第11章弯曲应力.pptx

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1、11-2 梁横截面上的正应力一、纯弯曲变形现象观察一、纯弯曲变形现象观察bdacabcdMM（1）所有纵向线都变成了曲线，且仍然相互平行，靠近上部的缩短，下部伸长。（2）所有横向线仍保持为直线，(平面假设)且仍垂直于变形后的纵向线(无剪应变-无剪应力)。第1页/共90页2中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴 由（1）知上部的纤维缩短，下部的纤维伸长，中间必有一层纤维既不缩短也不伸长，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。在梁的横截面上，以中性轴为界，一侧受拉，另一侧受压。第2页/共90页A1B1O1OabcdAB)OO1)d xyy二、弯曲正应力计算公式的推导（一）变形几何

2、关系：如图：如图：OO1为中性层，为中性层，AB为距中性层为为距中性层为y的纵向纤的纵向纤维，设：变形后中性层的维，设：变形后中性层的曲率半径为曲率半径为 ，两横截面两横截面夹角为夹角为d，则有：，则有：对于给定截面，对于给定截面，为常为常数，右式表明，横截面上某数，右式表明，横截面上某点的纵向应变与该点到中性点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。轴的距离成正比。dx第3页/共90页横截面的正应力分布图（二）物理关系：xx 纵向纤维都在纵向受拉伸或压缩，其应力-应变关系满足胡克定律。横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比。第4页/共90页5（三）静力学关系：横截面上的微力 dA 组成

3、平行于x轴的空间平行力系，满足以下三个静力关系：（1）横截面对中性轴 z 轴的静矩为零,即中性轴过截面形心第5页/共90页6一、静矩的定义(与力矩类似)dAzyyz静矩与形心截面对截面对z轴的静矩：轴的静矩：截面对截面对y轴的静矩轴的静矩：静矩与截面形状、大小、轴的位置有关静矩的量纲：长度3 （m3,cm3,mm3）静矩可能为正为负或等零。第6页/共90页7二、静矩与形心的关系dAzyyz形心坐标形心坐标C由力矩的等效关系得到静矩的另一公式：若若z、y轴通过形心轴通过形心C，则，则 yC=zC=0，因此，因此Sz=Sy=0。即：即：截面对其形心轴的静截面对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面矩等

4、于零。反之，若截面对某轴的静距为零，则该对某轴的静距为零，则该轴必过其形心。轴必过其形心。第7页/共90页EIEIz z梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度（2）曲率计算公式曲率计算公式因此因此截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力计算公式 第8页/共90页91.应用正应力计算公式时，可不考虑M、y的正负号，以绝对值代入，最后再由梁的变形和点的位置来确定是拉应力还是压应力。2.对于剪切弯曲，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小，因此上述的正应力计算公式也适用于剪切弯曲。3.只要梁有一个纵向对称面（如：工字形、T字形、圆形等），且外力作用下发生平面弯曲，则上述的正应力计算公

5、式仍然适用。第9页/共90页10*典型截面惯性矩的计算典型截面惯性矩的计算1、矩形截面、矩形截面zybhydy同理同理11-4 惯性矩与平行移轴定理第10页/共90页11zyD2、实心圆截面、实心圆截面已知已知则则由对称性知由对称性知所以所以同理，空心圆截面同理，空心圆截面第11页/共90页12平行移轴定理（与转动惯量类似）以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC,yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为：dAzyyzrabCzCyC第12页/共90页13注意：注意：1、C点必须为形心，即：点必须为形心，即：zC、yC必须是形心轴。必须是形心轴。2、式中的、式中的a、b是代数值。（可能取

6、负值。）是代数值。（可能取负值。）同理可得同理可得b为轴为轴z与与zC的轴距的轴距a为轴为轴y与与yC的轴距的轴距平行移轴公式：平行移轴公式：第13页/共90页（四）最大正应力：DdDd=a矩形截面：实心圆截面：空心圆截面：Wz抗弯截面模量抗弯截面模量第14页/共90页例1 受均布载荷作用的简支梁试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；及此截面上的最大正应力；（2）全梁的最大正应力；（3）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图,求截面弯矩30第15页/共90页q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mma

7、x12120zy求应力18030第16页/共90页求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030第17页/共90页18例例：已知已知 ，求最大弯曲正应力。，求最大弯曲正应力。16281448解：解：确定中性轴的位置确定中性轴的位置zCz单位：单位：cm计算最大正应力第18页/共90页11-4 梁横截面上的剪应力2、两点假设：与中性轴等距处，其剪应力相等。剪应力与剪力平行；1、研究方法：隔离体平衡。在梁上取微段，如图b；微段上取一隔离体,如图c。dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxN N1 1xyzN N2 2t t t tb图图

8、a图图b图图c由隔离体平衡条件，得由隔离体平衡条件，得A*隔离体侧面面积隔离体侧面面积第19页/共90页dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxN N1 1xyzN N2 2t t t tb图图a图图b图图c由剪应力互等定理，得同理同理得得为隔离体的侧面积A*对中性轴z的静矩 b 截面的宽度Iz 全横截面对中性轴z的惯性矩A*第20页/共90页21对于矩形截面，有对于矩形截面，有将将 代入代入剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布,如图示。可见，在横截面的上下边缘，即 处，在中性轴(y=0处),剪应力最大,Q第21页/共90页其它截面梁横截面上的剪应力*研究方法与矩形

9、截面同,剪应力的计算公式亦为：其中其中:Q 截面剪力；截面剪力；Sz z*横截面上距中性轴横截面上距中性轴为为y横线以外部分横线以外部分的面积的面积A*对中性轴对中性轴z z的静矩；的静矩；Iz z 整个截面对中性轴整个截面对中性轴z z轴之惯性矩；轴之惯性矩；b y点处截面宽度。点处截面宽度。第22页/共90页23*几种常见截面的最大弯曲剪应力1、工字形截面梁的剪应力 I.腹板上的剪应力 腹板内距中性轴为y的点的剪应力为：可见,腹板的剪应力按二次抛物线规律分布。第23页/共90页24在中性轴(y=0),剪应力最大,最大值为 在腹板与翼缘交界处 ,剪应力最小,通常情况下，腹板厚度b远小于翼缘宽

10、度B，因此，与相差不大，从而可认为腹板上的剪应力大致为均匀分布。第24页/共90页25又，有关理论证明，工字形截面梁的腹板承受的剪力Q1(0.950.97)Q，这表明横截面的剪力绝大部分由腹板承担，翼缘只承担极小的一部分（通常可忽略不计，而认为剪力全部由腹板承担）。因此，工字形截面梁的腹板上的剪应力可近似计算如下：（bh为腹板的横截面面积）II.翼缘上的剪应力 由前述知，翼缘所承担的剪力Q2(0.030.05)Q，即翼缘只承担极小的一部分剪力，因而其剪应力也小，又由于其剪应力分布规律复杂，故通常忽略不计。第25页/共90页I.圆形截面：式中:Q为截面的剪力;A为圆截面面积.可见，圆形截面上的最

11、大剪应力是平均剪应力的 倍。与精确解相比，误差约为4%。2、圆形和圆环形截面梁 最大剪应力也都发生在中性轴上,且沿中性轴均匀分布。其值分别为：II.圆环形截面：式中：Q为截面的剪力，r0为圆环的平均半径，t为圆环的壁厚，A为圆环形截面面积。可见，圆环形截面上的最大剪应力是平均剪应力的2倍。第26页/共90页11-5 梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的弯曲正应力强度条件：(A)拉压许用应力相同（塑性材料）的梁最大正应力（绝对值）应在许可应力范围之内。即：危险截面和危险点的判定（等截面梁）危险截面和危险点的判定（等截面梁）危险截面危险截面弯矩绝对值最大的截面危险点危险点危险面上距中性轴最远点第27

12、页/共90页(B)拉压许用应力不等（脆性材料）的梁最大压应力（绝对值）应分别小于许用应力：危险截面和危险点的判定（等截面梁）危险截面和危险点的判定（等截面梁）I)ZI)Z为对称轴时为对称轴时(如如矩形矩形)，+maxmax与与-maxmax在同一截面在同一截面上上。危险截面危险截面弯矩绝对值最大的截面弯矩绝对值最大的截面危险点危险点危险截面的最上缘和最下缘危险截面的最上缘和最下缘II)Z轴不是对称轴时(如T形截面),+max与-max可能不在同一截面上。可能危险截面可能危险截面最大正弯矩、最大负弯矩所在截面最大正弯矩、最大负弯矩所在截面可能危险点可能危险点可能危险截面的最上缘可能危险截面的最上

13、缘或或最下缘最下缘第28页/共90页29二、梁的剪应力强度条件：梁在荷载作用下产生的最大剪应力不能超过材料的许用剪应力,即：进行梁的正应力强度和剪应力强度计算时,一般对于细长梁（梁的跨度与截面高度之比l/h5）,梁的强度主要由正应力强度条件控制,因此,选择梁的截面时,一般是先按正应力强度条件进行选择,选好截面后,再校核剪应力强度条件。但对于下列情况：（1）粗短梁；（2）支座附近有较大集中力的梁；（3）腹板较薄的工字梁；（4）木梁（顺纹抗剪能力差）。梁的剪应力强度条件可能会起控制作用，一般还要进行剪应力强度校核。第29页/共90页30 工字型截面梁发生剪切弯曲时，正应力的最大值正应力的最大值发生

14、在横截面的上下边缘，该处的剪应力为零；剪应发生在横截面的上下边缘，该处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。在腹、翼相交处，Q和M均很大，是可能的危险点，它的强度应按强度理论进行计算它的强度应按强度理论进行计算（第13章讲）。s sMQt tt ts s第30页/共90页校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：三、强度条件应用：依此强度条件可进行三方面计算：第31页/共90页解：画内力图求危面内力例 矩形(bh=0.12m0.18m)截面木梁，=7MPa，=0.9MPa，试求最大正应力和剪应力之比，并校核梁的强度。q=3.6kN/m

15、xM+ABL=3mQ+x第32页/共90页求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+Q+x第33页/共90页y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例 T 字形截面的铸铁梁受力如图,铸铁的+=30MPa,-=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm,y2=88mm,Iz=763cm4，试校核此梁的强度。P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm4kNmM画危面应力分布图，找危险点第34页/共90页校核强度y1y2Gx2.5kNm-4kNmM画危面应力分布图，找危险点A3A4A1A2第35页/共90页36例：悬臂梁由三块木板粘接而成。长度为1m。胶合面

16、的许可切应力为胶=0.34MPa，木材的=10MPa，=1MPa，求许可载荷。第36页/共90页37解：解：1.1.作梁的剪力图和弯矩图作梁的剪力图和弯矩图Q(x)M(x)xxFFl第37页/共90页382.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 第38页/共90页394.4.按胶合面切应力强度按胶合面切应力强度条件计算许可载荷条件计算许可载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 第39页/共90页40所所谓谓梁梁的的合合理理设设计计，指指的的是是在在满满足足梁梁的的强强度要求前提下，尽量少用材料。度要求

17、前提下，尽量少用材料。对对于于梁梁来来说说，弯弯矩矩处处于于主主导导地地位位、剪剪力力是是次次要要因因素素，因因此此，梁梁的的设设计计，主主要要是是依依据据弯弯曲曲正正应应力力的的强强度度条条件件进进行行设设计计的的，我我们们也也仅仅从从弯弯曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面。曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面。11-6 梁的合理设计第40页/共90页41弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑：提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑：1 外外荷荷载载总总值值不不变变的的情情况况下下，使使Mmax尽尽量小一些。量小一些。2 截面积不变的情况下，使截面积不变的情况下

18、，使Wz尽量大一些。尽量大一些。第41页/共90页42提高弯曲强度的常用措施提高弯曲强度的常用措施一、降低一、降低MMmaxmax1.合理配置荷载合理配置荷载p+LMM尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。第42页/共90页43qL0.2L0.2LMML2.合理配置支座合理配置支座q第43页/共90页44二、提高二、提高WzWz(在保持截面面积不变的前提下在保持截面面积不变的前提下)PbhPbh(1)(2)1 1、合理放置截面、合理放置截面第44页/共90页45zDzD10.8D12.尽量将材料放置到远离中性轴的地方第45页/共90页46zaa

19、a13a1z第46页/共90页47工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。圆环形截面优于圆形截面。圆环形截面优于圆形截面。截面形状圆形矩形槽钢工字钢工程中，可将工程中，可将 作为衡量截面合理性的指标。作为衡量截面合理性的指标。(d=h)第47页/共90页483.选择截面形状时还应选择截面形状时还应考虑材料特性考虑材料特性塑性材料：塑性材料：选择中性轴为对称轴的截面，使得：选择中性轴为对称轴的截面，使得：脆性材料：脆性材料：选选择择中中性性轴轴为为非非对对称称轴轴的的截截面面，并并使使中中性性轴轴偏偏于于材材料强度料强度弱弱的一边的一边。尽量使

20、得尽量使得y1y2第48页/共90页49三、使用等强度梁三、使用等强度梁梁上每个截面的最大正应力都等于，称为等强度梁等强度梁。xPLMLP第49页/共90页50PML/2L/2+鱼腹梁鱼腹梁第50页/共90页51例主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料和截面尺寸均相同，则副梁的最佳长度a为多少？第51页/共90页52解解：主梁主梁AB:ABM+第52页/共90页53PaCD副梁副梁CD:由由得得MPa/4+第53页/共90页54例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为t和c，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）最佳就是指梁危险截

21、面上最大弯曲拉压应力同时达到许用应力。解：解：第54页/共90页117 斜弯曲 当外力不作用在截面的纵向对称面内时，变形后梁的挠曲线并不在荷载平面内，此时梁不是发生平面弯曲，而是发生所谓的斜弯曲。第55页/共90页现以一矩形截面悬臂梁为例说明梁发生斜弯曲时的应力和变形计算如下：yLPxzxPzPy1.1.外力分解外力分解每个分力单独作用时每个分力单独作用时,发生基本变形发生基本变形平面弯曲平面弯曲 Py=P cos Pz=P sin 第56页/共90页yLPxzxPzPy2.计算截面x上各基本变形的弯矩(上拉、下压上拉、下压)(后拉、前压后拉、前压)弯矩Mz、My的符号规定：使截面x上位于第一

22、象限的点受拉为正，反之为负.第57页/共90页yLPxzxPzPy3.分别计算弯矩Mz,My在截面内引起的正应力：各基本变形的正应力分布如下图各基本变形的正应力分布如下图:第58页/共90页4.由叠加原理,得截面x内的任意点 的正应力为:-斜弯曲正应力计算公式 公式表明：斜弯曲时,横截面上的正应力是y、z的线性函数,所以,正应力的分布规律是一平面。第59页/共90页5.设中性轴上点的坐标为y0、z0，由于中性轴上点的正应力等于零，所以有：中性轴（或零线）方程 MzMyzy中性中性轴轴P当当Iz Iy时，时，中性轴中性轴不再垂直于荷载作用面，不再垂直于荷载作用面，即变形平面与力平面不重即变形平面

23、与力平面不重合，此时梁发生斜弯曲合，此时梁发生斜弯曲;当当I Iz z=I Iy y时，时，=，即变形平面与力平面重合，此即变形平面与力平面重合，此时梁发生平面弯曲。时梁发生平面弯曲。如：正方形、圆形截面梁。如：正方形、圆形截面梁。第60页/共90页MzMyzy中性轴中性轴P6.最大正应力及强度条件 在危险截面距离中性轴最远的点，就是最大正应力作用点。本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面的a点（最大拉应力）和c点（最大压应力），强度条件为：第61页/共90页例1：图示为No.32a工字钢简支梁AB，已知跨中荷载P=30kN，=150，l=4m，材料为A3钢，其=160MPa，试校

24、核梁的正应力强度。解:1.将力P沿y、z轴分解,得:Py=Pcos，Pz=Psin 第62页/共90页2.查型钢表得：32a工字钢的3.校核梁的正应力强度所以，梁的正应力强度足够。附：本题中，若=00，则梁发生平面弯曲，此时第63页/共90页例例3 3、图示悬臂梁，已知图示悬臂梁，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用，许用应力应力=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)(1)截面为矩形，截面为矩形，h=2b；(2)(2)截面为圆形。截面为圆形。解：解：（1）（2）第64页/共90页118 拉(压)弯组合变形以一矩形截面悬臂梁为例说明梁

25、发生拉伸与弯曲组合变形的应力计算如下：第65页/共90页2.内力分析绘制轴力图和弯矩图，可见固定端面为危险截面。1.外力分析P作用在梁的纵向对称面xy平面内，则力P可分解为:第66页/共90页3.3.应力分析应力分析 绘制横截面上各基本变形的应力分布图绘制横截面上各基本变形的应力分布图:第67页/共90页应力叠加:正应力叠加后，横截面上正应力分布规律可能有三种情况:第68页/共90页4.强度条件 材料拉压性能相同（塑性材料）材料拉压性能不同（脆性材料）第69页/共90页例例 4 已知已知P=20kN,=15，l=1.2m，A=9.2 103mm2，Iz=26.1 106mm4，+=20MPa，

26、=80MPaPy=Psin =5.18kNPx=Pcos =19.3kNMz=48Px=926N.m解：解：1 1）外力分解并平移）外力分解并平移y1=48mm，y2=142mm，试校核其正应力强度，试校核其正应力强度.第70页/共90页(KN)3 3）绘制内力图）绘制内力图NN，M M 图图2 2）外力分组）外力分组:第71页/共90页(KN)ABA A截面截面2.1MPa9.7MPa28.7MPa7.6MPa30.8MPa4 4）危险点应力计算）危险点应力计算第72页/共90页(KN)ABB B截面截面2.1MPa1.68MPa4.98MPa3.76MPa2.88MPa第73页/共90页5

27、 5）强度校核）强度校核:梁的强度满足。梁的强度满足。第74页/共90页 偏心拉伸（压缩）外力特点：外力特点：外力平行轴线，但与轴线不重合。oPA (yP,zP)zyx第75页/共90页oPA (yP,zP)zyx1.外力分析 将将力力P向形心平移向形心平移，得到一个等效力系：得到一个等效力系：轴向压力轴向压力P和两个作和两个作用在互相正交的纵向对用在互相正交的纵向对称面内的力偶称面内的力偶my=PzP，mz=PyPPmymz轴向压力P引起轴向压缩my绕 y 轴转动的平面弯曲mz绕 z 轴转动的平面弯曲第76页/共90页2.内力分析ozyxPMyMzx对任意横截面，有:轴力N=P 弯矩My=m

28、y=PzP (前拉,后压)弯矩Mz=mz=PyP (左拉,右压)(规定:使横截面第一象限内的点受拉的弯矩为正)第77页/共90页3.应力分析E(y,z)对横截面上任意点：ozyxPMyMzx第78页/共90页E(y,z)ozyxPMyMzx 在实际运用中，可用内力和坐标的绝对值代入计算，根据轴力N、弯矩My、Mz的方向和欲求点的位置来确定应力的符号，则横截面上任意一点的正应力可表示为：第79页/共90页4.强度条件(塑性材料)*若为脆性材料，则应分别对最大拉应力和最大压应力进行强度计算。第80页/共90页例5：如图侧边开半圆形槽的钢板，宽b=8cm，厚t=1cm，半圆形槽的r=1cm，许用应力

29、=140MPa。若拉力P=80kN，1)试校核钢板的强度。2)若在上述钢板的另一侧也开一个对称的半圆形槽，再校核钢板的强度。解:1)由于1-1截面处被削弱,为危险截面，且受偏心拉伸，偏心距为:第81页/共90页1-1截面的轴力和弯矩分别为:强度校核不满足强度要求！第82页/共90页2)若在钢板的另一侧也开一个对称的半圆形槽，则危险截面1-1为轴向拉伸，其正应力为:可见,此时钢板的强度足够.荷载偏心作用时对构件的影响很大，工程中应尽量避免。第83页/共90页例例6 图示链条中的一个开口链环，受拉力图示链条中的一个开口链环，受拉力P作用，已作用，已知：知：d，e，试求最大正应力。，试求最大正应力。

30、解解:(1):(1)外力分析外力分析(2)(2)内力分析内力分析N=PM=Pe属拉弯组合变形属拉弯组合变形NM第84页/共90页(3)(3)应力分析应力分析讨论：讨论：本题中，若本题中，若e=d，则，则荷载偏心作用对构件的影响很大。NMPe第85页/共90页解解：例7 图示两根不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（图（1）图（图（2）P300200200P200200MPPe 第86页/共90页PP例例8 8 图示钢板受力图示钢板受力P P=100kN=100kN，试求最大正应力；若将试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度可扩大为多少？挖空宽度可扩大为多少？解：内力分析如图坐标如图，挖孔处的形心PPMN20 10020yzyC第87页/共90页PPMN应力分析如图孔移至板中间时2010020yzyC第88页/共90页89第89页/共90页90感谢您的观看！第90页/共90页