高中数学-2.2.3.1直线与圆的位置关系ppt课件-北师大版必.ppt

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1、 研究直线与圆的位置关系有两种方法：研究直线与圆的位置关系有两种方法：(1)(1)几何法：令圆心到直线的距离为几何法：令圆心到直线的距离为d,d,圆的半径为圆的半径为r.r.利用利用d d与与r r的关系判定的关系判定判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系 (2)(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后消元后得到一元二次方程，其判别式为得到一元二次方程，其判别式为.0 0 直线与圆相离直线与圆相离;=0=0 直线与圆相切直线与圆相切;0 0 直线与圆相交直线与圆相交.【例【例1 1】判断下列直线与圆的位置关系，如果有公共点求出】判断下

2、列直线与圆的位置关系，如果有公共点求出它们公共点的坐标它们公共点的坐标.(1)(1)直线直线:x+y:x+y=0,=0,圆圆:x:x2 2+y+y2 2+2x+4y-4=0;+2x+4y-4=0;(2)(2)直线直线:y=x+5,:y=x+5,圆圆:x:x2 2+y+y2 2+2x-4y+3=0;+2x-4y+3=0;(3)(3)直线：直线：x+yx+y=3=3，圆：，圆：x x2 2+y+y2 2-4x+2y+4=0.-4x+2y+4=0.【审题指导【审题指导】题中分别给出了直线方程和圆的一般方程，题中分别给出了直线方程和圆的一般方程，可以用代数法可以用代数法(方程组解的个数方程组解的个数)

3、判断位置关系，也可以用判断位置关系，也可以用几何法几何法(圆心到直线的距离与半径比较圆心到直线的距离与半径比较)判断判断.【规范解答【规范解答】(1)(1)方法一：圆方法一：圆x x2 2+y+y2 2+2x+4y-4=0+2x+4y-4=0，方程可化为方程可化为(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9=9，圆心坐标为，圆心坐标为(-1(-1，-2)-2)，半径为半径为3 3，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离所以直线与圆相交，有两个交点所以直线与圆相交，有两个交点.由由 解得解得 或或所以直线与圆的两个交点的坐标分别是所以直线与圆的两个交点的坐标分别是(-1,1),(2,

4、-2).(-1,1),(2,-2).方法二方法二:由由消去消去y y得得x x2 2-x-2=0.-x-2=0.因为因为=(-1)=(-1)2 2-4-41 1(-2)=9(-2)=90,0,所以方程组有两解所以方程组有两解,直线与圆有两个公共点直线与圆有两个公共点.以下同方法一以下同方法一.(2)(2)方法一方法一:直线的方程可化为直线的方程可化为x-y+5=0.x-y+5=0.圆的方程可化为圆的方程可化为(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=2,=2,其圆心坐标为其圆心坐标为(-1,2),(-1,2),半径为半径为圆心到直线的距离圆心到直线的距离所以直线与圆相切所以直线

5、与圆相切,有一个公共点有一个公共点.由由 解得解得所以切点坐标为所以切点坐标为(-2,3).(-2,3).方法二方法二:由由消去消去y y得得x x2 2+4x+4=0.+4x+4=0.因为因为=4=42 2-4-41 14=0.4=0.所以直线与圆相切所以直线与圆相切,有有1 1个公共点个公共点.解方程组可得解方程组可得所以切点坐标为所以切点坐标为(-2,3).(-2,3).(3)(3)直线方程可化为直线方程可化为x+y-3=0.x+y-3=0.圆的方程可化为圆的方程可化为(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.其圆心的坐标为其圆心的坐标为(2,-1),(2,-1

6、),半径为半径为1,1,圆心到直线的距离圆心到直线的距离所以直线与圆相离所以直线与圆相离,没有公共点没有公共点.1.1.过圆上一点求圆的切线方程的一般步骤过圆上一点求圆的切线方程的一般步骤:(1)(1)求切点与圆心连线的斜率求切点与圆心连线的斜率k.k.(2)(2)由垂直关系得切线斜率为由垂直关系得切线斜率为(3)(3)代入点斜式方程得切线方程代入点斜式方程得切线方程.当切线方程的斜率当切线方程的斜率k=0k=0或或k k不存在时，可由图不存在时，可由图形直接得到切线方程为形直接得到切线方程为y=by=b或或x=a.x=a.圆的切线方程的求法圆的切线方程的求法2.2.过圆外一点求圆的切线方程的

7、方法过圆外一点求圆的切线方程的方法:(1)(1)几何法几何法设切线方程为设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),即即kx-y-kxkx-y-kx0 0+y+y0 0=0,=0,由圆心到直线由圆心到直线的距离等于半径，可求得的距离等于半径，可求得k k，进而求出切线方程，进而求出切线方程.(2)(2)代数法代数法设切线方程为设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),即即y=kx-kxy=kx-kx0 0+y+y0 0,代入圆的方程，代入圆的方程，得一个关于得一个关于x x的一元二次方程，由的一元二次方程，由=0=0求得求得k,k,切线方程即可

8、切线方程即可求出求出.过圆外一点的切线必有两条过圆外一点的切线必有两条,当求得一条当求得一条直线时直线时,另一条一定是斜率不存在的情形另一条一定是斜率不存在的情形.【例【例2 2】求过点】求过点(1(1，-7)-7)且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=25=25相切的直线方程相切的直线方程.【审题指导【审题指导】解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置关系，在此基础上选择代数法或几何法求切线方程关系，在此基础上选择代数法或几何法求切线方程.【规范解答【规范解答】方法一：由题意知切线斜率存在，设切线的方法一：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为斜率为k,k

9、,则切线方程为则切线方程为y+7=k(x-1),y+7=k(x-1),即即kx-y-k-7=0.kx-y-k-7=0.解得解得 或或所求切线方程为所求切线方程为 或或即即4x-3y-25=04x-3y-25=0或或3x+4y+25=0.3x+4y+25=0.方法二：由题意知切线斜率存在方法二：由题意知切线斜率存在,设切点为设切点为(x(x0 0,y,y0 0),),则则解得解得 或或切线方程为切线方程为4x-3y-25=04x-3y-25=0或或3x+4y+25=0.3x+4y+25=0.方法三：由题意知切线斜率存在方法三：由题意知切线斜率存在.设切线斜率为设切线斜率为k,k,则切线方程为则切

10、线方程为y+7=k(x-1),y+7=k(x-1),即即y=k(x-1)-7,y=k(x-1)-7,由由 得得x x2 2+k(x-1)-7k(x-1)-72 2=25,=25,即即(k(k2 2+1)x+1)x2 2-(2k-(2k2 2+14k)x+k+14k)x+k2 2+14k+24=0.+14k+24=0.=(2k=(2k2 2+14k)+14k)2 2-4(k-4(k2 2+1)+1)(k(k2 2+14k+24)=0.+14k+24)=0.解得解得 或或所求切线方程为所求切线方程为 或或 即即4x-3y-25=04x-3y-25=0或或3x+4y+25=0.3x+4y+25=0.

11、弦长问题的求解策略弦长问题的求解策略思路一思路一(代数法代数法)：解直线和圆的相交弦问题：解直线和圆的相交弦问题,常常采用联立常常采用联立方程组方程组,消元得到关于消元得到关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程,利用弦长公利用弦长公式式 (或或 )求解求解.思路二思路二(几何法几何法)：直线和圆相交求弦长：直线和圆相交求弦长,可用圆心到直线的可用圆心到直线的距离距离d d、半径、半径r r及半弦长及半弦长 组成的直角三角形求解组成的直角三角形求解.解有关直线与圆的弦长问题一般用几何法解有关直线与圆的弦长问题一般用几何法.与弦长有关的问题与弦长有关的问题【例【例3 3】(2010(

12、2010四川高考四川高考)直线直线x-2y+5=0 x-2y+5=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=8=8相交于相交于A A、B B两点，则两点，则|AB|=_.|AB|=_.【审题指导【审题指导】(代数法代数法)：联立直线：联立直线x-2y+5=0 x-2y+5=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=8=8的的方程消元得到关于方程消元得到关于x x的一元二次方程的一元二次方程,利用弦长公式利用弦长公式 求解求解;(几何法几何法)：求圆心到直线的距离：求圆心到直线的距离d d，利用，利用d d、半径、半径r r及半弦长及半弦长 组成的直角三角形解出组成的直角三角形解出|AB|.|AB|.【

13、规范解答【规范解答】方法一方法一:设设A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，由由 消去消去y y得得 5x5x2 2+10 x-7=0.+10 x-7=0.由根与系数的关系得由根与系数的关系得方法二方法二:因为圆心到直线的距离因为圆心到直线的距离所以所以答案：答案：【例】直线【例】直线l经过点经过点P(5P(5，5),5),并和圆并和圆C C：x x2 2+y+y2 2=25=25相交，截得相交，截得弦长为弦长为 求求l的方程的方程.【审题指导【审题指导】当直线当直线l的斜率不存在时，的斜率不存在时，l:x:x=5=5与圆与圆C C相切，相切，所以直线所以直线

14、l的斜率存在，可设直线的斜率存在，可设直线l的方程为的方程为y-5=k(x-5)y-5=k(x-5)，根，根据弦长据弦长 如果联立方程组，求交点如果联立方程组，求交点A A、B B坐标，计坐标，计算量较大，通常在这里可采取算量较大，通常在这里可采取“设而不求设而不求”的方法的方法.【规范解答【规范解答】据题意知直线据题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线l的方程为的方程为y-5=k(x-5)y-5=k(x-5)与圆与圆C C相交于相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，如图所示，如图所示，|OH|OH|是圆心到直线是圆心到直线l的距离，的距离

15、，|OA|OA|是圆的半径，是圆的半径，|AH|AH|是弦长是弦长|AB|AB|的一半，的一半，在在RtAHORtAHO中，中，|OA|=5,|OA|=5,解得解得 或或k=2.k=2.直线直线l的方程为的方程为x-2y+5=0 x-2y+5=0或或2x-y-5=0.2x-y-5=0.【典例】【典例】(12(12分分)(2010)(2010江苏高考改编江苏高考改编)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,已知圆已知圆x x2 2+y+y2 2=4=4上有且仅有四个点到直线上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=012x-5y+c=0的距离为的距离为1,1,求实数求实数c c的取值范围

16、的取值范围.【审题指导【审题指导】该类问题属于该类问题属于“圆定直线变圆定直线变”的问题的问题,求解时求解时应充分结合圆的对称性及数形结合的思想应充分结合圆的对称性及数形结合的思想.由题意分析由题意分析,可可把问题转化为坐标原点到直线的距离小于把问题转化为坐标原点到直线的距离小于1,1,从而求出从而求出c c的取的取值范围值范围.【规范解答【规范解答】如图，圆如图，圆x x2 2+y+y2 2=4=4的半径为的半径为2 2，圆上有且仅有四个点到直线圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=012x-5y+c=0的距离为的距离为1,1,问题转问题转化为坐标原点化为坐标原点(0(0，0)0)到直线

17、到直线12x-5y+c=012x-5y+c=0的距离小于的距离小于1.1.6 6分分 8 8分分即即|c|c|13,13,-13-13c c13.13.1212分分【误区警示【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.直角坐标平面内，过点直角坐标平面内，过点P(2,1)P(2,1)且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=4=4相切的直线相切的直线()()(A)(A)有两条有两条 (B)(B)有且仅有一条有且仅有一条(C)(C)不存在不存在 (D)(D)不能确定不能确定【解析【解析】选选A.A.可以判断点可以判断点P P在圆外，因此，过点在圆外，因

18、此，过点P P与圆相切与圆相切的直线有两条的直线有两条.2.2.过点过点P(0,1)P(0,1)与圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x-3=0-2x-3=0相交的所有直线中，被圆截相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是得的弦最长时的直线方程是()()(A)x=0 (B)y(A)x=0 (B)y=1=1(C)x+y-1=0 (D)x-y+1=0(C)x+y-1=0 (D)x-y+1=0【解析【解析】选选C.C.点点P(0,1)P(0,1)在圆在圆x x2 2+y+y2 2-2x-3=0-2x-3=0内，圆心为内，圆心为C(1C(1，0)0)，截得的弦最长时的直线为，截得的弦最长时的直

19、线为CPCP，方程是，方程是即即x+y-1=0.x+y-1=0.3.3.设直线设直线l过点过点(-2,0)(-2,0)，且与圆，且与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相切，则相切，则l的斜率是的斜率是()()【解析【解析】选选C.C.由题意知直线由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为的斜率存在，设直线的方程为y=k(x+2),y=k(x+2),直线直线l与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相切可得相切可得解得解得 斜率为斜率为4.4.直线直线 被圆被圆x x2 2+y+y2 2-6x-2y-15=0-6x-2y-15=0所截得的弦长等于所截得的弦长等于_._.【解析【解析】由题可知圆

20、的圆心为由题可知圆的圆心为(3,1),(3,1),半径半径r=5r=5，圆心到直线，圆心到直线 的距离的距离 所以直线被圆所截得的弦所以直线被圆所截得的弦长等于长等于答案：答案：5.5.以点以点(2(2，-1)-1)为圆心且与直线为圆心且与直线x+yx+y=6=6相切的圆的方程是相切的圆的方程是_._.【解析【解析】将直线将直线x+yx+y=6=6化为化为x+y-6=0,x+y-6=0,圆的半径圆的半径 所以圆的方程为所以圆的方程为答案：答案：6.6.已知直线已知直线l:3x+4y-12=0:3x+4y-12=0与圆与圆C:xC:x2 2+y+y2 2+2x-4y+1=0+2x-4y+1=0，

21、试判断它，试判断它们的公共点的个数们的公共点的个数.【解析【解析】圆的方程可化为圆的方程可化为(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圆心为其圆心为C(-1,2),C(-1,2),半径为半径为2.2.圆心到直线的距离圆心到直线的距离故直线与圆的公共点有故直线与圆的公共点有2 2个个 .一、选择题一、选择题(每题每题4 4分，共分，共1616分分)1.(20111.(2011杭州高二检测杭州高二检测)若圆若圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0与与x x轴相切于轴相切于原点原点,则则()()(A)D=E=0,F0 (B)E=F=0,D0

22、(A)D=E=0,F0 (B)E=F=0,D0(C)D=F=0,E0 (D)F=0,D(C)D=F=0,E0 (D)F=0,D0 0【解析【解析】选选C.C.圆圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0与与x x轴相切于原点轴相切于原点,2.(20102.(2010广东高考广东高考)若圆心在若圆心在x x轴上，半径为轴上，半径为 的圆的圆O O位于位于y y轴左侧，且与直线轴左侧，且与直线x+2y=0 x+2y=0相切，则圆相切，则圆O O的方程是的方程是()()(A)(x(A)(x-)-)2 2+y+y2 2=5 (B)(x=5 (B)(x+)+)2 2+y+y2

23、2=5=5(C)(x-5)(C)(x-5)2 2+y+y2 2=5 (D)(x+5)=5 (D)(x+5)2 2+y+y2 2=5=5 【解题提示【解题提示】由切线的性质：圆心到切线的距离等由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解于半径求解.【解析【解析】选选D.D.设圆心为设圆心为(a,0)(a(a,0)(a0)0)，则，则解得解得a=-5a=-5，所以，所求圆的方程为所以，所求圆的方程为:(x+5):(x+5)2 2+y+y2 2=5=5，故选，故选D.D.3.3.由点由点P(-1,4)P(-1,4)向圆向圆x x2 2+y+y2 2-4x-6y+12=0-4x-6y+12=0引的切线长

24、是引的切线长是()()(A)3 (B)(C)(D)5(A)3 (B)(C)(D)5【解析【解析】选选A.A.圆的方程可化为圆的方程可化为(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1，则点则点P(-1,4)P(-1,4)到圆心的距离为到圆心的距离为由点由点P P向圆引的切线长为向圆引的切线长为4.4.直线直线y=x+by=x+b与曲线与曲线 有且仅有一个公共点，则实有且仅有一个公共点，则实数数b b的取值范围是的取值范围是()()(A)b(A)b=(B)-1b1=(B)-1b1或或b=-b=-(C)-1b1 (D)-(C)-1b1 (D)-【解析【解析】选选B.B.曲线曲线

25、表示表示半圆，如图，作半圆的切线半圆，如图，作半圆的切线l1 1和经过端点和经过端点A A，B B的直线的直线l3 3,l2 2，由图可知，当直线由图可知，当直线y=x+by=x+b位于位于l2 2和和l3 3之间时，满足题意之间时，满足题意.-1b1.-1b1.而而l1 1与半圆相切，此时可求得与半圆相切，此时可求得因此因此b b的取值范围是的取值范围是-1b1-1b1或或 【方法技巧【方法技巧】数形结合在求解直线与圆交点个数中数形结合在求解直线与圆交点个数中的应用的应用直线与圆的一部分有交点时，如果采用代数法去研究，则直线与圆的一部分有交点时，如果采用代数法去研究，则消元以后转化成了给定区

26、间的二次方程根的分布问题，求消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题，求解过程相对复杂，而如果采用数形结合及直线与圆的几何解过程相对复杂，而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解，先找出边界，然后结合直线或圆的变化特征求解，法求解，先找出边界，然后结合直线或圆的变化特征求解，相对来说就简单得多了相对来说就简单得多了.二、填空题二、填空题(每题每题4 4分，共分，共8 8分分)5.5.若直线若直线l过点过点 且被圆且被圆x x2 2+y+y2 2=25=25截得的弦长为截得的弦长为8 8，直线直线l的方程是的方程是 _._.【解析【解析】当当l的斜率不存在时，其方程为的斜率不存在时，其方程

27、为x=-3x=-3，显然其截圆，显然其截圆得的弦长为得的弦长为8 8，符合题意，符合题意.当当l的斜率存在时，设的斜率存在时，设l的方程为的方程为 即即 由题意可知由题意可知 解得解得即此时即此时l的方程为的方程为3x+4y+15=0.3x+4y+15=0.答案：答案：x=-3x=-3或或3x+4y+15=03x+4y+15=06.(20106.(2010天津高考天津高考)已知圆已知圆C C的圆心是直线的圆心是直线x-y+1=0 x-y+1=0与与x x轴的轴的交点，且圆交点，且圆C C与直线与直线x+y+3=0 x+y+3=0相切，则圆相切，则圆C C的方程为的方程为_._.【解析【解析】由

28、题意可得圆心由题意可得圆心(-1,0)(-1,0)，圆心到直线，圆心到直线x+y+3=0 x+y+3=0的的距离即为圆的半径，故距离即为圆的半径，故 所以圆的方程为所以圆的方程为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=2.=2.答案：答案：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=2=2三、解答题三、解答题(每题每题8 8分，共分，共1616分分)7.(20117.(2011石家庄高二检测石家庄高二检测)求过点求过点A(2,4)A(2,4)向圆向圆x x2 2+y+y2 2=4=4所引所引的切线方程的切线方程.【解析【解析】因为该点在圆外，设直线斜率为因为该点在圆外，设直线斜率为k,k,则直

29、线的方程则直线的方程为为y-4=k(x-2),y-4=k(x-2),即即kx-y+4-2k=0,kx-y+4-2k=0,所以所以 解得解得所以直线方程为所以直线方程为:3x-4y+10=0.:3x-4y+10=0.又当直线的斜率不存在时又当直线的斜率不存在时x=2x=2也满足题意也满足题意.故所求直线的方程为故所求直线的方程为3x-4y+10=03x-4y+10=0或或x=2.x=2.【误区警示【误区警示】本题在求解直线方程时常因思维不全本题在求解直线方程时常因思维不全面而漏掉直线方程面而漏掉直线方程x=2.x=2.8.8.已知方程：已知方程：x x2 2+y+y2 2-2mx+2(m-2)y

30、=0.-2mx+2(m-2)y=0.(1)(1)求半径最小时圆的方程求半径最小时圆的方程;(2)(2)判断直线判断直线3x+4y-2=03x+4y-2=0与与(1)(1)中圆的位置关系中圆的位置关系.【解析【解析】(1)(1)原方程可化为原方程可化为(x-m)(x-m)2 2+(y+m-2)+(y+m-2)2 2=2(m-1)=2(m-1)2 2+2,+2,当当m=1m=1时，半径最小时，半径最小.此时圆的方程为此时圆的方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2.=2.(2)(2)圆心圆心(1(1，1)1)到直线到直线3x+4y-2=03x+4y-2=0的距离为的距离为

31、所以直线和圆相交所以直线和圆相交.【挑战能力【挑战能力】(10(10分分)已知圆已知圆C C：x x2 2+y+y2 2-8y+12=0-8y+12=0，直线，直线l：ax+y+2a=0.ax+y+2a=0.(1)(1)当当a a为何值时为何值时,直线直线l与圆与圆C C相切相切;(2)(2)当直线当直线l与圆与圆C C相交于相交于A A、B B两点两点,且且 时时,求直线求直线l的方程的方程.【解析【解析】将圆将圆C:xC:x2 2+y+y2 2-8y+12=0-8y+12=0化为标准方程为化为标准方程为x x2 2+(y-4)+(y-4)2 2=4,=4,则圆则圆C C的圆心为的圆心为(0,4),(0,4),半径为半径为2.2.(1)(1)若直线若直线l与圆与圆C C相切则有相切则有 解得解得(2)(2)过圆心过圆心C C作作CDAB,CDAB,则根据题意和圆的性质则根据题意和圆的性质,得得解得解得a=-7a=-7或或-1.-1.直线直线l的方程为的方程为7x-y+14=07x-y+14=0或或x-y+2=0.x-y+2=0.