连续介质力学第二章课件.ppt

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1、第二章 张量的基本理论2-1 张量代数2-2 张量分析2-3 张量应用1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标2-1 张量代数显然，指标 i,j,k 与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是是违约的，求和时要保留求和号n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题双重求和简写成展开式（9项）三重求和（27项）1.1.2 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,3,n，与哑标一样，无 特别说明总取

2、n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：i 为自由指标，j 为哑标表示i 为自由指标，j 为哑标表示i，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程：例外：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。又如，方程用指标法表示，可写成i 不参与求和，只在数值上等于 i1.2 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故注意：是一个数值，即的作用：1）换指标；

3、2）选择求和。例1：思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示例2：例3：个数，项的和。求特别地，1.3 置换符号i,j,k,为1，2，3的偶排列(顺序轮换)i,j,k,为1，2，3的奇排列(反序轮换)i,j,k,不是1，2，3的排列(两个以上角标同)例如：可见：也称为三维空间的排列符号。若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量则常见的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)证明：令即得（i），将（i）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符号其中从三

4、维退化得到有下列恒等式关键公式：二维关键公式：1.4 指标记法的运算1.4.1 代入设(1)(2)把（2）代入（1）mn or else3个方程，右边为9项之和1.4 指标记法的运算1.4.2 乘积设则不符合求和约定1.4 指标记法的运算1.4.3 因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即1.4 指标记法的运算1.4.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法或1

5、.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法1.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：1.5.1 坐标系的变换关系 旧新图解（二维）：在解析式中记：1.5.1 坐标系的变换关系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对 i 求和，i为自由指标）1.5.2 标量（纯量 Scalar

6、）在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？1.5.3 矢量（Vector）设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即（对 i 求和）（对 i 求和）满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量1.5.3 矢量（Vector）哑标换成 k 比较上式两边，得即该变换是正交的1.5.4 张量（Tensor）对于直角坐标系，有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）张量的性质n张量的定义 张量是与坐标系有联系的一组量，并满足一定的坐标变换规律。n张量的性质 任何两个张量相乘所得到的新

7、张量的阶数等于原张量阶数之和；两个张量间的比例系数一般是一个张量，其阶数等于原张量阶数之和；张量的变换规律与坐标乘积的变换规律相同；变换矩阵与二阶张量的区别1.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 称为二阶张量T的分量 令可理解为矢量Tej在ei上的分量，即 因此，有下面三种等价的表达式：其中称为在基矢量组e1,e2,e3下二阶张量 T 的矩阵。注意：矢量 a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量 ai,bi,Tij 通过基矢量组e1,e2,e3与坐标系相关。1.7.1 张量的加法和减

8、法 设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示：仍为二阶张量。若a为一矢量，则 其分量为：其矩阵形式为：1.7.2 张量和标量的乘积 设T为二阶张量，为一标量，它们的乘积记为 ，则 仍为二阶张量。因为根据坐标变换，有 可见，为二阶张量。1.7.3 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换：二阶张量 一阶 零阶 关于是二阶张量的证明：即证明 满足张量的定义：是一个线性变换。设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义 可见：满足张量的定义。关于基矢量组 的分量：有些文献把 写成 矩阵形式：基矢量 的并矢积：于是，二阶张量 可以表示成：即这

9、种并矢记法可以推广到任意阶张量，例如三阶张量 ：一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量 可用上述并矢记法表示基张量：一阶张量 二阶张量 n 阶张量 于是，有等号右边称为广义标量记法。到此为止，我们已有四种张量记法：不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法 1.7.4 张量的并积 设 分别为m和n阶张量，它们的并积为 ，则 可见，其结果张量 是m+n阶的。1.7.5张量的点积 矢量a a,b b的点积：换指标1.7.5张量的点积 张量 T,S（设为二阶）的点积：矩阵形式：设 均为二阶张量，用基张量表示点积，并证明 （作业）一般地，任意个二阶张量依次点积，结果仍为二阶张量，

10、即张量的双重点积：若A为三阶张量，B为二阶张量，则 结果为一阶张量。张量的双重点积：若 S，T 均均为二阶张量，则 结果为零阶张量。1.7.6 张量的叉积 两个矢量a，b 的叉积：三个矢量 a，b，c 的叉积：已知 ，则 三个矢量 a，b，c 的叉积：即试验证（作业）：三个矢量 的混合积：即几何意义：以 为边的棱柱体积，有向。换指标两个任意张量 的叉积：1.7.7 二阶张量的迹 矢量 a,b 并矢 ab 的迹定义为：任意二阶张量 T 的迹：T的主对角线之和。例：在直角坐标系下，各向同性牛顿流体的本构方程为：应力张量 静水压力 粘性系数 变形速率张量 试写出它的不变式和迹。九、张量概念及其基本运

11、算九、张量概念及其基本运算 1 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的。它们是不以人们的意志为转移的。分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。的求解与表述。所有与

12、坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。若我们以若我们以r r表示维度，以表示维度，以n n表示幂次，则关于三

13、维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成：现令现令 n n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。可由坐标变换关系式来解决定义。当当n=0n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M=1M=1，标量；标量；当当n=1n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M=3M=3，矢量；矢量；、

14、当取当取n n时，时，n n阶张量，阶张量，M=3M=3n n。在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。示和区别该张量的所有分量。不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再不求和。再不求和。2.2.下标记号

15、法下标记号法 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为即变程为3 3。3.3.求和约定求和约定 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号应理解为取其变程N N内所有数值，内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。然后再求和，这就叫做求和约定。例如：例如：关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有：求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优

16、先求和。例：关于自由标号：关于自由标号：在同一方程式中，各张量的自由标号相同，在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。即同阶且标号字母相同。自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。关于关于KroneckerKronecker delta delta（）符号：符号：是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为：的作用与计算示例如下：的作用与计算示例如下：4.4.张量的基本运算张量的基本运算 A A、张量的加减：张量的加减：张量可以用

17、矩阵表示，称为张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如：凡是同阶的两个或几个张量可以相加凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。相同的诸分量之代数和。即：即：其中各分量（元素）为：其中各分量（元素）为：B B、张量的乘积张量的乘积 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们

18、所组成的集合仍然是一个张量，称为第一它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：律和结合律。例如：C C、张量函数的求导：张量函数的求导：一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数是坐标参数x xi i的函数。的函数。张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数张量导数就是把张量的每个分量都对坐标

19、参数 求导数。求导数。对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“”“”的方式来表示。例如的方式来表示。例如 ，就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xi i求导。求导。如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号i i是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。例如：例如：4.4.张量的分解：张量的分解：张量一般是非对称的。若张量张量一般是非对称的。若张量 的分量满足的分量满足则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的分量分量(也即主对角元素也即主对角元素)为零，即为零，即 。则则 称为对称张量。称为对称张量。如果如果 的分量满足的分量满足