保险精算汇总课件.ppt

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1、山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁保保 险险 学学第十章第十章 保险精算保险精算1山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁本章教学目的本章教学目的 在了解保险精算的产生与发展、基本任务和基本原理的基础上，掌握非寿险精算中保险费率的厘定方法、“大数”的测定、财务稳定性分析，以及自留额与分保额的决策；掌握寿险精算中生命表，趸缴纯保险费、年金保险纯保险费、年度纯保费和毛保险费的计算，以及理论责任准备金和实际责任准备金的计算。2山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第一第一节节 保险精算的基本原理保险精算的基本原理收收支相等原则 所谓收支相等原则

2、就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素，可分别采取三种不同的方式1.根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；2.根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等来计算；3.根据在其他某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。3山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第一节第一节 保险精算的基本原理保险精算的基本原理大数法则大数法则 （一）切比雪夫

3、（Chebyshev）大数法则设，是由两两相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：4这一法则的结论运用可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。D()C，D()C，D()C，则对于任意的0，都有：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁三、保险精算的基本原理三、保险精算的基本原理（二）贝努利(Bernoulli)大数法则 设Mn是n次贝努利实验中事件A发生的次数，而p是事件A在每次实验中出现的概率，则对于任意的0，都有：5山东大学张芳洁山东大学张芳洁

4、山东大学张芳洁山东大学张芳洁三、保险精算的基本原理三、保险精算的基本原理 （三）普阿松(Poisson)大数法则 假设某一事件在第一次实验中出现的概率为P P1 1,在第二次实验中出现的概率为P P2 2，在第n次实验中出现的概率为P Pn n。同样用M Mn n来表示此事件在n次实验中发生的次数，则依据普阿松大数法则有：对于任意的0，成立 6 普阿松大数法则的意思是说：当实验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁保险费率的厘定保险费率的厘定保险费率的厘定，关键在于纯费率的确定。而纯费率的确定通常有两种方法：一是依据统

5、计资料计算保额损失率，进而确定纯费率r；二是在损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值E除以保险金额I而得到r，即r=E/I。如果附加费率在保险费率中的比例为k，则保险费率可由R=r/(1-k)求得。7山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁保险费率的厘定保险费率的厘定 （一）观察法 观察法是指对个别标的的风险因素进行分析，观察其优劣，估计其损失概率，直接决定其费率。这种方法的采用，往往是因为保险标的数量较少，无法采用统计资料，因而主要凭借精算人员的知识与经验。观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确的特点，这是因为：在风险单位数量很少的情况下，不能

6、硬性将风险性质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用大数法则估计损失概率的前提条件；观察法制定费率，虽是针对个别标的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；观察法通常也要利用一些资料，只不过较为粗略而已。8山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 一、保险费率的厘定一、保险费率的厘定（二）分类法 分类法是指将性质相同的风险，分别归类，而对同一分类的各风险单位，根据它们共同的损失概率，订出相同的保险费率。分类费率确定之后，经过一定时期，如与实际经验有所出入，

7、则应进行调整，其调整公式为：9 公式中各符号的含义如下：M调整因素，即保险费应调整的百分比；A实际损失比率；E预期损失比率；C信赖因素。采用上面的公式来决定费率调整的百分比，关键在于确定信赖因素C的大小。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 一、保险费率的厘定一、保险费率的厘定（三）增减法 增减法是指在同一费率类别中，对被保险人给以变动的费率。其变动或基于在保险期间的实际损失经验，或基于其预想的损失经验，或同时以两者为基础。增减法对分类费率可能有所增加，但也可能有所减少，主要在于调整个别费率。1.表定法 采用表定法时，必须首先在各分类中对各

8、项特殊显著的风险因素设立客观标准。当被保险人购买保险时，就以这种客观标准来测度风险的大小。10山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 一、保险费率的厘定一、保险费率的厘定（三）增减法 2.经验法 采用经验法制定费率，是根据被保险人以往的损失经验，对按照分类费率制定的费率加以增减变动。所以经验法主要是一种调整费率的方法。采用经验法调整费率的公式为：11 公式中各符号的含义如下：M保险费率调整的百分比；A经验时期被保险人的实际损失；E被保险人适用某分类时的预期损失；C信赖因素；T趋势因素（考虑平均赔偿金额支出趋势及物价指数的变动）。山东大学张芳洁

9、山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 一、保险费率的厘定一、保险费率的厘定（三）增减法 3、追溯法 追溯法是与经验法相对的一种费率调整方式，它以保险期内被保险人的实际损失为基础，计算被保险人当期应缴的保险费。在使用这种方法时，先在保险期开始前以其他方式确定预缴保险费，然后在保险期满后，根据实际损失，对已缴保费进行增减变动，其计算公式如下：RP=BP+LLCFTM公式中符号的含义如下：RPRetrospectivePremium，为计算所得的追溯保险费；BPasicPremium，为基本保险费；LLoss，实际损失金额；LCFLossConversionF

10、actor，损 失 换 算因数（其数值大于1）；TMTaxMu l t i p l i e r，租 税 乘 数（其 数 值 大 于1）。12山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 一、保险费率的厘定一、保险费率的厘定（三）增减法 4、折扣法：对个别被保险人采用折扣费率。二、二、“大数大数”的测定的测定 在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定：13 公式中各个符号的含义为：N在一定条件下应具有的风险单位数。E相对于预期损失次数而言）实际损失变动次数与总数的比率，表示所需要的精确度。S实际损失与预期损失相差的标准差的个数。S的值可以说明对所

11、获得的结果的信赖程度。p某一特定标的（风险单位）发生损失的概率。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 三、财务稳定性分析三、财务稳定性分析 假定某公司承保的某项业务有n个保险单位，每个保险单位的保险金额为a元，纯费率为q。如果损失标准差为，则称a为赔偿金额标准差，用Q表示，即Q=a。把anq（即纯保费总额）称为保险赔偿基金，用P表示，即P=anq。赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值，称为财务稳定系数，用K表示，即K=Q/P。一般而言，财务稳定系数K越小，财务稳定性越好；反之，财务稳定系数K越大，财务稳定性越差。假定有n个保险标的，每个保险标

12、的的保险金额为a元，损失概率为p，纯费率为q，若损失服从二项分布，则有：14山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 假定保险公司承保有两类业务，第一类业务承保n n1 1个单位，每个单位的保险金额为a a1 1元，纯费率为q q1 1，第二类业务承保n n2 2个单位，每个单位的保险金额为a a2 2元，纯费率为q q2 2。则：15第一类业务上的出险次数标准差为：赔偿金额标准差为：财务稳定系数为：同样可以得到：如果把第一类业务与第二类业务合并，则赔偿金额标准差为：财务稳定系数为：其中山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第

13、二节第二节 非寿险精算非寿险精算 一般地，当有j个业务合并时，有：16 四、自留额与分保额的决策四、自留额与分保额的决策 假定在原有业务上，赔偿基金为，赔偿金额标准差为，则将另外接受n个保险单位，保额为x元，纯费率为q，则：其中，山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第二节第二节 非寿险精算非寿险精算 合并业务后：17 要使K K1+21+2仍维持K K1 1的值，则应有：整理后可得：当q十分小时，可近似得到：要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x以下，则可全部自留，对于保险金额超过x的新业务，自留额以x为限，超过部分予以分保。山东大学张芳洁山东大学张芳洁

14、山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 讨论问题的方便，本节的计算一律作如下几个假定：讨论问题的方便，本节的计算一律作如下几个假定：被保险人的生死遵循预定生命表所示的生死规律；同一种类的保险合同，全部于该年龄初同时订立；保险金于每年度末同时支付；保险费按预定利率复利生息，并假定年利率为i；假定保险金额均为1元（有特别说明者例外），因而所求得的纯保险费就是纯保险费率；总是假定生命表中某一年龄的人都向保险公司投保了某种保险，而不管实际情况是否这样，因为这并不影响结论的正确性。18山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 一、生命表一

15、、生命表 生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的，由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。生命表可以分为国民生命表和经验生命表。前者是根据全体国民或者以特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表，它主要来源于人口普查的统计资料。后者是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制的生命表。保险公司使用的是经验生命表。19山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 ：表示年龄 2

16、0：生存数，是指从初始年龄至满岁尚生存的人数。：死亡数，是指岁的人在一年内死亡的人数。：死亡率，表示岁的人在一年内死亡的概率。Px:生存率。表示岁的人在一年后仍生存的概率，即到岁时仍生存的概率。：平均余命或生命期望值。表示岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 21表示岁的人在年内死亡的概率。表示岁的人在生存年后年内死亡的概率。表示岁的人在年末仍生存的概率。表示岁的人在年末仍生存的概率。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 二、趸缴

17、纯保险费二、趸缴纯保险费（一）定期人寿保险的纯保险费 假定x岁的人投保n年定期人寿保险，年初每个投保人应缴的纯保险费为 元。依据收支相等原则，保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等。即有：22其中，为折现率。如果令：则可得到：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 二、趸缴纯保险费二、趸缴纯保险费（二）终身人寿保险的纯保险费 假设生命表中所定最终年龄为岁，则有：23如果令：则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示为：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 二、趸缴纯保险费二、趸缴纯保

18、险费（三）纯粹生存保险的纯保险费 假定x岁的人投保n年定期生存保险，所缴的纯保险费为 元。考虑利息因素，依据收支相等原则有：24整理后可得：（四）混合保险的纯保险费 如果把保险期限为n年的混合保险的纯保险费记 为 ，则山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 三、年金保险的纯保险费三、年金保险的纯保险费（一）即期年金 假定x岁的人投保期限为n年的年金保险，保险公司每年初支付保险金。设投保人应缴的纯保险费为 ，则依据收支相等原则应有：25如果将给付周期改为终身，则可得到：令，则可将上面两个公式变为：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张

19、芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 三、年金保险的纯保险费三、年金保险的纯保险费（一）即期年金 用与上面同样的方法可以得到期末付定期年金的纯保险费为：26期末付终身年金的纯保险费为：（二）延期年金 x岁的人投保期限为n年的年金保险，m年后开始（在期首）给付，即延期m年。表示n年定期期首付延期年金的纯保险费，由收支相等原则有：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 三、年金保险的纯保险费三、年金保险的纯保险费 用同样的方法可以得到期末付定期延期年金的纯保险费为：27期首付延期终身年金的纯保险费为：期末付延期终身年金的纯保险费为：山东大学张芳洁山东大

20、学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 四、年度纯保费四、年度纯保费 假定n年定期死亡保险的纯保险费分m年付清，用 来表示年度纯保费，年度纯保费的现值之和应与一次付足的纯保费的现值相等，即应有：28整理可得：五、人寿保险的毛保险费五、人寿保险的毛保险费保险公司所收取的保险费中，用来作为给付的那部分保险费是纯保险费，而用来作为业务费用开支的那部分保险费称为附加保费。纯保险费与附加保费之和称为毛保险费。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 五、人寿保险的毛保险费五、人寿保险的毛保险费 公司对原始费用，不应单纯地将它全部加

21、在第一年的纯保险费上，而需将它均匀地分摊到各期的保险费上。如果被保险人投保时的年龄为x岁，保险期限为n年，保险费分次m交付，再假定全部原始费用为元，在每一年度保险费上应摊加的金额为s元。很显然，这些摊加在每一年度的费用的现值的积存值与原始费用的现值相等，于是成立：29由此可以得到：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 五、人寿保险的毛保险费五、人寿保险的毛保险费 如果被保险人投保时的年龄为x岁，保险期限为n年，保险费分m次交付，再假定全部原始费用为元，每年的管理费为元，代理手续费为毛保险费的比例。求保险金额为1元的混合保险的年缴毛保险费。（一）

22、三元素法 设年缴毛保险费为P，我们可以作如下分析：30山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 五、人寿保险的毛保险费五、人寿保险的毛保险费（一）三元素法 根据收支相等原则应有：31整理后可得：（二）比例法 比例法假定附加保费为毛保费的一定比例，设为K。如 果纯保费为P，毛保费为，则：比例常数法根据每张保单的平均保额推算出每单位保 额所必须支付的费用，作为一个固定常数(用C表示)，然后再确定一个毛保费的比例作为附加费用，由此有：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 六、理论责任准备金及其计算六、理论

23、责任准备金及其计算 人寿保险的责任准备金，是保险人向投保人所收取的纯保险费，加上按事先约定的年利率复利结算方式计算的本利和，与人寿保险合同中所规定的保险人应在当年所支付保险金的差额；从被保险人方面来说，是他所交付的纯保险费的本利和，与他当年应分摊的给付保险金之间的差额。责任准备金实质上是保险人对被保险人或其收益人的一种负债。责任准备金可分为理论责任准备金和在其基础上修正后的实际责任准备金。32山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 六、理论责任准备金及其计算六、理论责任准备金及其计算（一）过去法 过去法以分析已缴的纯保险费为出发点。假定生命表内所

24、列年龄为x岁的人，全部向保险公司投保同一保险条件、同一保险期限、同一缴费次数的人寿保险，保险金额均为1元，则在投保后第t年年末，被保险人的年龄为x+t岁，届时保险公司对全体被保险人提存的责任准备金应等于：在被保险人的年龄为x+t岁时，已缴纯保险费的积存值，减去被保险人的年龄为x+t岁时，根据生命表保险公司已支付的保险金的积存值。由于这种计算方式涉及到生存分红年金和期末死亡保险费，故我们仅在此给出相应的计算公式（用表示在第t年的准备金）。33山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 六、理论责任准备金及其计算六、理论责任准备金及其计算（一）过去法 如

25、果缴费次数与保险年限相同，则：34如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，tm，则：如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，tm，则：如果是纯粹生存保险，由于保险公司在以往t年内并未有任何给付，上面公式中含有的项目均不出现。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 六、理论责任准备金及其计算六、理论责任准备金及其计算（二）未来法 未来法是与过去法相对的一种方法，它以分析未缴的纯保险费为出发点。按照这一方法，在被保险人x+t岁时，的值等于：未来的保险责任的现值减去待收保险费的现值。以定期死亡保险为例：35如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，

26、tm，则：如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，tm，则：如果缴费次数与保险年限相同，则：山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 六、理论责任准备金及其计算六、理论责任准备金及其计算（二）未来法在上述三个公式中，如果将x+n推至极限年龄，则可得到终身死亡保险的准备金计算公式；如果将第一项分别改为或，则分别得到生存保险或混合保险的责任准备金的计算公式。36 小结：小结：理论责任准备金仅与保险条件、保险期限、缴费方式以及保险金额等有关，而与计算方法无关。山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 七、实

27、际责任准备金及其计算七、实际责任准备金及其计算 由于原始费用的关系，第一年的费用要比以后各年的费用大得多。因此，保险公司实际提存的准备金并不与理论准备金相同，而是将理论准备金加以必要的修正计算出来的。这种修正后的准备金称为实际责任准备金，又称修正责任准备金。不论采用什么方式对理论责任准备金加以修正，在保单到期时的实际责任准备金应与理论责任准备金相同。我们假定承保有下面的具有代表意义的保单：某年龄为x岁的人，投保n年定期混合保险，保险金额为元，保险费自保单开始时起分m年交付。37山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁山东大学张芳洁第三节第三节 寿险精算寿险精算 七、实际责任准备金及其计算七、实际责任准备金及其计算 在修正准备金时，第一个问题是如何决定第一年度的纯保险费 及第二年以后的纯保险费 ，如果令 与 差额为，则有：38由于可见，只要使等于某个规定值，就可求出及。不难求出的最高限额为：因此：保险公司第一年的给付，在理论上应等于自然纯保费，故应有：