材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形.ppt

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1、5.3 5.3 5.3 5.3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角1.1.1.梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况L LL /2 22F FFL LL /2 22m mmL LL /2 22L LL /2 22L LL q qq 简支梁简支梁简支梁简支梁简支梁简支梁 （抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为 EIEIEI ）1 1F FFL LL q qqL LL m mmL LL 5.3 5.3 5.3 5.3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加

2、法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角 悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁 （抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为（抗弯刚度为 EIEIEI ）1.1.1.梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况2 2B BBA AAF FFa aa 2 22a aa 2 22B BBA AAF FFa aa 2 22a aa 2 22例例例例例例 求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为 EIEIEI 的悬臂梁自由端的挠度和转角。的悬臂梁自由端的挠度和转角。的悬臂梁自由端的挠度和转角。w w

3、w1 11w ww2 22 3 32.2.2.叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理1 1 1 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2 2 2 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。叠加原理：叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各各荷载同时作用下，梁任一截

4、面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。叠加法的特征：叠加法的特征：4 41)1)1)荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组L LL /2 22L LL /2 22q qqm mmL LL /2 22L LL /2 22m mmL LL q qqF FFq qqq qqF FF3.3.3.应用叠加原理的若干情况应用叠加原理的若干情况应用叠加原理的若干情况应用叠加原理的若干情况应用叠加原理的若干情况应用叠加原理的若干情况5 5B BBL L L 2 22

5、L L L 2 22q qq 0 0 0w ww 2 22B BBL L L 2 22L L L 2 22q qq 0 0 0w ww 2 22w ww 3 33 B BBL L L 2 22L L L 2 22q qq 0 0 0L LLq qq 0 0 0w ww 1 11L LLq qq 0 0 0EIEIEIq qq 0 0 0A AAL L L 2 22L L L 2 22例例例例例例求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。6 6F FFA AAEIEIEIa aaa/a/a/2 22C CCB BBF FFA AAB BBC CCw wwF FFA AAB BB

6、C CCw ww1 11F FFA AAB BBC CC变形体变形体刚体刚体w ww1 11FA AAB BBCF FFFa Fa Fa 2 22 w ww1 11F FFA AAB BBC CCw ww1 11F FFA AAB BBC CCw ww1 11w ww2 22F FFA AAB BBC CCw ww1 11w ww2 22F FFA AAB BBC CC刚体刚体变形体变形体w ww1 11w ww2 22F FFA AAw ww2 22B BBC CCF FFA AAB BBC CCw ww C C C 点的挠度，是由点的挠度，是由点的挠度，是由 AB AB AB 段段段变形的

7、影响和变形的影响和变形的影响和 BC BC BC 段变形的影段变形的影段变形的影响共同构成的。响共同构成的。响共同构成的。依据：依据：依据：依据：依据：依据：若结构可分为若干部若结构可分为若干部若结构可分为若干部分分分，且各部，且各部，且各部分分分在荷载作用下的在荷载作用下的在荷载作用下的变形不是相互独立的，那么，结构中变形不是相互独立的，那么，结构中变形不是相互独立的，那么，结构中 A A A 点的位移是各个部点的位移是各个部点的位移是各个部分分分在这一荷载作用下的变形在在这一荷载作用下的变形在在这一荷载作用下的变形在 A A A 点所引起的位移的叠加。点所引起的位移的叠加。点所引起的位移的

8、叠加。2)2)2)逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法7 7A AAF FFEIEIEIEIEIEIa aaa aaA AAF FFv vvA AAA AAF FFv vv1 11 A AAF FFv vv1 11 刚体刚体变形体变形体A AAFv vv1 11 刚体刚体变形体变形体F FFFaFaFaA AAF FFv vv2 22A AAF FF变形体变形体刚体刚体v vv2 22A AAF FFv vvA AA注意：注意：注意：注意：注意：注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯在刚架中，由构件轴向拉压所引

9、起的变形量往往比弯曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。例例例例例例 求图示求图示求图示 A A A 端的竖向位移。端的竖向位移。端的竖向位移。分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论竖梁压缩对竖梁压缩对竖梁压缩对 A A A 端竖向位移的贡献有多大？端竖向位移的贡献有多大？端竖向位移的贡献有多大？竖梁压缩量竖梁压缩量竖梁压缩量竖梁弯曲的贡献竖梁弯曲的贡献竖梁弯曲的贡献两者之比两者之比两者之比以圆杆为例以圆杆为例以圆杆为例8 8a aaa/a/a/4 44q qqEIEIEIA AA例例例例例例

10、 求如图外伸梁求如图外伸梁求如图外伸梁 A A A 点的竖向位移。点的竖向位移。点的竖向位移。分析分析分析分析分析分析 应将梁划分为两个区段，并将应将梁划分为两个区段，并将应将梁划分为两个区段，并将每个区段的受力化为标准形式。每个区段的受力化为标准形式。每个区段的受力化为标准形式。w ww 1 1 1 1 1 1w ww 3 3 3w ww 2 22 2 2 29 9a aaa/a/a/4 44q qqEIEIEIA AA例例例例例例 求如图外伸梁求如图外伸梁求如图外伸梁 A A A 点的竖向位移。点的竖向位移。点的竖向位移。w ww 1 1 1 1 1 1w ww 2 22 2 2 2w w

11、w 3 3 31010动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔利用已有结果计算利用已有结果计算利用已有结果计算 A A A 点挠度。点挠度。点挠度。a aaa/a/a/2 22m mmEIEIEIA AAa aaa/a/a/2 22m mmEIEIEIA AAa aaa/a/a/2 22m mmEIEIEIA AA1111B BBL LLRAF FFEIEIEIB BBL LLRAF FFEIEIEIB BBL LLRAF FFEIEIEI例例例例例例 长度为长度为长度为 L L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI EI 的的的悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为悬

12、臂梁下方靠着一个半径为 R R R 的的的刚性圆柱，刚性圆柱，刚性圆柱，R R R L L L，其自由端受，其自由端受，其自由端受力为力为力为 F F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。作用有集中力的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁分析分析分析分析分析分析未贴合状态未贴合状态1212B BBL LLRAF FFEIEIEIL LLxRAF FFC CCB BBL LLxRAF FFC CCB BBw ww1 11w ww2 22L LLxRAF FFB BBC CC L LLxRAF FFC CCB BBw ww3 33例例例例例例 长度为长度为长度为 L L L，抗弯刚度为，

13、抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI EI 的的的悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R R 的的的刚性圆柱，刚性圆柱，刚性圆柱，R R R L L L，其自由端受，其自由端受，其自由端受力为力为力为 F F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。贴合区贴合区未贴合区未贴合区作用有集中力偶矩的悬臂梁作用有集中力偶矩的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁C 点转角点转角贴合区长度贴合区长度w1w3w2已贴合状态已贴合状态分析分析分析分析分析分析最大挠度最大挠度1313B BBL LLRAF FFEIEIEIB BBL LLxRA

14、F FFC CC若若若，梁与圆柱未产生贴合。，梁与圆柱未产生贴合。，梁与圆柱未产生贴合。产生贴合所需要的力产生贴合所需要的力产生贴合所需要的力 F F F：若若若，先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。梁根部挠曲线的曲率半径与梁根部挠曲线的曲率半径与梁根部挠曲线的曲率半径与 R R R 相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。例例例例例例 长度为长度为长度为 L L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI EI 的的的悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R R 的的的刚性圆柱，刚性圆柱，刚性圆

15、柱，R R R L L L，其自由端受，其自由端受，其自由端受力为力为力为 F F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。1414B BBL LLxRAF FFC CCB BBL LLxRAF FFw ww1 11C CCL LLxRAF FFB BBw ww1 11w ww2 22C CC L LLxRAF FFC CCB BBw ww1 11w ww2 22w ww3 33在在在 C C C 处处处先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。15151 1 1 1）梁的刚度条件）梁的刚度条件）梁的刚度条件）梁的刚度条件其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。

16、、校核刚度：、设计截面尺寸；（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）2）刚度计算）刚度计算、确定外载荷。5.4 5.4 梁的刚度计算梁的刚度计算 在土建工程中，通常对梁的在土建工程中，通常对梁的挠度挠度加以控制，例如：加以控制，例如：梁的梁的刚度条件刚度条件为：为：1616梁的挠度和转角除了与梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载梁的支座和荷载有关外还取决于有关外还取决于下面三个因素下面三个因素：材料材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比成反比；跨长跨长梁的位移与跨长 L 的的 n 次幂成正比次幂成正比。（转角为（转

17、角为 L 的的 2 次幂，挠度为次幂，挠度为 L的的 3 次幂）次幂）、增大梁的抗弯刚度（增大梁的抗弯刚度（EI）、调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构3 3）提高梁的刚度的措施）提高梁的刚度的措施）提高梁的刚度的措施）提高梁的刚度的措施1717注意：注意：同类的同类的材料材料，“E”“E”值相差不多值相差不多，“j xj x”相差较大相差较大，故换用故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度同类材料只能提高强度，不能提高刚度。不同类的材料不同类的材料，“E”“E”和和“G”“G”都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,E=200GPa,铜铜E=100GPaE=100GPa），故可选用不同

18、类的材料以达到提高刚度的目的。），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变。1818分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 在下列不同的加载方在下列不同的加载方在下列不同的加载方式中，哪一种刚度最高？式中，哪一种刚度最高？式中，哪一种刚度最高？L/L/L/3 33qLqLqLL/L/L/3 33L/L/L/3 33qLqLqLL/L/L/2 22L/L/L/2 22L LLq qq1919分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 在下列不同的支承方在下列

19、不同的支承方在下列不同的支承方式中，哪一种刚度最高？式中，哪一种刚度最高？式中，哪一种刚度最高？q qqq qqq qq2020分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能够改善强度吗？够改善强度吗？够改善强度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？能够改善刚度吗？能够改善刚度吗？能够改善刚度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？梁的材料由普通钢改为

20、优质钢，能够改善刚度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？q qq2121 例例 一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa160 MPa，许用挠，许用挠度度w=l/500w=l/500，弹性模量，弹性模量E=200GPaE=200GPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。解：解：1 1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图2 2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应力强度条件，要求3 3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：解得解得 由型钢表中查得，由型钢表中查得，22a22a工字钢的弯曲截面系数工字钢的弯曲截面系数WzWz3.09

21、l03.09l0-4-4m m3 3，惯性矩，惯性矩Iz=3.4010Iz=3.4010-5-5m m4 4，可见选择，可见选择22a22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。F=35kNF=35kN2m2mA AB B2m2ml=4ml=4mM M图图2222本本本本 章章章章 内内内内 容容容容 小小小小 结结结结梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁的挠度和转角挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程积分法积分法积分法积分法积分法积分法求梁的变形求梁的变形求梁的变形求梁的变形求梁的变形求

22、梁的变形 简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定挠度各阶导数的意义挠度各阶导数的意义挠度各阶导数的意义挠度各阶导数的意义挠度各阶导数的意义挠度各阶导数的意义2323 如果弯矩方程分段写出，或梁由不同抗弯刚度的部份如果弯矩方程分段写出，或梁由不同抗弯刚度的部份如果弯矩方程分段写出，或梁由不同抗弯刚度的部份构成，则必须引用连续光滑条件。构成，则必须引用连续光滑条件。构成，则必须引用连续光滑条件。a aaF FF (a

23、 aa )(a aa +)叠加法叠加法叠加法叠加法叠加法叠加法计算梁的挠度和转角计算梁的挠度和转角计算梁的挠度和转角计算梁的挠度和转角计算梁的挠度和转角计算梁的挠度和转角 荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组q qqB BBq qqB BBq qqB BB 注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。2424 逐段刚化求解逐段刚化求解逐段刚化求解逐段刚化求解逐段刚化求解逐段刚化求解 注意不要遗漏影响所求位移的因素。注意不要遗漏影响所求位移的因素。注意不要遗漏影响所求位移的因素。A AAF FFv vvA AAA AAF FFv vv1 11 A AAF FFv vv2 222525