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1、分析函数逼近分析函数逼近第六章第六章函数逼近函数逼近6-1第1页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-2第六章目录第六章目录1最小二乘法原理和多项式拟合最小二乘法原理和多项式拟合2一般最小二乘拟合一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合3正交多项式曲线拟合正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合用离散正交多项式作曲线拟合4函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近5最佳一致逼近最佳一致逼近第2页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-3函数逼近函数逼近（曲线拟合）（曲

2、线拟合）概述概述用简单的计算量小的函数用简单的计算量小的函数P(x)近似地替代近似地替代给定的函数给定的函数f(x)（或者是以离散数据形式给（或者是以离散数据形式给定的函数），以便迅速求出函数值的近似值定的函数），以便迅速求出函数值的近似值，是计算数学中最基本的概念和方法，称为，是计算数学中最基本的概念和方法，称为函数逼近函数逼近。通常被逼近的函数一般较复杂，。通常被逼近的函数一般较复杂，或只知道离散点处的值，难于分析，而逼近或只知道离散点处的值，难于分析，而逼近函数则比较简单，如选用多项式，有理函数函数则比较简单，如选用多项式，有理函数，分段多项式，三角多项式等。，分段多项式，三角多项式等。

3、第3页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-4函数逼近函数逼近（曲线拟合）（曲线拟合）概述（续）概述（续）在大量的实验数据在大量的实验数据(x xi i,yi i)(i=1,2,n n)中寻找其函数关系中寻找其函数关系中寻找其函数关系中寻找其函数关系y=f(x)的近似函数的近似函数P(x x)，是在实践中常遇到的。上一章介，是在实践中常遇到的。上一章介，是在实践中常遇到的。上一章介，是在实践中常遇到的。上一章介绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处

4、P(x)与与与与f f(x x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由果较好，而在远离节点的地方，由果较好，而在远离节点的地方，由果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象现象知道，有时知道，有时知道，有时知道，有时效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数P P

5、(x x)过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合适。因此，对逼近函数法不合适。因此，对逼近函数法不合适。因此，对逼近函数法不合适。因此，对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，不必要求过给定的点，即不要求即不要求P(x xi)=yi i(i=1,2,n)，只要求，只要求，只要求，只要求P(xi)y yi 总体上尽总体上尽可能小可能小即要求即要求即要求即要求P P(x x)尽可能反映给定数据点的尽可能反映给定数据点的总体趋势总体趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近逼近逼近逼近”。下面先举

6、例说明。下面先举例说明。第4页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-5函数逼近举例函数逼近举例给定一组实验数据如上，求给定一组实验数据如上，求x,y y的函数关系。的函数关系。例例1 11 12 23 34 42 24 46 68 81.11.12.82.84.94.97.27.2i ix xi iy yi i解解 先作草图如图先作草图如图6-16-1所示这些点的分布接近一条直线，因所示这些点的分布接近一条直线，因此可设想，此可设想，此可设想，此可设想，y y为为为为x的一次函数。设的一次函数。设的一次函数。设的一次函数。设y=a0 0+a1x，从图中不难看，从图中不难看出，无论出，

7、无论出，无论出，无论a a0 0，a a1取何值，直线都不可能同时过全部数据点。取何值，直线都不可能同时过全部数据点。怎样选取怎样选取怎样选取怎样选取a0 0，a1才能使直线才能使直线“最好最好”地反映数据点的总体趋地反映数据点的总体趋势？首先要建立好坏的标准。势？首先要建立好坏的标准。势？首先要建立好坏的标准。势？首先要建立好坏的标准。假定假定a a0，a a1已经确定，已经确定，已经确定，已经确定，y yi*=*=a a0 0+a1 1xi i(i=1,2,n)是由近似是由近似函数求得的近似值，它与观测值函数求得的近似值，它与观测值yi 之差之差之差之差r ri=y yi yi*=yi i

8、 a a0 a a1x xi i(i i=1,2,=1,2,n n)称为称为称为称为偏差偏差。显然，。显然，偏差的大小可作为衡量近似偏差的大小可作为衡量近似偏差的大小可作为衡量近似偏差的大小可作为衡量近似函数好坏的标准。偏差向量函数好坏的标准。偏差向量函数好坏的标准。偏差向量函数好坏的标准。偏差向量r r=(r r1,r2 2,rn)T，yx86422468*图图图图6-16-1第5页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-6例例1（续）（续）（1）使偏差的绝对值使偏差的绝对值使偏差的绝对值使偏差的绝对值之和最小，即之和最小，即:（2）使偏差的最大绝对使偏差的最大绝对使偏差的最大绝对使

9、偏差的最大绝对 值达到最小，即值达到最小，即值达到最小，即值达到最小，即:（3 3）使偏差的平方和最小，即使偏差的平方和最小，即:在离散情况下在离散情况下在离散情况下在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法也称为曲线拟合的最小二乘法也称为曲线拟合的最小二乘法也称为曲线拟合的最小二乘法,是实践中常是实践中常用的一种函数逼近方法。用的一种函数逼近方法。常用的常用的常用的常用的准则准则准则准则有以下三种：有以下三种：有以下三种：有以下三种：准则准则（1 1）的提出很自然也合理，但实际使用不方便，的提出很自然也合理，但实际使用不方便，按准则按准则（2 2）求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近；求近似

10、函数的方法称为函数的最佳一致逼近；按准则按准则按准则按准则（3）确定参数，求近似函数的方法称为最佳平方逼近确定参数，求近似函数的方法称为最佳平方逼近确定参数，求近似函数的方法称为最佳平方逼近确定参数，求近似函数的方法称为最佳平方逼近,ri=y yi yi i*=yi a0 0 a a1x xi第6页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-7函数的近似替代，求近似函数称为逼近函数的近似替代，求近似函数称为逼近要求（准则或标准）不一样，逼近要求（准则或标准）不一样，逼近的意义不一样，因此，方法不一样，结的意义不一样，因此，方法不一样，结果也不一样。果也不一样。插值是逼近，满足条件插值是逼近

11、，满足条件Ln(xi)=yi 是在是在“过给定点过给定点”意义下的逼意义下的逼近。近。要求要求Ln(xi)-yi 总体上尽可能小总体上尽可能小,称为最称为最佳平方逼近佳平方逼近,在离散情况下在离散情况下,也称为曲线也称为曲线拟合的最小二乘法拟合的最小二乘法.第7页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-81最小二乘法原理和多项式拟合最小二乘法原理和多项式拟合一、曲线拟合的最小二乘法基本原理一、曲线拟合的最小二乘法基本原理对给定的数据对给定的数据(xi,y yi)(i=1,2,=1,2,n)，选取近似函数形式，选取近似函数形式，选取近似函数形式，选取近似函数形式，即在给定的函数类即在给定

12、的函数类中，求函数中，求函数中，求函数中，求函数 (x x)，使偏差，使偏差，使偏差，使偏差ri=(xi i)y yi(i=1,2,=1,2,n n)的平方和为最小，即的平方和为最小，即的平方和为最小，即的平方和为最小，即:亦亦亦亦即即即即:从几何上讲，就是求在给定的点从几何上讲，就是求在给定的点从几何上讲，就是求在给定的点从几何上讲，就是求在给定的点x x1,x2,x xn n处与点处与点(x x1 1,y1),(x x2 2,y2),(x xn,y yn n)的距离平方和最小的曲线的距离平方和最小的曲线的距离平方和最小的曲线的距离平方和最小的曲线y y=(x)。这种求。这种求近似函数的方法

13、称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函数数 (x x)称为这组数据的最小二乘拟合函数。通常取称为这组数据的最小二乘拟合函数。通常取为一为一为一为一些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例1 1中取中取为一次多项式集合。为一次多项式集合。第8页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-9二、多项式拟合二

14、、多项式拟合 对于给定的一组数据对于给定的一组数据对于给定的一组数据对于给定的一组数据(xi,yi)(i=1,2,=1,2,n)，求一多项式，求一多项式(m m n n)使使得得:为最小，即选取参数为最小，即选取参数aj(j=0,1,m)使得使得:其中其中为不超过为不超过为不超过为不超过m次多项式的集合。这就是数据的多项次多项式的集合。这就是数据的多项次多项式的集合。这就是数据的多项次多项式的集合。这就是数据的多项式拟合，式拟合，式拟合，式拟合，P Pm(x)称为这组数据的称为这组数据的mm次拟合多项式。次拟合多项式。与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同，由多与求解矛盾线性方程组的最小二

15、乘法的方法相同，由多与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同，由多与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同，由多元函数求极值的必元函数求极值的必要条件，得方程组要条件，得方程组:移项得移项得移项得移项得:（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第9页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-10多项式拟合（续）多项式拟合（续）打开和式打开和式 即：即：这是最小二乘拟合多项式的系数这是最小二乘拟合多项式的系数这是最小二乘拟合多项式的系数这是最小二乘拟合多项式的系数a ak k(k k=0,1,=0,1,mm)应满足的方程组，应满足的方程组，应满足的方程组，应满足的方程组，称为正

16、规方程组或法方程组。由函数组称为正规方程组或法方程组。由函数组称为正规方程组或法方程组。由函数组称为正规方程组或法方程组。由函数组1,1,x x,x x2 2,x xmm 的线性无关性可的线性无关性可的线性无关性可的线性无关性可以证明，上述法方程组存在唯一解，且解所对应的以证明，上述法方程组存在唯一解，且解所对应的以证明，上述法方程组存在唯一解，且解所对应的以证明，上述法方程组存在唯一解，且解所对应的mm次多项式次多项式次多项式次多项式P Pmm(x x)必定是已给数据必定是已给数据必定是已给数据必定是已给数据(x xi i,y yi i)()(i i=1,2,=1,2,n n)的最小二乘的最

17、小二乘的最小二乘的最小二乘mm次拟合多项式。次拟合多项式。次拟合多项式。次拟合多项式。如图如图如图如图6-16-1表明，可用一次多项式表明，可用一次多项式表明，可用一次多项式表明，可用一次多项式P P1 1(x x)=)=a a0 0+a a0 0 x x拟合例拟合例拟合例拟合例1 1中数据组所中数据组所中数据组所中数据组所给定的函数关系，将所给数据代入正规方程组可得：给定的函数关系，将所给数据代入正规方程组可得：给定的函数关系，将所给数据代入正规方程组可得：给定的函数关系，将所给数据代入正规方程组可得：其解为其解为其解为其解为a a00=1.1,1.1,a a11=1.02=1.02，所以：

18、，所以：，所以：，所以：y y=1.1+1.021.1+1.02x x 就是所给数据组就是所给数据组就是所给数据组就是所给数据组的最小二的最小二的最小二的最小二 乘拟合多项式。乘拟合多项式。乘拟合多项式。乘拟合多项式。第10页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-11最小二乘二次拟合多项式举例最小二乘二次拟合多项式举例 例例2求下面数据表的最小二乘二次拟合多项式求下面数据表的最小二乘二次拟合多项式：i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 x xi i-1-1-0.75-0.75-0.5-0.5-0.25-0.250 00.250.250.50.50.750.75

19、1 1 y yi i-0.2209-0.22090.32950.32950.88260.88261.43921.43922.00032.00032.56452.56453.13343.13343.76013.76014.28364.2836解：设二次拟合多项式解：设二次拟合多项式为为为为P2 2(x)=a a0+a1 1x x+a a2 2x2，将数据表直接代将数据表直接代将数据表直接代将数据表直接代 入正入正入正入正规方程组：规方程组：其解为其解为其解为其解为a a0=2.0034,a a1 1=2.2625,=2.2625,a2=0.0378。所以此数据组的。所以此数据组的最小二乘二次拟合

20、多项式为：最小二乘二次拟合多项式为：第11页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-122一般最小二乘拟合一般最小二乘拟合上节介绍了上节介绍了多项式拟合多项式拟合问题及其问题及其解法。在实际应用中，针对所讨论问解法。在实际应用中，针对所讨论问题的特点，题的特点，拟合函数可能为其他类型拟合函数可能为其他类型的函数，如指数函数，三角函数，有的函数，如指数函数，三角函数，有理函数等理函数等，待定参数也可能会出现在待定参数也可能会出现在指数上，分母中等指数上，分母中等，对，对观测数据，由观测数据，由于它们的精度不一样，还会引入权系于它们的精度不一样，还会引入权系数数，这都属于一般，这都属于一般

21、最小二乘拟合问题最小二乘拟合问题。第12页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-132.1线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式 作两个推广：作两个推广：作两个推广：作两个推广：1.函数系由函数系由x xmm m(x x)线性无关线性无关线性无关线性无关2.加权系数加权系数加权系数加权系数 i(i i=1,2,=1,2,n n)即对即对即对即对(x xi i,yi)()(i i=1,2,n n)选取函数选取函数 (x x)：达到最小，达到最小，对对aj 求偏导数令其为求偏导数令其为0正规方程组：正规方程组：第13页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-14正规方程

22、组正规方程组正规方程组正规方程组的几种形式：的几种形式：的几种形式：的几种形式：首先，可用向首先，可用向量和矩阵表示量和矩阵表示正规方程组正规方程组正规方程组正规方程组正规方程组的几种形式正规方程组的几种形式如果如果G G的列的列向量线性无关，向量线性无关，则正规方程组则正规方程组存在唯一解向存在唯一解向量量a a，从而可确，从而可确，从而可确，从而可确定：定：定：定：第14页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-15其次可引进其次可引进内积内积内积内积表示正规方程组：表示正规方程组：正规方程组的几种形式（续）正规方程组的几种形式（续）第15页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数

23、逼近6-16正规方程组的几种形式（续）正规方程组的几种形式（续）k(x x)线性无关线性无关系数矩阵非奇异系数矩阵非奇异唯一解唯一解:令令令令j j=0,1,2,=0,1,2,m，则，则正规方程组为正规方程组为:在在(6-4)(6-4)中打开和式中打开和式第16页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-17最小二乘拟合函数最小二乘拟合函数定理定理定理定理定理定理2 2第17页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-18定理定理2（续）（续）所以所以所以所以 (x x)是数据组是数据组是数据组是数据组(xi i,y yi)()(i i=1,2,=1,2,n)的最小二乘拟合函数。的

24、最小二乘拟合函数。特别地，当取特别地，当取 k(x x)=)=x xk k(k=1,2,m)时，即为多项式拟合，时，即为多项式拟合，所以多项式拟合为一般线性最小二乘拟合的一种特殊情况。所以多项式拟合为一般线性最小二乘拟合的一种特殊情况。注意到注意到注意到注意到(x x)与与与与 (x)的表示式，由正规方程组，的表示式，由正规方程组，的表示式，由正规方程组，的表示式，由正规方程组，上式中上式中上式中上式中 间项为：间项为：间项为：间项为：第18页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-19最小二乘法求其拟合函数最小二乘法求其拟合函数举例举例例例例例3 3已知一组数据如表，用最小二乘法求其

25、拟合函数。已知一组数据如表，用最小二乘法求其拟合函数。已知一组数据如表，用最小二乘法求其拟合函数。已知一组数据如表，用最小二乘法求其拟合函数。x x0 00.10.10.20.20.30.30.40.40.50.50.60.6y y2 22.202542.202542.407152.407152.615922.615922.830962.830963.054483.054483.288763.28876第19页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-20最小二乘法求其拟合函数最小二乘法求其拟合函数举例（续）举例（续）例例4已知数据如下表，求一个二次多项式，使之与所给数据拟合：已知数据如

26、下表，求一个二次多项式，使之与所给数据拟合：已知数据如下表，求一个二次多项式，使之与所给数据拟合：已知数据如下表，求一个二次多项式，使之与所给数据拟合：x xi i-1-1-0.5-0.50 00.50.51 1y yi i1 10.4950.4950.0010.0010.4800.4801.011.01解：解：解：解：从函数值的分布情况看，该函数可能为一偶函数，故考虑用从函数值的分布情况看，该函数可能为一偶函数，故考虑用从函数值的分布情况看，该函数可能为一偶函数，故考虑用从函数值的分布情况看，该函数可能为一偶函数，故考虑用偶次多项式作拟合函数，为此，取偶次多项式作拟合函数，为此，取偶次多项式

27、作拟合函数，为此，取偶次多项式作拟合函数，为此，取 0 0(x x)=1,)=1,1 1(x x)=)=x x2 2于是所求二次于是所求二次于是所求二次于是所求二次多项式可设为：多项式可设为：多项式可设为：多项式可设为：(x x)=)=a a0 0+a a1 1x x2 2,而而而而G G为为为为:从此例题看到，通过对数据特从此例题看到，通过对数据特从此例题看到，通过对数据特从此例题看到，通过对数据特点进行分析，确定选用不带一次项点进行分析，确定选用不带一次项点进行分析，确定选用不带一次项点进行分析，确定选用不带一次项的二次多项式为拟合函数，不仅符的二次多项式为拟合函数，不仅符的二次多项式为拟

28、合函数，不仅符的二次多项式为拟合函数，不仅符合原来函数的合原来函数的合原来函数的合原来函数的 特征，而且使特征，而且使特征，而且使特征，而且使 计算计算计算计算更加简单更加简单更加简单更加简单。可见，在实际问题中选。可见，在实际问题中选。可见，在实际问题中选。可见，在实际问题中选择择择择 合适的函数类型是十分重要的。合适的函数类型是十分重要的。合适的函数类型是十分重要的。合适的函数类型是十分重要的。第20页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-212.2非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合当最小二乘拟合所取函数类当最小二乘拟合所取函数类中的函数中的函数F=(x,a0,a1,am)关于

29、参数关于参数a0,a1,am是非是非线性时，称为非线性最小二乘拟合问题。线性时，称为非线性最小二乘拟合问题。对非线性最小二乘拟合问题，虽然仍可对非线性最小二乘拟合问题，虽然仍可由偏差平方和对由偏差平方和对aj求偏导生成方程组求偏导生成方程组:但是，与线性最小二乘问题不同的是，上述方程但是，与线性最小二乘问题不同的是，上述方程但是，与线性最小二乘问题不同的是，上述方程但是，与线性最小二乘问题不同的是，上述方程组是关于组是关于组是关于组是关于a ak(k=0,1,=0,1,mm)的非线性方程组，要求解是的非线性方程组，要求解是的非线性方程组，要求解是的非线性方程组，要求解是很困难的，因此，一般的非

30、线性最小二乘拟合问题很困难的，因此，一般的非线性最小二乘拟合问题很困难的，因此，一般的非线性最小二乘拟合问题很困难的，因此，一般的非线性最小二乘拟合问题不作详细讨论。不作详细讨论。不作详细讨论。不作详细讨论。第21页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-22可化为线性拟合问题的常见函数类可化为线性拟合问题的常见函数类 但对于一些较特殊的非线性拟合函数类型，可以通过适当但对于一些较特殊的非线性拟合函数类型，可以通过适当的变量代换后化为线性最小二乘问题，下表列出了部分这的变量代换后化为线性最小二乘问题，下表列出了部分这的变量代换后化为线性最小二乘问题，下表列出了部分这的变量代换后化为线性

31、最小二乘问题，下表列出了部分这样的拟合函数类型。样的拟合函数类型。可化为线性拟合问题的常见函数类可化为线性拟合问题的常见函数类:拟合函数类型拟合函数类型拟合函数类型拟合函数类型 变量代换变量代换变量代换变量代换 化成的拟合函数化成的拟合函数化成的拟合函数化成的拟合函数 第22页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-23非线性拟合举例非线性拟合举例例例5在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系数据见下表，求浓度关系数据见下表，求浓度y与时间

32、与时间t 的拟合曲线的拟合曲线的拟合曲线的拟合曲线y=F F(t)：t ti i1 12 23 34 45 56 67 78 8y yi i(*10(*10-3-3)4.004.006.406.408.008.008.808.809.229.229.509.509.709.709.869.86t ti i9 91010111112121313141415151616y yi i(*10(*10-3-3)10.0010.0010.2010.2010.3210.3210.4210.4210.5210.5210.5510.5510.5810.5810.6010.60解：解：解：解：将数据标在坐标纸上

33、如将数据标在坐标纸上如图图6-2由图看到开始时浓度增加由图看到开始时浓度增加由图看到开始时浓度增加由图看到开始时浓度增加较快，后来逐渐减弱，到一定时间就基本稳定在一个数值较快，后来逐渐减弱，到一定时间就基本稳定在一个数值上。即当上。即当上。即当上。即当t t时，时，y y超于某个定数，故有一水平渐近线。超于某个定数，故有一水平渐近线。t t0 0时，反应未开始，生成物的浓度为零。根据这些时，反应未开始，生成物的浓度为零。根据这些时，反应未开始，生成物的浓度为零。根据这些时，反应未开始，生成物的浓度为零。根据这些 特特特特点，可设想点，可设想y=F(t t)是是是是双曲线型双曲线型双曲线型双曲线

34、型或或或或指数型曲线指数型曲线指数型曲线指数型曲线。（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第23页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-24非线性拟合举例（续非线性拟合举例（续1）可见可见y y关于参数关于参数关于参数关于参数a a,b是非线性的为确定是非线性的为确定是非线性的为确定是非线性的为确定a,b可令：可令：可令：可令：61086422yx1816141210840图图6-2（1 1）取拟合函数为）取拟合函数为）取拟合函数为）取拟合函数为双曲线型：双曲线型：双曲线型：双曲线型：第24页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-25非线性拟合举例（续非线性拟合举

35、例（续2）则拟合函数化为则拟合函数化为y=a+b t，而将数据，而将数据(ti,yi)相应地变相应地变为为(ti,yi)，如下表：，如下表：t ti i1 11/21/21/31/31/41/41/51/51/61/61/71/71/81/8y yi i(*10(*10-3-3)0.25000.25000.156250.156250.125600.125600.113640.113640.108460.108460.105260.105260.103090.103090.101420.10142t ti i1/91/91/101/101/111/111/121/121/131/131/141/

36、141/151/151/161/16y yi i(*10(*10-3-3)0.101420.101420.098040.098040.096900.096900.095970.095970.095240.095240.094790.094790.094520.094520.094340.09434第25页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-26非线性拟合举例（续非线性拟合举例（续3）（2 2）取拟合函数为）取拟合函数为）取拟合函数为）取拟合函数为指数型指数型指数型指数型 那么，怎样比较两个数学模型的好坏呢？一般可通过比较那么，怎样比较两个数学模型的好坏呢？一般可通过比较那么，怎样比

37、较两个数学模型的好坏呢？一般可通过比较那么，怎样比较两个数学模型的好坏呢？一般可通过比较拟合函数与所给数据误差大小来确定。对此例可计算得拟合函数与所给数据误差大小来确定。对此例可计算得：同拟合函数为双曲线型过程类似，先由同拟合函数为双曲线型过程类似，先由(ti,yi)算出相应的算出相应的(ti,yi)，然后进行多项式拟合，解得，然后进行多项式拟合，解得a=4.48072,b=1.05669，从而得，从而得a=e a=1.13253102，所以拟合函数：，所以拟合函数：第26页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-27非线性拟合举例（续非线性拟合举例（续4）而均方误差为：而均方误差为：

38、而均方误差为：而均方误差为：可见可见可见可见y=F F2(t)的误差比较小，的误差比较小，的误差比较小，的误差比较小，用它作为拟合曲线更好。用它作为拟合曲线更好。从此例也可看到，选拟合曲线的类型，并不是一开始从此例也可看到，选拟合曲线的类型，并不是一开始就能选好，往往要通过分析若干模型的误差后，再经过实就能选好，往往要通过分析若干模型的误差后，再经过实就能选好，往往要通过分析若干模型的误差后，再经过实就能选好，往往要通过分析若干模型的误差后，再经过实际计算才能选到较好的模型。际计算才能选到较好的模型。际计算才能选到较好的模型。际计算才能选到较好的模型。第27页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼

39、近函数逼近6-283正交多项式曲线拟合正交多项式曲线拟合求解线性最小二乘问题，必须求解正规方程组，然而困求解线性最小二乘问题，必须求解正规方程组，然而困难的是最小二乘法的正规方程组往往是病态的，在（难的是最小二乘法的正规方程组往往是病态的，在（难的是最小二乘法的正规方程组往往是病态的，在（难的是最小二乘法的正规方程组往往是病态的，在（6-56-5）中，当中，当 k(x x)=x xk时，正规方程组的系数矩阵：时，正规方程组的系数矩阵：时，正规方程组的系数矩阵：时，正规方程组的系数矩阵：与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵：（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第28页，本讲稿共44页第六章第六章

40、函数逼近函数逼近6-29正交多项式曲线拟合（续）正交多项式曲线拟合（续）是病态阵一样，是病态阵一样，m不大时还好，不大时还好，当当m较大时为病态较大时为病态阵（阵（m太大，大小都为病态的）。因此，在实际应太大，大小都为病态的）。因此，在实际应用时，用时，m不能太大，也即曲线拟合的多项式的次数不能太大，也即曲线拟合的多项式的次数不会太大，多用低次的。不会太大，多用低次的。因此，一般情况下，对线性最小二乘问题，要因此，一般情况下，对线性最小二乘问题，要得到最小二乘拟合多项式得到最小二乘拟合多项式,就面临着要求解病态方就面临着要求解病态方程组这一困难，要克服这一困难。可以选用适用于程组这一困难，要克

41、服这一困难。可以选用适用于病态方程组求解的数值方法如奇异值分解法等去求病态方程组求解的数值方法如奇异值分解法等去求解法方程组。也可以通过生标的平移和伸缩变换，解法方程组。也可以通过生标的平移和伸缩变换，去降低法方程组的病态程度。去降低法方程组的病态程度。本节考虑用本节考虑用正交多项式正交多项式来进行曲线拟合来进行曲线拟合第29页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-303.1离散正交多项式离散正交多项式对多项式对多项式 k k(x x)和和和和 j j(x)，式（，式（，式（，式（6-46-4）定义了在离散情况下的）定义了在离散情况下的内积：内积：内积：内积：利用内利用内积，可以有积

42、，可以有:定义定义定义定义6.1 如果两个多项式如果两个多项式如果两个多项式如果两个多项式 k k(x)、j(x x)满足满足:则称则称 k(x)与与与与 j(x)在点集在点集在点集在点集x1 1,x2,xn n上是带权上是带权上是带权上是带权 i离散正交的离散正交的离散正交的离散正交的。设。设 0(x x),),1(x),mm(x)为多项式系，为多项式系，k(x x)为为为为k k次多项式次多项式次多项式次多项式，如果满足，如果满足，如果满足，如果满足正交条件：正交条件：则称则称则称则称 0 0(x),1(x x),m(x x)为点集为点集x1,x2 2,xn上的带权上的带权上的带权上的带权

43、 i i 的的离散正交多项式系离散正交多项式系离散正交多项式系离散正交多项式系。第30页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-31这样的这样的 k k(x)是首项系数为是首项系数为1 1的的的的k k次多项式，下面的定理给出了次多项式，下面的定理给出了 k k(x x)的正交性证明的正交性证明的正交性证明的正交性证明。对于给定的节点对于给定的节点对于给定的节点对于给定的节点 x1 1,x2,xn，可以按下列公式（，可以按下列公式（，可以按下列公式（，可以按下列公式（称为三称为三称为三称为三项递推式项递推式项递推式项递推式）构造离散正交多项式系：）构造离散正交多项式系：0(x),1(x

44、),),mm(x x)()(m n n)：离散正交多项式（续）离散正交多项式（续）第31页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-32构造离散正交多项式构造离散正交多项式定理定理定理定理6.26.2 按式（按式（按式（按式（6-66-6），（），（），（），（6-76-76-76-7）构造的多项式系）构造的多项式系）构造的多项式系）构造的多项式系 0 0,1 1,n n 是点集是点集 x x x x1 1 1 1,x x2 2,x xn n 上关于上关于上关于上关于 i i i i 的离散正交多项的离散正交多项式。式。证明证明:用数学归纳法证明用数学归纳法证明用数学归纳法证明用数学归纳

45、法证明当当当当k=1时时时时，利用式（，利用式（6-66-6）中第二式得）中第二式得）中第二式得）中第二式得:从而证明了从而证明了从而证明了从而证明了 0(x)与与 1 1(x)的离散正交性的离散正交性的离散正交性的离散正交性;（紧接下屏）（紧接下屏）第32页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-33构造离散正交多项式（续构造离散正交多项式（续1）由由归纳假设归纳假设：对：对待证待证待证待证：第33页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-34定理定理6.2证明（续证明（续2）归纳证明归纳证明（紧接下屏）（紧接下屏）第34页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-35

46、定理定理6.2证明（续证明（续2）对对对对j j=1,2,=1,2,mm-3-3，有，有 由归纳法原理，对一切自然数，多项式系由归纳法原理，对一切自然数，多项式系 0,1 1,mm满足正交条件，因此是点集满足正交条件，因此是点集满足正交条件，因此是点集满足正交条件，因此是点集 x xi i 上关于上关于上关于上关于 i i的正交多项式系。的正交多项式系。证毕！证毕！因此对因此对因此对因此对k=m成立。成立。成立。成立。第35页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-36构造离散多项式举例构造离散多项式举例例例6试构造点集试构造点集试构造点集试构造点集0,1,2,3,4,50,1,2,3

47、,4,5上的离散正交多项式系上的离散正交多项式系上的离散正交多项式系上的离散正交多项式系 0 0(x x),),1 1(x x),2(x x),),3(x)解解解解：若没有给出若没有给出 i，一般认为，一般认为 i=1=1，由三项递推式（，由三项递推式（6-66-6），（，（6-76-7）进行构造，计算中，在求出每个）进行构造，计算中，在求出每个 k k(x x)的同时，的同时，的同时，的同时，将其在所给节点上的值求出列入表将其在所给节点上的值求出列入表将其在所给节点上的值求出列入表将其在所给节点上的值求出列入表6-16-1中，以便求下一个中，以便求下一个 k+1(x)时使用。时使用。x x0

48、 01 12 23 34 45 5 1 11 11 11 11 11 1-2.5-2.5-1.5-1.5-0.5-0.50.50.51.51.52.52.5 10/310/3-2/3-2/3-8/3-8/3-8/3-8/3-2/3-2/310/310/3表表表表6-16-1第36页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-373.2用离散正交多项式作曲线拟合用离散正交多项式作曲线拟合设设设设(xi,yi i)()(i=1,2,=1,2,n)为给定数据。为给定数据。i i 为对应的权系数为对应的权系数为对应的权系数为对应的权系数(i=1,2,n)，若未给出，若未给出，若未给出，若未给出 i

49、，则认为，则认为 i=1=1，0 0(x),),1 1(x x),mm(x x)为点集为点集为点集为点集x xi i 上的离散正交多项式系，上的离散正交多项式系，为由其所有线为由其所有线性组合生成的多项式集合性组合生成的多项式集合:=SpanSpan 0 0(x),1(x x),mm(x)使其满足式（使其满足式（6-2），利用多项式），利用多项式 0(x),),1(x x),m(x)的离的离的离的离散正交性易知，此时正规方程组（散正交性易知，此时正规方程组（散正交性易知，此时正规方程组（散正交性易知，此时正规方程组（6-5）的系数矩阵为对角阵：）的系数矩阵为对角阵：用离散正交多项式进行最小二乘

50、曲线拟合用离散正交多项式进行最小二乘曲线拟合用离散正交多项式进行最小二乘曲线拟合用离散正交多项式进行最小二乘曲线拟合,亦即求亦即求亦即求亦即求：（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第37页，本讲稿共44页第六章第六章函数逼近函数逼近6-38用离散正交多项式作曲线拟合（续）用离散正交多项式作曲线拟合（续）可见，不用解线性方程组，可见，不用解线性方程组，可见，不用解线性方程组，可见，不用解线性方程组，可减少含入误差，避免病态可减少含入误差，避免病态可减少含入误差，避免病态可减少含入误差，避免病态情况出现，直接计算可得情况出现，直接计算可得:这样可总结利用离散正交多项式求给定这样可总结利