第07讲-傅里叶变换的性质课件.ppt

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1、第第07讲讲2/18/20231频频 率率 分分 析析通过变换将时间变量转变为频率变通过变换将时间变量转变为频率变量量、在频域内、在频域内分析信号和系统特性的方分析信号和系统特性的方法。这是基于信号的频率特性来分析信法。这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应的方法。号与系统响应的方法。2/18/20232本本 章章 要要 求求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析及信号通过系统时系统响应在频域中的析及信号通过系统时系统响应在频域中的求解方法求解方法熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质氏变换的性质了解掌握频率

2、分析方法的一些实际应用了解掌握频率分析方法的一些实际应用2/18/20233本章主要内容本章主要内容4.1 引言引言4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质返返 回回4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2/18/202344.1 引言引言4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质返返 回回4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅

3、里叶变换周期信号的傅里叶变换2/18/20235傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 线性线性奇偶性奇偶性对称（互易）性对称（互易）性尺度变换（时频展缩）尺度变换（时频展缩）时移（延时）特性时移（延时）特性 频移特性频移特性 卷卷积积定理定理时时域域微分和积分微分和积分 频频域的微分与域的微分与积积分特性分特性傅里叶变换有许多基傅里叶变换有许多基本性质，它们进一步揭示本性质，它们进一步揭示了信号时域特性与频域特了信号时域特性与频域特性间的内在联系，加深了性间的内在联系，加深了变换的物理概念，简化了变换的物理概念，简化了运算，在实际工作中有着运算，在实际工作中有着重要的意义。重要的意义。返返 回回2

4、/18/20236线性特性线性特性若若则有：则有：（这里包括齐次性、叠加性）（这里包括齐次性、叠加性）2/18/20237例例 题题2/18/20238奇偶特性奇偶特性其中：其中：从而：从而：2/18/20239 实函数：实函数：f(t)的频谱的频谱F(j)是共轭对称函数，是共轭对称函数，R()是偶函数，是偶函数，X()是奇函数，是奇函数，|F(j)|)|是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。即若即若有有那么：那么：2/18/202310 为奇函数，在对称区间积分为零，为奇函数，在对称区间积分为零，即即 若若f(t)是实偶函数，其频谱是实偶函数，其频谱F(j)也为实偶函数也为实偶函数 若若f

5、(t)是实奇函数，其频谱是实奇函数，其频谱F(j)为虚奇函数为虚奇函数 为奇函数，在对称区间积分为零，为奇函数，在对称区间积分为零，即即 2/18/202311 偶函数的频谱为偶函数偶函数的频谱为偶函数 奇函数的频谱为奇函数奇函数的频谱为奇函数 证法同上证法同上2/18/202312对称（互易）特性对称（互易）特性若若，则有：，则有：当当 为偶函数时有为偶函数时有:上式表明：傅里叶正反变换式之间存在着对称的互易关上式表明：傅里叶正反变换式之间存在着对称的互易关系，即信号的波形与信号频谱的波形有着互相置换的关系，系，即信号的波形与信号频谱的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数其幅度之比为常数

6、 ，式中，式中 表示频谱函数的坐标表示频谱函数的坐标轴必须正负对调。例：轴必须正负对调。例：，利用此性质有，利用此性质有:2/18/202313尺度变换（时频展缩）特性尺度变换（时频展缩）特性 若若则有：则有：上式表明了时间函数与频谱函数之间的关系，上式表明了时间函数与频谱函数之间的关系，即对时域的压缩对应于频域的扩展，由此得到一个即对时域的压缩对应于频域的扩展，由此得到一个重要结论重要结论：信号的持续时间与其所占频带成反比。信号的持续时间与其所占频带成反比。在近代通信中，要求快速通信，缩短通信时间，就在近代通信中，要求快速通信，缩短通信时间，就要求压缩信号的持续时间，那么，要保证通信质量，要

7、求压缩信号的持续时间，那么，要保证通信质量，则必须按比例地展宽通信设备的频带；则必须按比例地展宽通信设备的频带；信号持续时间有限，则其占有频带无限，反之亦然。信号持续时间有限，则其占有频带无限，反之亦然。2/18/202314如果是一路数字信号：假设如果是一路数字信号：假设1 1个时间单位内传送个时间单位内传送4 4次，其次，其带宽是带宽是100rad/s；若；若1 1个时间单位内传送个时间单位内传送42=8次则其带宽为次则其带宽为2100=200rad/s。2/18/202315延时（时移）特性延时（时移）特性 若若则有：则有：上式表明：如果在时域中延迟了时间上式表明：如果在时域中延迟了时间

8、 t0，其频谱，其频谱函数的振幅并不改变，但其相位要变（函数的振幅并不改变，但其相位要变（-t0），与频率），与频率成正比，即为了使延迟的信号波形保持不变，必须在成正比，即为了使延迟的信号波形保持不变，必须在传输过程中，使信号的频率分量产生的相移与频率成传输过程中，使信号的频率分量产生的相移与频率成正比，否则延迟信号将失真，这实际上是系统分析中正比，否则延迟信号将失真，这实际上是系统分析中“不失真系统不失真系统”的条件。的条件。例：例：2/18/202316频移特性频移特性 若若频移特性（调制特性）：将频谱函数在频率坐标上频移特性（调制特性）：将频谱函数在频率坐标上平移平移0，则其代表的信号波

9、形与原信号波形有很大区别。，则其代表的信号波形与原信号波形有很大区别。该特性在信号调制中有着十分重要的意义。该特性在信号调制中有着十分重要的意义。则有：则有：2/18/202317例：例：收端：收端：（实际系统调制要比这复杂）（实际系统调制要比这复杂）发端：发端：2/18/2023182/18/202319频分复用频分复用每个（对）用户在所有的时间内使用每个（对）用户在所有的时间内使用各自一个频段。各自一个频段。应用情况：应用情况：有线通信：程控交换机以前所用有线通信：程控交换机以前所用载波载波交换机交换机；无线通信：移动通信；无线通信：移动通信；广播：广播：AM、FM 2/18/202320

10、用频率搬移手段，将原来各路频谱相同的信号，用频率搬移手段，将原来各路频谱相同的信号，搬移到不同的频率段，以达到信道复用，且消除相互搬移到不同的频率段，以达到信道复用，且消除相互干扰的目的。干扰的目的。频分复用通信频分复用通信2/18/202321频移特性频移特性 要注意的是频移特性与时移特性有完全相似的形式，要注意的是频移特性与时移特性有完全相似的形式，这也是傅里叶变换对称互易特性的体现，如：这也是傅里叶变换对称互易特性的体现，如：由对称特性有：由对称特性有：例：例：有虚指数信号：有虚指数信号：2/18/202322卷积定理卷积定理 若若则有：则有：时域卷积特性：时域卷积特性：变卷积运算为积分

11、运算变卷积运算为积分运算 频域卷积特性：频域卷积特性：又称为乘积特性，与上有互易关系又称为乘积特性，与上有互易关系 若若则有：则有：2/18/202323例例 题题部分分式法部分分式法2/18/202324微分特性微分特性 若若，则有：，则有：例：例：则有：则有：2/18/202325例例 题题例：例：求如图所示非周期信号的频谱求如图所示非周期信号的频谱。方法一：方法一：利用基本积分公式利用基本积分公式 分段积分：分段积分：2/18/202326方法二：方法二：利用微分性质：利用微分性质：2/18/202327鉴频器鉴频器 在发送端：在发送端：将要将要传送的信号调制传送的信号调制a(t)载波信

12、号载波信号b(t)的频率，的频率，得到调频信号得到调频信号c(t)，其频率随信号，其频率随信号a(t)的变化，如的变化，如(t)。2/18/202328鉴频器鉴频器 2/18/202329鉴频器鉴频器 在接收端：在接收端：让接收到的调频信号让接收到的调频信号c(t)通过具有通过具有微分特性的鉴频器（可用微分特性的鉴频器（可用RC电路、谐振电路（的上升电路、谐振电路（的上升沿）或其他电路实现），得到的信号沿）或其他电路实现），得到的信号d(t)幅度随频率的幅度随频率的变化面变化，如变化面变化，如e(t)，再把频率的变化也考虑进来，得，再把频率的变化也考虑进来，得到频率、幅度均与到频率、幅度均与a

13、(t)相同变化的相同变化的f(t)。可以看到，不考。可以看到，不考虑频率的变化，虑频率的变化，f(t)就是一个调幅信号，将它通过检波就是一个调幅信号，将它通过检波器就能恢复出原信号器就能恢复出原信号a(t)。2/18/202330积分特性积分特性 若若，则有：，则有：当当时，为：时，为：例：例：2/18/202331频域的微分与积分特性频域的微分与积分特性，则有：，则有：微分：微分：若若，或，或，或，或例：例：，2/18/202332频域的微分与积分特性频域的微分与积分特性，则有：，则有：积分：积分：若若例：例：2/18/202333其中其中 是变化的，变化范围是（是变化的，变化范围是（-，）

14、，），所以上面的积分式应根据被积函数的情况要分几所以上面的积分式应根据被积函数的情况要分几个区域：个区域：、将频率区域分成了三块将频率区域分成了三块（-，-1-1）、（）、（-1-1，1 1）、（）、（1 1，），所以），所以:2/18/2023342/18/202335已知：已知：互易特性：互易特性：时移特性：时移特性：互易特性：互易特性：频移特性：频移特性：时域微分特性：时域微分特性：时域积分特性：时域积分特性：线性特性：线性特性：频域微分特性：频域微分特性：2/18/2023364.1 引言引言4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱非周期

15、信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质返返 回回4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2/18/202337能量谱与功率谱能量谱与功率谱非周期信号的能量频谱非周期信号的能量频谱 周期信号的功率频谱周期信号的功率频谱本节讨论周期信号的功率在时域和频域的本节讨论周期信号的功率在时域和频域的对应关系，非周期信号的能量在时域和频域的对应关系，非周期信号的能量在时域和频域的对应关系。对应关系。2/18/202338变换式：变换式：非周期信号所具有的能量是表征信号特征的另非周期信号所具有的能量是表征信号特征的另一个重要参数，它等于在全部时间内消耗于

16、一个重要参数，它等于在全部时间内消耗于 1 电电阻上的总能量阻上的总能量归一化能量。归一化能量。信号的能量公式可写成信号的能量公式可写成:（交换积分顺序）（交换积分顺序）2/18/202339非周期信号的能量频谱非周期信号的能量频谱非周期信号的归一化能量在时域中与在频域中非周期信号的归一化能量在时域中与在频域中也保持恒等也保持恒等帕斯瓦尔（帕斯瓦尔（Parseval）时频能量恒等）时频能量恒等式式。2/18/202340由于非周期信号可分解成振幅为无穷小的频率分由于非周期信号可分解成振幅为无穷小的频率分量，其各频率分量的能量也是无穷小，为表示能量在量，其各频率分量的能量也是无穷小，为表示能量在

17、频率中的分布情况，也可以借助于密度的概念：定义频率中的分布情况，也可以借助于密度的概念：定义单位角频率的信号能量为单位角频率的信号能量为能量密度频谱函数能量密度频谱函数（能量频能量频谱谱），用），用G()表示，依此，信号在整个频率范围内的表示，依此，信号在整个频率范围内的全部能量应为：全部能量应为：与前式比较有：与前式比较有：其单位为：其单位为：JS。2/18/202341非周期信号的能量频谱非周期信号的能量频谱信号能量频谱与信号频谱函数模值的平方有关，信号能量频谱与信号频谱函数模值的平方有关，而与其相位无关。同样根据能量频谱而与其相位无关。同样根据能量频谱G()画出的频谱画出的频谱曲线，称为

18、能量密度频谱曲线。依据该曲线可以研究曲线，称为能量密度频谱曲线。依据该曲线可以研究信号能量的分布情况，从而可适当选择系统或电路的信号能量的分布情况，从而可适当选择系统或电路的通频带，以便充分利用信号能量，发挥系统效能。通频带，以便充分利用信号能量，发挥系统效能。2/18/202342信号的信号的能量（功率）频谱能量（功率）频谱概念为定义信号的概念为定义信号的持续时间持续时间 t 和频带宽度和频带宽度 B 提供了又一个方法。有提供了又一个方法。有些信号从理论上讲，其持续时间或频带宽度是无些信号从理论上讲，其持续时间或频带宽度是无限的，但从能量（功率）分布来看，其绝大部分限的，但从能量（功率）分布

19、来看，其绝大部分能量（功率）都分布在一定范围内，超出此范围，能量（功率）都分布在一定范围内，超出此范围，其能量（功率）很小，可忽略不计。其能量（功率）很小，可忽略不计。返返 回回2/18/202343因此，因此，定义集中了定义集中了90信号能量（功率）的时间信号能量（功率）的时间为信号的为信号的有效持续时间有效持续时间，定义集中了定义集中了90信号能量信号能量（功率）的频带宽度为信号的（功率）的频带宽度为信号的有效频带宽度有效频带宽度。以上所述，周期信号在时域内的功率和在频域内以上所述，周期信号在时域内的功率和在频域内的功率相等，而非周期信号在时域内的能量与在频域的功率相等，而非周期信号在时域

20、内的能量与在频域内的能量相等，这是功率（能量）守恒定理在信号分内的能量相等，这是功率（能量）守恒定理在信号分析中的体现，也是信号的时间特性与频率特性的又一析中的体现，也是信号的时间特性与频率特性的又一重大关系。重大关系。返返 回回2/18/2023444.1 引言引言4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质返返 回回4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2/18/202345正弦、余弦信号的傅里叶变换正弦、余弦信号的傅里叶变换 由频移特性可得：由

21、频移特性可得：于是正弦信号与余弦信号就可以得到于是正弦信号与余弦信号就可以得到 ：由互易特性可得：由互易特性可得：2/18/2023462/18/202347一般周期信号一般周期信号 当周期信号当周期信号f(t)的周期为的周期为T 时，可将时，可将 f(t)展开为：展开为：周期信号的频谱是以周期信号的频谱是以 间隔的冲激序列，每个间隔的冲激序列，每个冲激函数强度为冲激函数强度为2Fn。可见，信号的频谱与其指数频。可见，信号的频谱与其指数频谱的形状相同，只是谱线变成了冲激，强度增加了谱的形状相同，只是谱线变成了冲激，强度增加了2 倍。倍。2/18/202348例例 题题例：例：周期信号周期信号

22、（m 为整数为整数）即即2/18/202349冲激信号序列的频谱仍是一个周期冲激信号序列，冲激信号序列的频谱仍是一个周期冲激信号序列，所不同的是：一个在时域中，间隔为所不同的是：一个在时域中，间隔为T，强度为，强度为1 1；一个；一个是在频域中，间隔为是在频域中，间隔为，强度也为，强度也为。返返 回回2/18/202350频分复用通信频分复用通信信号的调制信号的调制调制：调制：用信号用信号 对载波信号对载波信号 的参量进行控制的参量进行控制的过程，分调幅、调频、调相。（这里仅介绍调幅）的过程，分调幅、调频、调相。（这里仅介绍调幅）（频率搬移）（频率搬移）2/18/2023512/18/2023

23、52例：例：对周期性方波：对周期性方波：设：设：可有：可有：这里：这里：2/18/202353其中其中、两部分的形状与两部分的形状与 完全相同。完全相同。载频载频 项：项：无直流就无此项；无直流就无此项；可见，已调信号由三部分组成：可见，已调信号由三部分组成：上边带上边带 ：和频项：和频项 下边带下边带 ：差频项：差频项2/18/202354 它包含有载频项，它包含有载频项，为调幅指数，常用为调幅指数，常用百分数表示（中波为百分数表示（中波为30%）。）。与与中相比多了两个冲激（载波），于是不管中相比多了两个冲激（载波），于是不管 中中是否有直流，已调波中均带有载波，这样便于接收机进行是否有直

24、流，已调波中均带有载波，这样便于接收机进行相干解调。相干解调。2/18/202355解调：解调：将原信号将原信号 从已调信号上取下来的过程。从已调信号上取下来的过程。方法：方法：相干解调，非相干解调。相干解调，非相干解调。相干解调：相干解调：利用与发送端同频同相的载波解调的方法。利用与发送端同频同相的载波解调的方法。由前有：由前有：再利用一带宽为再利用一带宽为 的低通滤波器，即可以恢复原信号的低通滤波器，即可以恢复原信号 。频分复用通信频分复用通信信号的解调信号的解调2/18/202356相干解调要求有同频同相的载波，否则解调将发生失真；相干解调要求有同频同相的载波，否则解调将发生失真；电路复

25、杂。如果利用其调制波的特点而不用载波将大大简化接电路复杂。如果利用其调制波的特点而不用载波将大大简化接收设备收设备非相干解调。非相干解调。非相干解调：非相干解调：（对调幅称为检波，对调频称为鉴频）（对调幅称为检波，对调频称为鉴频）分为小信号（平方律）检波（电压分为小信号（平方律）检波（电压 ）和包络）和包络线检波（电压线检波（电压 ）。）。平方律检波：平方律检波：当信号较小时当信号较小时2/18/202357若工作点很低时，若工作点很低时，其中其中 项等高频分量由项等高频分量由 滤除，滤除，包含有所需包含有所需的原的原 分量，而分量，而2/18/202358第一项为直流，由第一项为直流，由 去掉；第三项为有用信号，去掉；第三项为有用信号，m 大好；大好；第二项频率不高，不易去掉，易造成失真，与第二项频率不高，不易去掉，易造成失真，与 m 的平方成正的平方成正比，故比，故 m 不宜大。不宜大。线性检波：线性检波：信号较大时信号较大时基本上沿着调幅波的包络线，但基本上沿着调幅波的包络线，但有很大起伏，若保持有很大起伏，若保持 ，增加，增加 ，则电容放电时间减少，波形起，则电容放电时间减少，波形起伏较小，检波器输出电压波形就伏较小，检波器输出电压波形就基本上与调幅波包络线一致从而基本上与调幅波包络线一致从而再现再现 信号。信号。2/18/202359