机械制图7立体及其表面交线的投影.ppt

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1、Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University第七章1Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 7-1 7-1 立体及其表面上的点与线立体及其表面上的点与线 7-2 7-2 平面与立体表面相交平面与立体表面相交 7-3 7-3 两立体表面相交两立体表面相交 本章作业本章作业立体及其表面交线的投影立体及其表面交线的投影 Projection of Solids and Their Intersection2Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University7-1 立体及其表面上的点与线立

2、体及其表面上的点与线立体是由表面围成的封闭空间。立体是由表面围成的封闭空间。可分为两类：可分为两类：表面都是由平面围成的平面立体；表面都是由平面围成的平面立体；表面是由曲面或曲面与平面围成的曲面立体。表面是由曲面或曲面与平面围成的曲面立体。立体的投影立体的投影 就是构成该立体的所有表面（或所有顶就是构成该立体的所有表面（或所有顶点、棱线）的投影总和。点、棱线）的投影总和。3Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University棱柱棱柱 常常见见的的基基本本立立体体平平面面基基本本体体曲曲面面基基本本体体Primitives基本立体是构成复杂立体的基础基本立体是构成复

3、杂立体的基础棱锥棱锥圆锥圆锥圆环圆环圆球圆球圆柱圆柱回转体回转体4Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 在图示摆放位置，棱柱的两在图示摆放位置，棱柱的两底面为水平面，其俯视图中反映底面为水平面，其俯视图中反映实形。前后侧棱面是正平面，其实形。前后侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，侧棱面余四个侧棱面是铅垂面，侧棱面的水平投影都积聚，并与底面的的水平投影都积聚，并与底面的边重合。边重合。点的可见性判别：点的可见性判别：若点所在平面的投影可若点所在平面的投影可见，点的投影亦可见；若点见，点的投影亦可见；若点所在平面的投影积聚，点的所在平面的投影积聚

4、，点的投影亦可见。投影亦可见。由于棱柱的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相点与在平面上取点的方法相同。同。棱柱的三面投影棱柱的三面投影 棱柱表面取点棱柱表面取点 a a a (b)b b 棱柱棱柱由两个底面和若干侧棱面组成。侧由两个底面和若干侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线棱线，侧棱线侧棱线相互平行相互平行。1.棱柱棱柱一一.平面立体平面立体由若干平面所围成的几何体。由若干平面所围成的几何体。5Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 在图示摆放位置，其底

5、在图示摆放位置，其底面面ABC是水平面，在俯视是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面图上反映实形。侧棱面SAC是侧垂面，另两个侧是侧垂面，另两个侧棱面棱面SBC和和SAB是一般位是一般位置平面。置平面。()s s 2.棱锥棱锥棱锥的三面投影棱锥的三面投影 棱锥表面取点棱锥表面取点 k k k b abc a(c)b s n n 棱锥棱锥由一个底面和若干侧棱面组由一个底面和若干侧棱面组成。所有侧棱线交于锥顶。成。所有侧棱线交于锥顶。采用平面内取点、线的方采用平面内取点、线的方法。法。nABCS a c 6Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 圆柱面的水

6、平投影圆柱面的水平投影积聚积聚成一成一个圆，而在另外两个投影上分个圆，而在另外两个投影上分别是用两个方向的轮廓转向线别是用两个方向的轮廓转向线（素线）的投影表示。（素线）的投影表示。V、W投投影的轮廓转向线是影的轮廓转向线是不同素线不同素线的的投影。投影。二二.回转体回转体 (曲面基本立体曲面基本立体)1.圆柱体圆柱体圆柱体的三面投影圆柱体的三面投影 轮廓转向线轮廓转向线(素线素线)的投影分的投影分析与圆柱面的可见性判别析与圆柱面的可见性判别 圆柱面上取点圆柱面上取点 圆柱体圆柱体由由圆柱面圆柱面和两个和两个底面底面围成。而围成。而圆柱面圆柱面是由一是由一直线直线（AA1）绕与它绕与它平行平行

7、的的轴线轴线（OO1旋旋）转转形成。形成。直线直线AA1称为称为母线母线；圆柱面上任一位置的母线称为圆柱面的圆柱面上任一位置的母线称为圆柱面的素线素线。A1AOO1 a a a 利用投影利用投影的积聚性的积聚性1(2)121234343(4)7Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong UniversityO O O O1 投影分析：投影分析：圆柱面在圆柱面在W上的上的投影有积聚性，利用投影的投影有积聚性，利用投影的积聚性积聚性 c 1.标记特殊点标记特殊点A、B、C的投影；的投影；3.求求各点各点的侧面投影；的侧面投影；4.判别可见性；并光滑连接。判别可见性；并光滑连接。A

8、B c a c a b a b b 圆柱面上取线圆柱面上取线作图步骤作图步骤：2.求各点的水平投影；求各点的水平投影；8Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University几种柱面体的投影几种柱面体的投影 正圆柱正圆柱 斜圆柱斜圆柱 正椭圆柱正椭圆柱 斜椭圆柱斜椭圆柱 9Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University转向轮廓线线的投影与转向轮廓线线的投影与 曲面的可见性的判断曲面的可见性的判断 s 在图示摆放位置，在图示摆放位置，H面投影面投影为一圆。为一圆。V面和面和W面为等腰三面为等腰三角形，底边为圆锥底面的投影，角形，底边

9、为圆锥底面的投影，两腰是圆锥面上不同方向的两腰是圆锥面上不同方向的转转向轮廓线向轮廓线的投影。的投影。三个投影均三个投影均没有积聚性没有积聚性。O1O O s 2.圆锥体圆锥体圆锥体的三面投影圆锥体的三面投影 圆锥表面取点圆锥表面取点 k 辅助素线法辅助素线法辅助纬圆法辅助纬圆法(n)sn k k N圆锥体圆锥体是是由由圆锥面圆锥面和和底面底面构成。构成。圆锥面圆锥面是由是由直母线直母线（SA）绕与它）绕与它相交的轴线（相交的轴线（OO1）旋转而成。旋转而成。交点交点S称为称为锥顶锥顶；母线上的任意点（母线上的任意点（N）的轨迹为圆。）的轨迹为圆。SA如何在圆锥面如何在圆锥面上作直线？上作直线

10、？过锥顶作一过锥顶作一条素线。条素线。圆的半径？圆的半径？(n)bbbdd母线与轴交叉会得到什么立体？10Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University几种锥面体的投影几种锥面体的投影 正圆锥正圆锥 斜圆锥斜圆锥 正椭圆锥正椭圆锥 斜椭圆锥斜椭圆锥 11Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 三个视图分别是三三个视图分别是三个和圆球个和圆球直径相等的圆直径相等的圆，但分别是圆球表面三个方但分别是圆球表面三个方向的转向轮廓线的投影。向的转向轮廓线的投影。三个投影均三个投影均没有积聚性没有积聚性。3.圆球圆球圆球是由圆

11、球是由圆母线圆母线以其以其直径为轴直径为轴旋转而成。旋转而成。圆球的三面投影圆球的三面投影 转向轮廓线的投影与曲面转向轮廓线的投影与曲面可见性的判断可见性的判断圆球表面取点圆球表面取点 k 辅助圆法辅助圆法k k 圆的半径？圆的半径？12Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 在图示摆放位置，俯视图在图示摆放位置，俯视图是最大和最小纬圆的投影圆，是最大和最小纬圆的投影圆，主、左视图的直线段分别是圆主、左视图的直线段分别是圆母线上的最高点和最低点旋转母线上的最高点和最低点旋转形成的投影；各投影都是相应形成的投影；各投影都是相应方向的转向轮廓线的投影。方

12、向的转向轮廓线的投影。三个投影均三个投影均没有积聚性没有积聚性。主、左视图的投影轮廓内是圆主、左视图的投影轮廓内是圆环表面的环表面的四个层次四个层次的重叠。的重叠。4.圆环圆环圆环是由圆环是由圆母线圆母线绕其面上不过绕其面上不过圆心的圆心的轴轴旋转而成。旋转而成。圆球的三面投影圆球的三面投影 转向轮廓线的投影与曲面转向轮廓线的投影与曲面可见性的判断可见性的判断圆环表面取点圆环表面取点辅助纬圆法辅助纬圆法圆环的半径？圆环的半径？a(a)(a)13Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 按图示轴线垂直的位置摆按图示轴线垂直的位置摆放，俯视图是最大和最小纬

13、圆放，俯视图是最大和最小纬圆的投影圆；各投影都是相应方的投影圆；各投影都是相应方向的转向轮廓线的投影。向的转向轮廓线的投影。投影均投影均没有积聚性没有积聚性。5.组合回转体组合回转体 母线母线是由直线段、圆弧是由直线段、圆弧或其它曲线组成，母线绕或其它曲线组成，母线绕其中心的其中心的轴轴旋转而成。是旋转而成。是基本回转体的组合。基本回转体的组合。组组合合回回转转体体的的投投影影转向轮廓线的投影与曲面转向轮廓线的投影与曲面可见性的判断可见性的判断回转体表面取点回转体表面取点辅助纬圆法辅助纬圆法(辅助素线法不适用辅助素线法不适用)14Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong U

14、niversity7-2 7-2 平面与立体表面相交平面与立体表面相交可分为：可分为：与平面立体与平面立体表面的截交线表面的截交线；与曲面立体与曲面立体(回转体回转体)表面的截交线表面的截交线。截平面截平面截交线截交线截交线截交线平面与立体相交，截去体的一部分平面与立体相交，截去体的一部分截切截切；用于截切立体的平面用于截切立体的平面截平面截平面；截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截交线截交线；由截交线围成的平面图形由截交线围成的平面图形断面断面。断面断面15Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University是是由由平面折平面折线或平面曲或平面曲线所围

15、成所围成的封的封闭轮廓；轮廓；截交截交线的的几何形状几何形状取决于立体的几取决于立体的几何形状以何形状以及截平面与立体的相及截平面与立体的相对位位置置；截交截交线的的投影形状投影形状还取决于截平还取决于截平面与面与投影面的相投影面的相对位置。位置。截交截交线是截平面与立体表面的共是截平面与立体表面的共有有线,具有具有共有性共有性；截交线的性质截交线的性质 16Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 求截交线的方法：求截交线的方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。求截交

16、线的步骤：求截交线的步骤：截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交确定截交 线的几何形状线的几何形状确定截交线确定截交线 的投影特性的投影特性空间及投影分析空间及投影分析画出截交线的投影画出截交线的投影 充分利用充分利用积聚性积聚性和面上和面上取点线取点线的方法，分别求的方法，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。平面多边形的每条边是平面多边形的每条边是截平面截平面与与棱面棱面的交线的交线。平面立体的平面立体的截交线是由直线段围成的截交线是由直线段围成的封闭封闭平面多边形。平面多边形。一一.平面

17、立体表面的截交线平面立体表面的截交线17Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University截交线的实际形状？截交线的实际形状？截平面与立体截平面与立体的几个棱面相的几个棱面相交？交？投影分析投影分析例：求被截切后四棱锥的例：求被截切后四棱锥的H和和W面投影。面投影。空间分析空间分析求截交线求截交线采用棱线法采用棱线法分析棱线的投影分析棱线的投影检查检查 注意截交线投影的类似性注意截交线投影的类似性 3 2 1(4)1 2 4 3 1 24 3 3截交线的投影截交线的投影形状？形状？18Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong Universi

18、ty例：求截切后四棱锥被的例：求截切后四棱锥被的H和和W面投影。面投影。整理以后的结果整理以后的结果19Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。截交线的形状截交线的形状回转体形状回转体形状截平面与回转截平面与回转体轴线的相对位置体轴线的相对位置。求截交线的方法：求截交线的方法：素线法素线法、纬圆法纬圆法求截平面与回转体表面的求截平面与回转体表面的共有点共有点。利用截平面或回转体表面的利用截平面或回转体表面的积聚性积聚性。二二.回转体的截交线回转体的截交线 曲面立体曲面立体的截交线通常

19、是一条封闭的的截交线通常是一条封闭的平面曲线平面曲线，也可能是由截平面上的，也可能是由截平面上的曲线和曲线和直线直线所围成的所围成的平面图形或多边形平面图形或多边形。20Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 画截交线的投影画截交线的投影2.2.判别截交线的判别截交线的可见性可见性，然后将各点的同名投影，然后将各点的同名投影依次依次光滑光滑地地连接连接起来。起来。1.1.找出截交线上的找出截交线上的特殊点特殊点，对于投影为非圆曲线，对于投影为非圆曲线应适当补充截交线上的应适当补充截交线上的一般点一般点。求截交线的步骤：求截交线的步骤：空间及投影分析空

20、间及投影分析分析回转体的形状及截平面与分析回转体的形状及截平面与回转体轴线的相对位置回转体轴线的相对位置。分析截平面与投影面的相对分析截平面与投影面的相对位置以及位置以及积聚性积聚性、类似性类似性。确定截交确定截交 线的几何形状线的几何形状确定截交线确定截交线 的投影特性的投影特性 由截交线的由截交线的已知已知投影，求解投影，求解未知未知投影。投影。21Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University3.圆柱体的截交线圆柱体的截交线 圆柱体截交线的圆柱体截交线的形状形状取决于截平面与圆柱体取决于截平面与圆柱体轴线的轴线的位置关系位置关系。垂直垂直,圆圆平行平行

21、,两平行直线两平行直线倾斜倾斜,椭圆椭圆22Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。例：求侧面投影。平行截交和垂直截交；截平面都垂直于平行截交和垂直截交；截平面都垂直于V V面；圆面；圆柱水平投影积聚；截交线的形状和投影特点。柱水平投影积聚；截交线的形状和投影特点。作图步骤作图步骤整理整理W W面投影。面投影。立体被多立体被多个平面截切，需逐个截平面进行分析和作图。个平面截切，需逐个截平面进行分析和作图。空间分析空间分析 基本体投影；基本体投影；找出特殊点；找出特殊点；扩展讨论扩展讨论如果在圆柱上打一同如果在圆柱上打一同心圆柱孔，三面投

22、影心圆柱孔，三面投影会成为什么样？会成为什么样？23Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。例：求侧面投影。整理以后的结果整理以后的结果24Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。例：求侧面投影。25Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University整理以后的结果整理以后的结果例：求侧面投影。例：求侧面投影。26Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University对比分析对比分析对比分析对比分析转向轮廓线转向轮廓线无转

23、向轮廓线无转向轮廓线类似形类似形27Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求水平投影。例：求水平投影。28Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求水平投影。例：求水平投影。整理以后的结果整理以后的结果29Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求水平投影。例：求水平投影。30Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University整理以后的结果整理以后的结果例：求水平投影。例：求水平投影。31Gong Zhuorong,Beij

24、ing Jiaotong University对比分析对比分析对比分析对比分析类似形类似形类似形类似形无线无线无线无线无线无线32Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。例：求侧面投影。整理以后的结果整理以后的结果33Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University截交线形状直径面截交线形状直径面轴夹角；轴夹角；截交线的投影截交线的投影形状受截平面与投影面形状受截平面与投影面之间的交角影响之间的交角影响。什么情况下什么情况下投影为圆呢投影为圆呢？45 截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成45时。时。34

25、Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：求侧面投影例：求侧面投影 椭圆和矩形；截平面具椭圆和矩形；截平面具有有积聚性积聚性作图步骤作图步骤整理描深整理描深W W面投影。面投影。空间分析空间分析基本体的侧面投影；基本体的侧面投影；找出特殊点；找出特殊点；作出适当一般点；作出适当一般点；判别可见性，光滑连接判别可见性，光滑连接例：求侧面投影。例：求侧面投影。35Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University=90 900 4.圆锥体表面的截交线圆锥体表面的截交线过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线

26、双曲线双曲线 根据截平面与圆锥轴线的位置关系不同，截平面与根据截平面与圆锥轴线的位置关系不同，截平面与圆锥面的交线有圆锥面的交线有五种形状五种形状，这五种形状又统称这五种形状又统称圆锥曲线圆锥曲线。36Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong Universitydcecadb例：圆锥被正平面截切，补全正面投影。例：圆锥被正平面截切，补全正面投影。EDCABba截交线的空间截交线的空间形状是双曲线形状是双曲线截交线的投截交线的投影反映实形影反映实形e空间分析空间分析作图方法作图方法纬圆法，素线法纬圆法，素线法37Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong

27、University截交线的截交线的空间形状空间形状是椭圆是椭圆截交线的投截交线的投影反映类似影反映类似形形例：圆锥被正平面截切，完例：圆锥被正平面截切，完成侧面、水平投影。成侧面、水平投影。2.标记特殊点标记特殊点;如何确定椭圆另如何确定椭圆另一轴的端点？一轴的端点？3.补画一般点补画一般点;4.依次光滑连接各点依次光滑连接各点;5.分析轮廓转向线的投影，清理描深。分析轮廓转向线的投影，清理描深。空间分析空间分析作图方法作图方法纬圆法，素线法纬圆法，素线法作图步骤作图步骤1.作出圆锥的侧面轮廓作出圆锥的侧面轮廓;38Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong Univers

28、ity例：圆锥被正平面截切，完例：圆锥被正平面截切，完成侧面、水平投影。成侧面、水平投影。整理以后的结果整理以后的结果39Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University两个侧平面与圆球面的交线的投影，在两个侧平面与圆球面的交线的投影，在W面面上为部分圆弧，在水平面上积聚为直线段。上为部分圆弧，在水平面上积聚为直线段。5.圆球表面的截交线圆球表面的截交线 平面与圆球截交，截交线的实际形状平面与圆球截交，截交线的实际形状总是圆总是圆，但，但因截平面与投影面之间的位置关系不同，其截交线的因截平面与投影面之间的位置关系不同，其截交线的投影可能为投影可能为圆圆、椭圆椭

29、圆或积聚成一条或积聚成一条直线段直线段。水平面与圆球面的交线的投影，在水平面与圆球面的交线的投影，在H面上为面上为部分圆弧，在部分圆弧，在W面上积聚为直线段。面上积聚为直线段。例：求半球体截切后的水平和侧面投影。例：求半球体截切后的水平和侧面投影。空间分析空间分析40Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 6.组合回转体的截交线组合回转体的截交线空间分析：空间分析：组合回转体由哪些基本回转体构成，以及它们的组合回转体由哪些基本回转体构成，以及它们的位置关系，然后位置关系，然后分别求出分别求出这些基本回转体的截交线，并依次这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。其组合截交线应该是将其连接。其组合截交线应该是封闭封闭的。的。注意补充一般点注意补充一般点。例：求作顶尖的水平投影。例：求作顶尖的水平投影。41