等差数列前n项求和课件.ppt

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1、等差数列前等差数列前n项和公式项和公式复习回顾2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式:已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有:an=a1+(n-1)d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有:an=am+(n-m)d 3、等差数列的性质、等差数列的性质:在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN*),那么那么:an+am=ap+aq 1、等差数列的概念等差数列的概念 an-an-1=d (nN*且且 n2)课前练习1.在数列中 ，若 ，则该数列的通项 .2.已知等差数列 中，首项 ,公差 ，则397是该数列的第_项.3.是等差数列，且a1+a4+

2、a7+a10=46，则a3+a8 =，4.已知an是等差数列，且 a3=3,a6=15，则a9=,5.三个数成递增的等差数列，它们的乘积为48，和为12，这三个数为 ，2n-120023272,4,6 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案案之之细细致致令令人叫绝。人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角

3、角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见见左图），奢靡之程度，可见一斑。左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1200多多年年前前，德德国国古古代代著著名名数数学学家家高高斯斯10岁岁的时候很快就解决了这个问题。的时候很快就解决了这个问题。你知道高斯是怎样计算的吗？你知道高斯是怎样计算的吗？高斯十高斯十岁时岁时，有一次老，有一次老师师出了一道出了一道题题目，老目，老师师说说:“现现在在给给大家出道大家出道题题目目:1+2+100=?”过过了两了两分分钟

4、钟，正当大家在：，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦算得不亦乐乐乎乎时时，高斯站起来回答，高斯站起来回答说说：“1+2+3+100=5050”1+2+3+100=？高斯的算法是：高斯的算法是：首项与末项的和：首项与末项的和：第第2项与倒数第项与倒数第2项的和项的和:第第3项与倒数第项与倒数第3项的和项的和:第第50项与倒数第项与倒数第50项的和项的和:于是所求的和是：于是所求的和是：101 =5050 1+100=1012+99 =1013+98 =101 50+51=101探究发现探究发现问题问题2：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多

5、少颗宝石？这这是是求求奇奇数数个个项项和和的的问问题题，不不能能简简单单模模仿仿偶偶数数个个项项求求和和的的办办法法，需需要要把把中中间间项项1111看看成成首首、尾尾两两项项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对”的算法还得分的算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？有无简单的方法？探究发现探究发现问题问题2：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角

6、形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。探究发现探究发现问题问题2：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？123212120191获得算法：获得算法：设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前

7、n项和公式进行推导项和公式进行推导倒倒序序相相加加法法即前即前n项的和与首项末项及项数有关项的和与首项末项及项数有关若已知若已知a1，n，d，则如何表示，则如何表示Sn 呢？呢？由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二解：解：公公式式应应用用选选用用公公式式之之练

8、练 习习 一一根据条件，求相应等差数列根据条件，求相应等差数列an的的Sn:a1=5,an=95,n=10;a1=100,d=2,n=50;答案：答案：500；2550；公式应用变用公式变用公式例例2 等差数列等差数列10，6，2，2，的前的前 多少项的和为多少项的和为54？解解:设该数列为设该数列为an,前前n项的和是项的和是54,a1=10,d=6(10)=4,解得解得 n=9,n=3(舍弃舍弃).因此等差数列因此等差数列10,6,2,2,前前9项的项的和是和是54.整理得整理得 n26n27=0.之之练练 习习 二二等差数列等差数列 的前的前 项和记为项和记为 .已已知知 ,.(1)求通项求通项 ;(2)令令 ,求求 .1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法小结：小结：2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二