第条件异方差模型.pptx

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1、1 恩格尔和克拉格（恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。方差取决于后续扰动项的大小。第1页/共102页2 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率

2、等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。预测误差的方差中有某种相关性。为了

3、刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。模型。ARCH的主要思想是时刻的主要思想是时刻 t 的的ut 的方差的方差(=t2 )依赖于时刻依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于的扰动项平方的大小，即依赖于 t2-1。第2页/共102页3 6.1.1 ARCH6.1.1 ARCH模型模型模型模型 为了说得更具体，让我们回到为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：变量回归模型：(6.1.1)如如果果 ut 的的均均值值为为零零，对对 yt 取取基基于于(t-1)时时刻刻的的信信息息的的期期望望，即即Et-1(yt)，有有

4、如如下下的的关系：关系：(6.1.2)由于由于 yt 的均值近似等于式（的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（）的估计值，所以式（6.1.1）也称为）也称为均值方程均值方程均值方程均值方程。第3页/共102页4 在这个模型中，变量在这个模型中，变量 yt 的条件方差为的条件方差为 （6.1.3）其中：其中：var(yt Yt-1)表示基于表示基于(t-1)时刻的信息集合时刻的信息集合Yt-1=yt-1,yt-2,y1的的 yt 的条件方差，的条件方差，假设在时刻假设在时刻(t 1)所有信息已知的条件下，扰动项所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条件分布是：的条件分布是：(6.1.7

5、)也也就就是是，ut 遵遵循循以以0为为均均值值，(0+1u2t-1)为为方方差差的的正正态态分布。分布。第4页/共102页5 由于由于(6.1.7)中中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为它为ARCH(1)过程：过程：通通常常用用极极大大似似然然估估计计得得到到参参数数 0,1,2,k,0,1的的有有效估计。效估计。容易加以推广，容易加以推广，ARCH(p)过程可以写为：过程可以写为：(6.1.8)这时方差方程中的这时方差方程中的(p+1)个参数个参数 0,1,2,p也要和回归模也要和回归模型中的参数型中的参数 0,1,2,k一样，利用极大似然

6、估计法进行估一样，利用极大似然估计法进行估计。计。第5页/共102页6 如果扰动项方差中没有自相关，就会有如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0：这时这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩恩格格尔尔曾曾表表明明，容容易易通通过过以以下下的的回回归归去去检检验验上上述述虚虚拟拟假设：假设：其中，其中，t 表示从原始回归模型（表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的）估计得到的OLS残残差。差。第6页/共102页7 在在 ARCH(p)过过程程中中，由由于于 ut 是是随随机机的的，ut2 不不可可能能为为负负，所所以以对对于于 ut 的的所所有有实实现现

7、值值，只只有有是是正正的的，才才是是合合理理的的。为为使使 ut2 协协方方差差平平稳稳，所所以以进进一一步步要要求求相相应应的的特征方程特征方程 （6.1.9）的根全部位于单位圆外。如果的根全部位于单位圆外。如果 i（i=1,2,p）都非都非负，式（负，式（6.1.9）等价于）等价于 1+2+p 1 1。第7页/共102页86.1.2 ARCH6.1.2 ARCH的检验的检验的检验的检验 下下面面介介绍绍检检验验一一个个模模型型的的残残差差是是否否含含有有ARCH效效应应的的两两种种方方法法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。检验和残差平方相关图检验。1.ARCH LM1.ARCH L

8、M检验检验检验检验 Engle在在1982年提出检验残差序列中是否存在年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘效应的拉格朗日乘数检验（数检验（Lagrange multiplier test），即），即ARCH LM检验。自回归条件异方检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽估计无效，但是，忽略略ARCH影响可能导致有效性降低。影响可能导致有效性降低。第8页/共10

9、2页9 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直原假设：残差中直原假设：残差中直原假设：残差中直到到到到q q阶都没有阶都没有阶都没有阶都没有ARCHARCH，运行如下回归：运行如下回归：式式中中 t 是是残残差差。这这是是一一个个对对常常数数和和直直到到 q 阶阶的的滞滞后后平平方方残残差差所所作作的的回回归归。这这个检验回归有两个统计量：个检验回归有两个统计量：（1）F 统统计计量量是是对对所所有有残残差差平平方方的的滞滞后后的的联联合合显显著著性性所所作作的的一一个个省省略略变变量量检验；检验；（2）T R2 统统计计

10、量量是是Engles LM检检验验统统计计量量，它它是是观观测测值值个个数数 T 乘乘以以回回归归检验的检验的 R2；第9页/共102页10 普通回归方程的普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中检验都是在残差检验下拉列表中进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustom Test Wizard图图图图6.4 6.4 普通方程的普通方程的

11、普通方程的普通方程的ARCHARCH检验列表检验列表检验列表检验列表第10页/共102页112.2.残差平方相关图残差平方相关图残差平方相关图残差平方相关图 显显示示直直到到所所定定义义的的滞滞后后阶阶数数的的残残差差平平方方t2的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数，计计算算出出相相应应滞滞后后阶阶数数的的Ljung-Box统统计计量量。残残差差平平方方相相关关图图可可以以用用来来检检查查残残差差自自回回归归条条件件异异方方差差性性（ARCH）。如如如如果果果果残残残残差差差差中中中中不不不不存存存存在在在在ARCHARCH，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后自自自自相相

12、相相关关关关和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关系系系系数数数数应应应应为为为为0 0，且且且且QQ统统统统计计计计量量量量应应应应不不不不显显显显著著著著。可可适适用用于于LS，TSLS，非非线线性性LS方方程程。在在图图6.4中中选选择择Residuals Tests/Correlogram Squared Residuals项项，它它是是对对方方程程进进行行残残差差平平方方相相关关图图的的检检验验。单单击击该该命命令令，会会弹弹出出一一个个输输入入计计算算自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数的的滞滞后后阶阶数数设设定定的的对对话话框框，默默认认的的设设定定为为36，单单击击OK按

13、按钮钮，得得到检验结果。到检验结果。第11页/共102页12 例例例例6.6.1 1 沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的沪市股票价格指数波动的ARCHARCH检验检验检验检验 为为了了检检验验股股票票价价格格指指数数的的波波动动是是否否具具有有条条件件异异方方差差性性，本本例例选选择择了了沪沪市市股股票票的的收收盘盘价价格格指指数数的的日日数数据据作作为为样样本本序序列列，这这是是因因为为上上海海股股票票市市场场不不仅仅开开市市早早，市市值值高高，对对于于各各种种冲冲击击的的反反应应较较为为敏敏感感，因因此此，本本例例所所分分析析的的沪沪市市股股票票价价格格波波

14、动动具具有有一一定定代代表表性性。在在这这个个例例子子中中，我我们们选选择择的的样样本本序序列列sp是是1996年年1月月1日日至至2006年年12月月31日日的的上上海海证证券券交交易易所所每每日日股股票票价价格格收收盘盘指指数数，为为了了减减少少舍舍入入误误差差，在在估估计计时时，对对sp进进行行自自然然对对数数处处理理，即将序列即将序列ln(sp)作为因变量进行估计。作为因变量进行估计。第12页/共102页13 由由于于股股票票价价格格指指数数序序列列常常常常用用一一种种特特殊殊的的单单位位根根过过程程随随机机游游动动（Random Walk）模模型型描描述述，所所以以本本例例进进行行估

15、估计计的基本形式为：的基本形式为：(6.1.12)首首先先利利用用最最小小二二乘乘法法，估估计计了了一一个个普普通通的的回回归归方方程程，结结果如下：果如下：(6.1.13)(2.35)(951)R2=0.997 第13页/共102页14 可可以以看看出出，这这个个方方程程的的统统计计量量很很显显著著，而而且且，拟拟合合 的的程程度度也也很很好好。但但是是需需要要检检验验这这个个方方程程的的误误差差项项是是否否存存在条件异方差性，。在条件异方差性，。第14页/共102页15 图图图图6.16.1 股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差

16、观观察察上上图图，该该回回归归方方程程的的残残差差，我我们们可可以以注注意意到到波波动动的的“成成群群”现现象象：波波动动在在一一些些较较长长的的时时间间内内非非常常小小，在在其其他他一一些些较较长长的的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。效应。第15页/共102页16 因此，对式因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的进行条件异方差的ARCH LM检验，得检验，得到了在滞后阶数到了在滞后阶数p=3时的时的ARCH LM检验结果如下。此处的检验结果如下。此处的P值为值为0，拒绝原假设，说明式（，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在

17、）的残差序列存在ARCH效应。效应。可以计算式（可以计算式（6.1.26）的残差平方）的残差平方t2的自相关（的自相关（AC）和偏自）和偏自相关（相关（PAC）系数，结果说明式（）系数，结果说明式（6.1.26）的残差序列存在）的残差序列存在ARCH效应。效应。第16页/共102页17 例例例例6.6.2 2 中国中国中国中国CPICPI模型的模型的模型的模型的ARCHARCH检验检验检验检验 本例建立本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去）减去100，记，记为为cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量；解释变

18、量选择货币政策变量：狭义货币供应量M1的增长率，记为的增长率，记为m1rt；3年期年期贷款利率，记为贷款利率，记为Rt，样本期间是，样本期间是1994年年1月月2007年年12月。由于是月度数据，利用月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对季节调整方法对 cpit 和和 m1rt 进行了调整，结果如下：进行了调整，结果如下：t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)R2=0.99 对数似然值对数似然值=-167.79 AIC=2.045 SC=2.12 第17页/共102页18 这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察

19、该回归方程的残差图，也可以注意到波动的观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。这说明误差项可能具有条件异方差性。第18页/共102页19 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，检验，得到了在滞后阶数得到了在滞后阶数p=1时的时的ARCH LM检验结果：检验结果：因此计算残差平方因此计算残差平方t2的自相关

20、（的自相关（AC）和偏自相关（）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：系数，结果如下：第19页/共102页20 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型模型重新估计模型（6.1.14），结），结果如下：果如下：均值方程：均值方程：z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)方差方程：方差方程：z=(5.03)(3.214)R2=0.99 对数似然值对数似然值=-151.13 AIC=1.87 SC=1.98 方差方程中的方差方程中的ARCH项的系数是

21、统计显著的，并且对数似然值项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，这说明值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更模型能够更好的拟合数据。好的拟合数据。第20页/共102页21 再对这个方程进行条件异方差的再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了检验，得到了残差序列在滞后阶数残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：时的统计结果：此时的相伴概率为此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列，接受原假设，认为该残差序列不存在不存在ARCH效应，说明利用效应，说明利用ARCH(1)模型消除了式模型消除了式（6.1.14）的残差序列

22、的条件异方差性。式（）的残差序列的条件异方差性。式（6.1.15）的残差）的残差平方相关图的检验结果为：平方相关图的检验结果为：自相关系数和偏自相关系数近似为自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了。这个结果也说明了残差序列不再存在残差序列不再存在ARCH效应。效应。第21页/共102页22 6.1.3 6.1.3 GARCHGARCH模型模型模型模型 扰扰动动项项 ut 的的方方差差常常常常依依赖赖于于很很多多时时刻刻之之前前的的变变化化量量（特特别别是是在在金金融融领领域域，采采用用日日数数据据或或周周数数据据的的应应用用更更是是如如此此）。因因此此 必必须须估估计计很很多多参参

23、数数，而而这这一一点点很很难难精精确确的的做做到到。但但是是如如果果我我们们能能够够意意识识到到方方程程(6.1.8)不不过过是是 t2 的的分分布布滞滞后后模型，模型，我我们们就就能能够够用用一一个个或或两两个个 t2 的的滞滞后后值值代代替替许许多多 ut2 的的滞滞后后值值，这这就就是是广广义义自自回回归归 条条 件件 异异 方方 差差 模模 型型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简简记记为为GARCH模模型型)。在在GARCH模模型型中中，要要考考虑虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是

24、条件方差。两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。第22页/共102页23 在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中：模型中：均值方程：均值方程：(6.1.17)方差方程：方差方程：(6.1.18)其其中中：xt 是是(k+1)1维维外外生生变变量量向向量量，是是(k+1)1维维系系数数向向量量。(6.1.17)中中给给出出的的均均值值方方程程是是一一个个带带有有扰扰动动项项的的外外生生变变量量函函数数。由由于于 t2是是以以前前面面信信息息为为基基础础的的一一期期向向前前预预测测方方差差，所所以以它它被被称称作作条条件件方方差差，式式（6.1.18）也也被被称称作作条条条条件

25、件件件方方方方差差差差方方方方程程程程。第23页/共102页24 (6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1常数项（均值）：常数项（均值）：2用用均均值值方方程程(6.1.11)的的扰扰动动项项平平方方的的滞滞后后来来度度量量从从前期得到的波动性的信息：前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。项）。3上一期的预测方差：上一期的预测方差：t2-1 （GARCH项）。项）。GARCH(1,1)模模型型中中的的(1,1)是是指指阶阶数数为为1的的GARCH项项（括括号号中中的的第第一一项项）和和阶阶数数为为1的的ARCH项项（括括号号中中

26、的的第第二二项项）。一一个个普普通通的的ARCH模模型型是是GARCH模模型型的的一一个个特特例例，GARCH(0,1)，即即在在条条件件方方差差方方程程中中不不存存在在滞滞后后预预测方差测方差 t2-1的说明。的说明。第24页/共102页25 在在EViews中中ARCH模模型型是是在在扰扰动动项项是是条条件件正正态态分分布布的的假假定定下下，通通过过极极大大似似然然函函数数方方法法估估计计的的。例例如如，对对于于GARCH(1,1)，t 时时期期的对数似然函数为：的对数似然函数为：(6.1.19)其中其中(6.1.20)这这个个说说明明通通常常可可以以在在金金融融领领域域得得到到解解释释，

27、因因为为代代理理商商或或贸贸易易商商可可以以通通过过建建立立长长期期均均值值的的加加权权平平均均（常常数数），上上期期的的预预期期方方差差（GARCH项项）和和在在以以前前各各期期中中观观测测到到的的关关于于变变动动性性的的信信息息（ARCH项项）来来预预测测本本期期的的方方差差。如如果果上上升升或或下下降降的的资资产产收收益益出出乎乎意意料料地地大大，那那么么贸贸易易商商将将会会增增加加对对下下期期方方差差的的预预期期。这这个个模模型型还还包包括括了了经经常常可可以以在在财财务务收收益益数数据据中中看看到到的的变变动动组组，在在这这些些数数据据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。

28、中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。第25页/共102页26 有有两两个个可可供供选选择择的的方方差差方方程程的的描描述述可可以以帮帮助助解解释释这这个个模模型：型：1如如果果我我们们用用条条件件方方差差的的滞滞后后递递归归地地替替代代（6.1.18）式式的的右右端端，就就可可以以将将条条件件方方差差表表示示为为滞滞后后扰扰动动项项平平方方的的加加权权平平均：均：（6.1.21）我我们们看看到到GARCH(1,1)方方差差说说明明与与样样本本方方差差类类似似，但但是是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。第26页/共1

29、02页27 2设设 vt=ut2 t2。用用其其替替代代方方差差方方程程（6.1.18）中中的的方方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：差并整理，得到关于扰动项平方的模型：（6.1.22）因此，扰动项平方服从一个异方差因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是动冲击持久性的自回归的根是 加加 的和。在很多情况下，这的和。在很多情况下，这个根非常接近个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。，所以冲击会逐渐减弱。第27页/共102页28 方差方程的回归因子方差方程的回归因子方差方程的回归因子方差方程的回归因子 方程方程(6.1.18)可以扩展成包

30、含外生的或前定回归因子可以扩展成包含外生的或前定回归因子 z 的方差方程：的方差方程：（6.1.23）注注意意到到从从这这个个模模型型中中得得到到的的预预测测方方差差不不能能保保证证是是正正的的。可可以以引引入入到到这这样样一一些些形形式式的的回回归归算算子子，它它们们总总是是正正的的，从从而而将将产产生生负负的的预预测测值值的的可可能能性性降降到到最最小小。例如，我们可以要求：例如，我们可以要求：第28页/共102页29 高阶高阶高阶高阶GARCH(GARCH(p p,q q)模型模型模型模型 高高阶阶GARCH模模型型可可以以通通过过选选择择大大于于1的的 p 或或 q 得得到到估估计计，

31、记记作作GARCH(q,p)。其方差表示为：其方差表示为：（6.1.24）这里这里，q 是是GARCH项的阶数，项的阶数，p是是ARCH项的阶数项的阶数，p0并并且且,(L)和和(L)是是滞后算子多项式滞后算子多项式。第29页/共102页30 为了使为了使GARCH(q,p)模型的条件方差有明确的定义，模型的条件方差有明确的定义，相应的相应的ARCH()模型模型 （6.1.25）的所有系数都必须是正数。只要的所有系数都必须是正数。只要(L)和和(L)没有相同的根没有相同的根并且并且(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当的根全部位于单位圆外，那么当且仅当 0=0/(1-(L)，(L)=(L)/

32、(1-(L)的所有系数都非负时，这个正数的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1,1)模型模型 （6.1.26）这些条件要求所有的这些条件要求所有的3个参数都是非负数个参数都是非负数。第30页/共102页316.1.4 IGARCH6.1.4 IGARCH模型模型模型模型 如果限定如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项：，并且去掉常数项：（6.1.27）其中其中 （6.1.28）这就是这就是Engle和和Bollerslev（1986）首先提出的单整）首先提出的单整GARCH模型模型

33、（Intergrated GARCH Model，IGARCH）。）。第31页/共102页326.1.5 6.1.5 约束及回推约束及回推约束及回推约束及回推 1 1约束约束约束约束 在估计一个在估计一个GARCH模型时，有两种方式对模型时，有两种方式对GARCH模型的参数进行约束模型的参数进行约束（restrictions）。一个选择是）。一个选择是IGARCH方法，它将模型的方差方程中的所有参方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为数之和限定为1。另一个就是方差目标（。另一个就是方差目标（variance target）方法，它把方差方程）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常数项

34、设定为）中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：模型的参数和无条件方差的方程：（6.1.29）这里的这里的 是残差的无条件方差。是残差的无条件方差。第32页/共102页33 2 2回推回推回推回推 在计算在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子残差，然后计算初始值的指数平滑算子 （6.1.30）其中：其中：t 是来自均值方程的残差，是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：是无条件方差的估计：（6.1.31）平滑参数平滑参数 为为0.1至至1之间的数值。也可以使用无

35、条件方差来初始化之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化GARCH过程：过程：（6.1.32）第33页/共102页346.1.6 GARCH6.1.6 GARCH模型的残差分布假设模型的残差分布假设模型的残差分布假设模型的残差分布假设 在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项征，还需要对误差项ut的分布进行假设。的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项

36、的分布，一般模型中的扰动项的分布，一般会有会有3个假设：正态（高斯）分布、学生个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分布（分布和广义误差分布（GED）。给定）。给定一个分布假设，一个分布假设，GARCH模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这这3种分布，其中的种分布，其中的 代表参数向量。代表参数向量。1对于扰动项服从正态分布的对于扰动项服从正态分布的GARCH(1,1)模型，它的对数似然函数为模型，它的对数似然函数为 （6.1.33）这里的这里的 t2是是ut的条件方差。的条件方差。第34页/共102页35 2如果扰动项服从

37、学生如果扰动项服从学生t分布，分布，GARCH(1,1)模型的对数似模型的对数似然函数的形式就是然函数的形式就是（6.1.34）这样，参数的估计就变成了在自由度这样，参数的估计就变成了在自由度k2的约束下使对数似的约束下使对数似然函数（然函数（6.1.34）最大化的问题。当）最大化的问题。当k时，学生时，学生t-分布接近于分布接近于正态分布。正态分布。注注 式（式（6.1.34）和（）和（6.1.35）中的）中的()代表代表 函数：函数：若若N是偶整数，则是偶整数，则 (N/2)=1 2 3 (N/2)-1，有，有(2/2)=1；若若N是奇整数，则是奇整数，则 ，有有 。第35页/共102页3

38、6 3扰动项的分布为广义误差分布（扰动项的分布为广义误差分布（GED）时，）时，GARCH(1,1)模型的对数似然函数的形式为模型的对数似然函数的形式为 （6.1.35）这里的参数这里的参数r 0。如果。如果r=2，那么，那么GED就是一个正态分布。就是一个正态分布。第36页/共102页376.1.76.1.7 ARCH-MARCH-M模型模型模型模型 金金融融理理论论表表明明具具有有较较高高可可观观测测到到风风险险的的资资产产可可以以获获得得更更高高的的平平均均收收益益，其其原原因因在在于于人人们们一一般般认认为为金金融融资资产产的的收收益益应应当当与与其其风风险险成成正正比比，风风险险越越

39、大大，预预期期的的收收益益就就越越高高。这这种种利利用用条条件件方方差差表表示示预预期期风风险险的的模模型型被被称称为为ARCH均均值值模模型型(ARCH-in-mean)或或ARCH-M回归模型。在回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中中我们把条件方差引进到均值方程中:（6.1.38）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：（6.1.41）或取对数或取对数 （6.1.42）第37页/共102页38 ARCH-M模模型型通通常常用用于于关关于于资资产产的的预预期期收收益益与与预预期期风风险险紧紧密密相相关关的

40、的金金融融领领域域。预预期期风风险险的的估估计计系系数数是是风风险险收收益益交交易易的的度度量量。例例如如，我我们们可可以以认认为为某某股股票票指指数数，如如上上证证的的股股票票指指数的收益率数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差依赖于一个常数项及条件方差(风险风险)：这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。模型。第38页/共102页39在在在在EViewsEViews中中估计估计估计估计ARCHARCH模型模型模型模型 估计估计GARCH和和ARCH模型，首先模型，首先选择选择Object/New

41、 Object/Equation，然后在然后在Method的下的下拉菜单中选择拉菜单中选择ARCH，得到如下，得到如下的对话框。的对话框。图图图图6.5 ARCH6.5 ARCH模型定义对话框模型定义对话框模型定义对话框模型定义对话框第39页/共102页40 与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。一、均值方程一、均值方程一、均值方程一、均值方程(Mean equation)(Mean equation)在在因因变变量量编编辑辑栏栏中中输输入入均均值值方方程程形形式式，均均值值方方程程的的形形式式可可以以用用回回归归列列表表形

42、形式式列列出出因因变变量量及及解解释释变变量量。如如果果方方程程包包含含常常数数，可可在在列列表表中中加加入入C。如如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。第40页/共102页41 如果解释变量的表达式中含有如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。点击对话框右上方对应的按钮。EViews中的中的ARCH-M的的下拉框中下拉框中，有有4个选项：个选项：1.选项选项None表示方程中不含有表示方程中不含有ARCHM项；项；2.选项选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差表

43、示在方程中加入条件标准差；3.选项选项Variance则表示在方程中含有条件方差则表示在方程中含有条件方差 2。4.选选项项Log(Var)，表表示示在在均均值值方方程程中中加加入入条条件件方方差差的的对数对数ln(2)作为解释变量。作为解释变量。第41页/共102页42 二、二、二、二、方差设定和分布设定方差设定和分布设定方差设定和分布设定方差设定和分布设定 (Variance and distribution specification)(Variance and distribution specification)EViews的选择模型类型列表的选择模型类型列表 (1)在下拉列表中可以

44、选择所要估计的在下拉列表中可以选择所要估计的ARCH模型的类型。模型的类型。第42页/共102页43 设定了模型形式以后，就可以选择设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。项的模型，这是现在最普遍的设定。如果估计一个非对称的模型，就应该在如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为型，即该选项的个数为0。可以估计含有

45、多个非对称项的非。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。对称模型。这里需要注意，这里需要注意，EViews只能估计只能估计Component ARCH(1,1)模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择ARCH项项和和GARCH项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计非对称非对称Component ARCH模型，但该模型也只能包含一个非模型，但该模型也只能包含一个非对称项。对称项。第43页/共102页44 （2）在）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量

46、。由于方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。（3）约束（）约束（Restriction）下拉列表则允许我们进行）下拉列表则允许我们进行IGARCH约束或者方差目标（约束或者方差目标（variance target）约束，当然）约束，当然也可以不进行任何约束（也可以不进行任何约束（None）。）。第44页/共102页45 (4)Error组合框可以设定误差的分布形式：组合框可以设定误差的分布形式：缺省的形式：缺省的形式：Normal（Gaussian），），

47、备选的选项有：备选的选项有：Students-t；Generalized Error（GED）；）；Students-t with fixed df.；GED with fixed parameter。需需要要注注意意，选选择择了了后后两两个个选选项项的的任任何何一一项项都都会会弹弹出出一一个个选选择择框框，需需要要在在这这个个选选择择框框中中分分别别为为这这两两个个分分布布的的固固定定参数设定一个值。参数设定一个值。第45页/共102页46 三、估计选项三、估计选项三、估计选项三、估计选项（OptionsOptions）EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击为我们提供了

48、可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮按钮并按要求填写对话即可。并按要求填写对话即可。第46页/共102页47 1.1.回推回推回推回推 (Backcasting)(Backcasting)在缺省的情况下，在缺省的情况下，MA初始的扰动项和初始的扰动项和GARCH项中要求的初始预测方差项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差会设置残差为零来初始化为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，

49、使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。模型的效果要理想。第47页/共102页48 2.2.系数协方差系数协方差系数协方差系数协方差 (Coefficient Covariance)(Coefficient Covariance)点点击击Heteroskedasticity Consistent Covariances计计算算极极大大似似然然（QML）协方差和标准误差。）协方差和标准误差。如如果果怀怀疑疑残残差差不不服服从从条条件件正正态态分分布布，就就应应该该使使用用这这个个选选项项。只只有有选选

50、定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。第48页/共102页49 3.3.导数方法导数方法导数方法导数方法 (Derivatives)(Derivatives)EViews现现在在用用数数值值导导数数方方法法来来估估计计ARCH模模型型。在在计计算算导导数数的的时时候候，可可以以控控制制这这种种方方法法达达到到更更快快的的速速度度（较较大大的的步步长长计计算算）或或者者更更高高的的精精确确