遍所有非零数取遍所有非零数.将将将将 2 2=1=1 代入代入代入代入 (I-A)X=0 I-A)X=0 得到得到得到得到(I-A)X=0,(I-A)X=0,即即即即解得基础解系解得基础解系解得基础解系解得基础解系:17因此属于因此属于因此属于因此属于 2 2=1=1 的全部特征向量就是的全部特征向量就是的全部特征向量就是的全部特征向量就是 k kX X2 2,k k 取遍所有非零数取遍所有非零数取遍所有非零数取遍所有非零数.将将将将 3 3=2=2 代入代入代入代入 (I-A)X=0 I-A)X=0 得到得到得到得到 (2I-A)X=

24、0,(2I-A)X=0,即即即即解得基础解系解得基础解系解得基础解系解得基础解系:因此属于因此属于因此属于因此属于 3 3=2=2 的全部特征向量就是的全部特征向量就是的全部特征向量就是的全部特征向量就是 k kX X3 3,k k 取遍所有非零数取遍所有非零数取遍所有非零数取遍所有非零数.显然显然显然显然 X X1 1,X,X2 2,X,X3 3 线性无关线性无关线性无关线性无关,是是是是 A A 的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量的三个线性无关的特征向量,令令令令 P=(X P=(X1 1,X,X2 2,X,X3 3),),则则则则 P P 可逆可逆可

25、逆可逆,且且且且 AP=A(X AP=A(X1 1,X,X2 2,X,X3 3)=(AX)=(AX1 1,AX,AX2 2,AX,AX3 3)=(=(0 0,X,X2 2,2X,2X3 3)=(X)=(X1 1,X,X2 2,X,X3 3)diag(0,1,2)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2)P P-1-1AP=diag(0,1,2)=B.AP=diag(0,1,2)=B.A A 与与与与 B B 相似相似相似相似18l l 现在可以明确提出我们的中心问题现在可以明确提出我们的中心问题现在可以明确提出我们的中心问题现在可以明确提出我们的中心问题:对于给

26、定方阵对于给定方阵对于给定方阵对于给定方阵 A,A,如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵 P P 使得使得使得使得 P P-1-1AP AP 为对角矩阵为对角矩阵为对角矩阵为对角矩阵,则称矩则称矩则称矩则称矩 阵阵阵阵 A A 可对角化可对角化可对角化可对角化.中心问题中心问题中心问题中心问题:A A 可对角化的条件可对角化的条件可对角化的条件可对角化的条件?l l 设设设设 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A=(A=(a aij ij)可对角化可对角化可对角化可对角化,即存在即存在即存在即存在 n n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P P 使得使得使

27、得使得 P P-1-1AP=diag(AP=diag(1 1,2 2,n n).).l l 用用用用 X X1 1,X,X2 2,X Xn n 表示表示表示表示 P P 的的的的 n n 个列向量个列向量个列向量个列向量,即即即即 P=(XP=(X1 1,X,X2 2,X Xn n).).则则则则 P P-1-1AP=diag(AP=diag(1 1,2 2,n n),),AP=P diag(AP=P diag(1 1,2 2,n n)19 等式两边的列向量应当依次相等等式两边的列向量应当依次相等等式两边的列向量应当依次相等等式两边的列向量应当依次相等,所以所以所以所以:l l 这说明这说明这

28、说明这说明,如果如果如果如果存在可逆矩阵存在可逆矩阵存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P P 使得使得使得使得 P P-1-1AP AP 是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵,那那那那 么么么么 P P 的列向量必须满足上述条件的列向量必须满足上述条件的列向量必须满足上述条件的列向量必须满足上述条件,即为即为即为即为 A A 的的的的 n n 个线性无关个线性无关个线性无关个线性无关 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量.l l 那么那么那么那么,如果如果如果如果能找到能找到能找到能找到 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,是不是也可是不是

29、也可是不是也可是不是也可 以以以以用这用这用这用这 n n 个向量为个向量为个向量为个向量为列列列列构造可逆矩阵构造可逆矩阵构造可逆矩阵构造可逆矩阵 P P 使得使得使得使得 P P-1-1APAP 是对角是对角是对角是对角 矩阵矩阵矩阵矩阵?l l 答案是肯定的答案是肯定的答案是肯定的答案是肯定的.20l l 设设设设 X X1 1,X,X2 2,X Xn n 是是是是 n n 个线性无关的列向量个线性无关的列向量个线性无关的列向量个线性无关的列向量,且满足且满足且满足且满足:AX AXi i =i iX Xi i,i i=1,2,=1,2,n n.如果令如果令如果令如果令 P=(X P=(

30、X1 1,X,X2 2,X,Xn n),),则则则则 AP=A(X AP=A(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)=(AX)=(AX1 1,AX,AX2 2,AX,AXn n)=(=(1 1X X1 1,2 2X X2 2,n nX Xn n)=(X)=(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)diag()diag(1 1,2 2,n n)=Pdiag(=Pdiag(1 1,2 2,n n)P P-1-1AP=diag(AP=diag(1 1,n n)l l 以上的讨论说明以上的讨论说明以上的讨论说明以上的讨论说明,矩阵能不能对角化的关键是能不能找到矩阵能不能对角化的关键是能不能找到矩阵能不能

31、对角化的关键是能不能找到矩阵能不能对角化的关键是能不能找到 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 X X1 1,X,X2 2,X Xn n,设设设设 AXAXi i =i iX Xi i,i i=1,2,=1,2,n n.令令令令 P=(X P=(X1 1,X,X2 2,X,Xn n),),则则则则 P P-1-1AP=diag(AP=diag(1 1,n n)21l l至少要解决以下问题至少要解决以下问题至少要解决以下问题至少要解决以下问题:(1)(1)怎样的怎样的怎样的怎样的 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 能找到能找到能找到能找到 n n 个线性无关的向量个线性无关的向量个线性无关的向量个线性无关的向量 X X1 1,X,X2 2,(2)(2),X Xn n,满足条件满足条件满足条件满足条件 AXAXi i =i iX Xi i,i i=1,2,=1,2,n n.(2)(2)如何找到这样的如何找到这样的如何找到这样的如何找到这样的 n n 个向量个向量个向量个向量,在可对角化的时候完成对角在可对角化的时候完成对角在可对角化的时候完成对角在可对角化的时候完成对角 化化化化.22第四讲习题第四讲习题习题八习题八(PP.18-19):26(1)(2),27(1)(3)(4)(5)23