第刚体力学基础.pptx

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1、如：如：(a)质点的直线运动，只需一个变数。质点的直线运动，只需一个变数。自由度自由度=1。(b)质点的一般运动，需三个坐标描述。质点的一般运动，需三个坐标描述。自由度自由度=3。(c)对刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。对刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。需需9个变量。个变量。但三个点的间距确定，实际上只需但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。个变量。刚体最大自由度刚体最大自由度6。（确定物体的空间位置）完全描述运动所需的独立坐标数完全描述运动所需的独立坐标数自由度自由度第1页/共58页平动时，刚体上所平动时，刚体上所有点运动都相同。有点运动都相同。oooo一、刚体的运动形式一

2、、刚体的运动形式在运动中，如果连接刚体在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在任意时内任意两点的直线在任意时刻的位置都彼此平行，则这刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。样的运动称为刚体的平动。1.平动（平动（translation）可用质心或其上任何一点的运动来可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。代表整体的运动。自由度：自由度：第2页/共58页如：门窗、电机转子如：门窗、电机转子etc.转动转动2.转动（转动（rotation）可分为两种基本形式：可分为两种基本形式：OvPrr定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向z（本章重点讨论定轴转动）（本章重点讨论定轴转动）定轴转动：定

3、轴转动：运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。直线（转轴）上。第3页/共58页定点转动：运动中刚体上只有定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该一点固定不动，整个刚体绕过该固定点的某一瞬时轴线转动固定点的某一瞬时轴线转动.（如陀螺的运动等）（如陀螺的运动等）（转轴方向（转轴方向（2），绕轴），绕轴转角（转角（1）第4页/共58页刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。3.平面平行运

4、动平面平行运动可以分解为：可以分解为：刚体随质心的平动（刚体随质心的平动（2）和绕质心垂直于运动平和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（面的定轴转动（1）如：车轮直线滚动如：车轮直线滚动第5页/共58页4.一般运动一般运动刚体不受任何限制的的任意运动刚体不受任何限制的的任意运动,称为刚体的一般运动。称为刚体的一般运动。它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：o ooo 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的定点转动的瞬时轴的定点转动 随基点随基点O（可任选）的平动（可任选）的平动基点（基点（O和和O）选取不同，）选取不同，平动不同，转动也可以不平动不同，转动也可以不同

5、，与基点的选取有关同，与基点的选取有关如图示的两种运动分解：如图示的两种运动分解：第6页/共58页刚体绕刚体绕 oz 轴，为了反映轴，为了反映刚体绕瞬时轴的方向及转刚体绕瞬时轴的方向及转动快慢等，引入角速度矢动快慢等，引入角速度矢量量 和角加速度矢量和角加速度矢量二、刚体转动的运动学描述二、刚体转动的运动学描述 OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向z定轴转动刚体上任意点都绕同定轴转动刚体上任意点都绕同一轴在各自的平面内作圆周运动一轴在各自的平面内作圆周运动。很显然：刚体各个部分在相同时间很显然：刚体各个部分在相同时间内绕转轴转过的角度（角位移）都内绕转轴转过的角度（角位移）都相同。相

6、同。引入角量描述将非常方便。引入角量描述将非常方便。如：角坐标（如：角坐标（）、角位移（）、角位移（）等。）等。第7页/共58页P点线速度点线速度P点线加速度点线加速度 OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向z定轴转动定轴转动刚体上任意点的刚体上任意点的，都相同。都相同。当刚体作当刚体作匀角加速转动匀角加速转动时，时，有运动学关系：有运动学关系：矢量形式矢量形式或：或：第8页/共58页一、外力矩及对转轴的分量一、外力矩及对转轴的分量5.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 对对O点的力矩：点的力矩：因此可以丢弃！因此可以丢弃！设第设第个质元受外力个质元受外力 ，i假定假定垂直于转轴。垂直于

7、转轴。zxyo omiqi在定轴转动中，在定轴转动中，不可能引起刚体运动。不可能引起刚体运动。/z轴轴z定轴转动定轴转动1定轴转动定轴转动2第9页/共58页相对于相对于 z 轴的合外力矩为：轴的合外力矩为：即作用在各质元的外力矩的即作用在各质元的外力矩的 z 分量之和分量之和.只考虑只考虑 z 方向的分量：方向的分量：轴z/zxyoDmiqi o 的力矩在的力矩在z轴上的分量轴上的分量对参考点对参考点就等于力就等于力对对 z 轴的垂足轴的垂足o（转心）（转心）的力矩（简称力的力矩（简称力 对转轴的力矩）对转轴的力矩）第10页/共58页二、二、定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量式中式中称为

8、刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量的转动惯量(rotational inertia)i th 个质元对个质元对O点的角动量：点的角动量：wJLz=Jmri ii=2=iizzLL=iiirmw)(2iiiizvmrL=w2iirm=iiivmrr+iivmoor=刚体刚体imvi O,riRi定轴转动定轴转动刚体刚体z Oim垂直于垂直于z轴。轴。我们只对我们只对z方向的分量感兴趣：方向的分量感兴趣：ivoor 第11页/共58页定轴转动，可不写角标定轴转动，可不写角标z，记作：，记作：与牛与牛II比较：比较：MFJma J 反映刚体转动的惯性反映刚体转动的惯性刚体定轴转动定律刚体定轴转

9、动定律三、三、刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律)(wJLz=定轴转动定轴转动JM=vi OriRi刚体刚体z O im 由于刚体只能绕由于刚体只能绕 z 轴转动轴转动,引起转动的引起转动的力矩只有力矩只有，因此转动动力学方程因此转动动力学方程zM第12页/共58页四、刚体定轴转动的角动量定理四、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律由转动定律由转动定律在在 t0 到到 t 时间内：时间内：角动量定理角动量定理即：即：=0,0)ii(0,0 )i(iizzziiizzziiizMMFrMMFrM00wwJJ-=()wJtMdd=()=wwwJJttJtM000dd.const=wJ

10、当合外力矩当合外力矩 时，时，0=zM称为在称为在t0到到t时间内作用在刚体上的冲量矩。时间内作用在刚体上的冲量矩。0tttMd第13页/共58页(i)(ii)即：即：第14页/共58页角动量守恒情况分如下几种：角动量守恒情况分如下几种：(a)都不变，所以都不变，所以(b)都变化，但是都变化，但是(c)刚体组角动量守恒！刚体组角动量守恒！如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水 等运动中的动作。等运动中的动作。若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动.这时角动量可在刚体组内部传递。这时角动量可在刚体组内部传递。第15页/共58页第16页/

11、共58页第17页/共58页第18页/共58页第19页/共58页例例5-1研究对象：研究对象：A、B、圆柱、圆柱A:B:附附加加方方程程解：解：mBmA圆柱：圆柱：AAAAamTgm=-BBBamfT=-0=-gmNBaJrTrTBA=-NfraaTTTTBABBAAma=mBmBgBafNBTATmAgmAATAa第20页/共58页例例5-2研究对象：研究对象：A、B、C、圆柱。、圆柱。解：解：mBmAmC设设A、B运动距离运动距离S后，细绳后，细绳伸展，求伸展，求“碰撞碰撞”后后C的速度。的速度。A:B:圆柱：圆柱：利用质点动量定理和刚体角动量定理利用质点动量定理和刚体角动量定理(设碰撞时间

12、设碰撞时间为为t)：C:0vmVmtTtgmAAAAA-=-0=-tgmtNC0wwJJtrTtrTBA-=-0-=-CCCVmtftT0=-tgmtNB0vmVmtftTtTBBBCB-=-mCmCg fNCTmBmBgBTNCTf a为加速度为加速度（上题求得）（上题求得）aSv20=BTATmAmAgATr第21页/共58页附附加加方方程程与与“碰撞碰撞”时时细绳内的张力细绳内的张力相比，重力等相比，重力等产生的冲量产生的冲量（矩）可以忽（矩）可以忽略！考虑到约略！考虑到约束条件后，上束条件后，上述方程可简化为：述方程可简化为：/00NfNfrvrVVVVTTTTCBABBAAmmww=

13、0vmVmtTAAA-=-0vmVmtTtTBBCB-=-0-=VmtTCCA:B:圆柱：圆柱：C:0vmVmtTtgmAAAAA-=-0vmVmtftTtTBBBCB-=-0=-tgmtNB0-=-CCCVmtftT0=-tgmtNC0wwJJtrTtrTBA-=-第22页/共58页四个方程相加得：四个方程相加得：注意（1）上述讨论关键是对）上述讨论关键是对“碰撞碰撞”过程中，与冲击力过程中，与冲击力 相比可以忽略一些常规力！相比可以忽略一些常规力！（2）上述结果在）上述结果在J0时，好象与时，好象与A、B、C三个物体三个物体 的动量守恒相似？但情况决不是如此！这是同的动量守恒相似？但情况决

14、不是如此！这是同 学常常出现的错误。学常常出现的错误。（3）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量 守恒，也可以得到相同结果！守恒，也可以得到相同结果！0vmVmtTAAA-=-0vmVmtTtTBBCB-=-0-=VmtTCC202rvJrVJtTtTBA-=-022)()(0vrJMMVrJMMMBACBA+-+=022)()(vrJMMMrJMMVCBABA+=第23页/共58页例例5-3“打击中心打击中心”问题问题细杆：细杆：m,l，轴轴O，在竖直位置静止，在竖直位置静止.若在某若在某时刻有力作用在时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。处，求

15、轴对杆的作用力。解：解：如图示，除力如图示，除力F外，外，系统还受重力、系统还受重力、轴的支反力等。轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩但这两个力对轴的力矩0。只有只有F对细杆的运动有影响，对转轴对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为的力矩为：可通过转动定律求细杆的转动，再求可通过转动定律求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支质心加速度。利用质心运动定理求支反力。反力。细杆遵从如下动力学方程：细杆遵从如下动力学方程：aJM=FlM0=l0O.C.A.FxFygmc(am)jFiFgmFyx=+第24页/共58页质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：mgFycnnmamgFFy=-=c

16、ttmaFFFx=+=)2(alm=Fll230=)2(2wlm=0l0OC.A.yFFxaJM=第25页/共58页讨论讨论llFx32010 ,)(将很大！将很大！xF为零！为零！xF质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：cttmaFFFx=+=cnnmamgFFy=-=)2(2wlm=)2(alm=Fll230=0由于由于“冲击冲击”过程中的过程中的冲击力在短时间内有相冲击力在短时间内有相当大的数值，只要当大的数值，只要320/ll 但但 时，时，320/ll=第26页/共58页l0O.C.A.则：如图所示的冲击则：如图所示的冲击A点点 就称为就称为“打击中心打击中心”。不同的刚体不同的

17、刚体“打击中心打击中心”与刚体的形状及质量分布有关。与刚体的形状及质量分布有关。在使用工具敲打东西时，在使用工具敲打东西时，要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。讨论讨论由于由于“冲击冲击”过程中的过程中的冲击力在短时间内有相冲击力在短时间内有相当大的数值，只要当大的数值，只要将很大！将很大！但但 时，时，为零！为零！320/ll=第27页/共58页例例5-4 半径为半径为 R1 和和 R2、转动惯量为、转动惯量为 J1 和和 J2 的两个圆的两个圆柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现

18、将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆，现将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？多大？第28页/共58页设垂直于纸面向里为正向：设垂直于纸面向里为正向：无相对滑动：无相对滑动：分别对分别对 o1 轴和轴和 o2 轴运用角动量定理。轴运用角动量定理。解：解：o1o2第29页/共58页一、刚体的转动惯量及计算一、刚体的转动惯量及计算定义式：定义式：1、刚体为分立结构刚体为分立结构2、刚体为连续体、刚体为

19、连续体单位：单位：很明显：很明显：J与质量及其分布有关，与转轴的位置有关。与质量及其分布有关，与转轴的位置有关。5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 式中式中 ri 为为“质量元质量元”mi 到转轴的距离。到转轴的距离。式中式中Jmri ii=2Jmri ii=2=mrJd2,ddVmr=,ddSms=lmddor l=第30页/共58页几个常用几个常用 J 的计算举例：的计算举例：（1）均匀圆环：）均匀圆环：（2）均匀圆盘：）均匀圆盘：RmC CRmC2mR=mrJd2c第31页/共58页（3）均匀杆：）均匀杆：oxdxdm如果将轴移到棒的一端如果将轴移到棒的一端第32页/共58页二、二、平

20、行轴定理平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J 等于对等于对通过质心的平行转轴的通过质心的平行转轴的转动惯量转动惯量Jc 加上刚加上刚体质量体质量 m 乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离d 的平方的平方.+=iiimdrm22cdoimriri第33页/共58页平行轴定理应用举例：平行轴定理应用举例：挂钟摆锤的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量o2 M Rm l1 第34页/共58页三、对薄平板刚体的垂直轴定理三、对薄平板刚体的垂直轴定理Jm rzii=2m xm yiiii=+22 例：已知圆盘例：已知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的Jx(或

21、或 Jy)由由JJJJJzyxxy=+=JJmRxy=142即即 JzJJyx=+yx z 圆盘圆盘 R C m y rix z yi xi mi O第35页/共58页例例5-5 一质量为一质量为m，长为，长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在O点，点，距距A端端 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，点转动，求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时垂直位置时的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。解：解：(1)(1)方向：方向：cOBA第36页/共58页cOBA(2)第37页/共58页例例5-6 一半径为

22、一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为的水平面上。若它的初角速度为 0，绕中心，绕中心o旋转，问旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）drr解：解：Ro第38页/共58页为其转过的角度。为其转过的角度。第39页/共58页一、一、刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能可分解为刚体携总质量可分解为刚体携总质量(质心质心)绕定轴作圆周运动的动绕定轴作圆周运动的动能和绕质心转动的动能。能和绕质心转动的动能。5.4 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 利用平行轴定理：利用平行轴定理：2cmdJJ

23、+=第40页/共58页二、力矩的功二、力矩的功设作用在质元设作用在质元 mi 上的外力上的外力Fi 位于转动平面内位于转动平面内iiisFdcosq=)d(siniiiirFja=jjj0diiMAiiiiFrjad)sin(=jdiM=iiAA=jjj0dMzmi.iaiisr d ,djdiq第41页/共58页三、三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理利用转动定律：利用转动定律：刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理=wwww0dJ=jjj0dMA第42页/共58页四、四、刚体的重力势能刚体的重力势能刚体和地球系统的重力势能：刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，对质

24、元以地面为零势能点，对质元 miiiigzmE=p=iiigzmEp=iiizmgcmgz=第43页/共58页五、五、刚体定轴转动的功能原理与机械能守恒刚体定轴转动的功能原理与机械能守恒若把重力作功用势能差表示：若把重力作功用势能差表示：式中式中M为除重力以外的其它外力矩。为除重力以外的其它外力矩。若若M=0,刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律=jjj0dggMA)(c0cmgzmgz-=由动能定理由动能定理第44页/共58页例例5-7 如图示已知：如图示已知：M=2m，h，=60 求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0=？P转到转到x轴时盘的轴时盘的=?解：解：m下落：下落：mghm

25、v=122vgh=2(1)（水平水平）m(黏土块黏土块)yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘RmPhv第45页/共58页（水平水平）m(黏土块黏土块)yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m+盘系统盘系统，冲击力远大于重力，冲击力远大于重力，故重力对故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos =(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由由(1)(2)(3)得：得：oghR=22cos (4)对对m+M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E守恒守恒.则：则：P、x重合时重合时EP=0。令令1mgRJJos

26、in +=12222(5)由由(3)(4)(5)得：得：=+ghRgR222cossin第46页/共58页 =+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()=60o o由由(3)(4)(5)得：得：=+ghRgR222cossin（水平水平）m(黏土块黏土块)yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R第47页/共58页人与转台组成的系统对竖人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：直轴的角动量守恒：例例5-8 水平转台水平转台(m1、R)可绕竖直的中心轴转动，可绕竖直的中心轴转动，初角速度初角速度w0，一人，一人(m2)立在台中心，相对转台以恒定立在台中心，相对转台以恒定速度速度

27、u沿半径向边缘走去，计算经时间沿半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多台转过了多少角度。少角度。解：解：第48页/共58页台转过台转过的的角度角度：第49页/共58页例例5-9均质细棒均质细棒 m,l,水平轴水平轴O,开始棒处于水平壮态，由开始棒处于水平壮态，由静止释放，求，静止释放，求，(1)水平位置放手时，棒的质心加速度水平位置放手时，棒的质心加速度;（2）摆到竖直位置时，棒的角速度）摆到竖直位置时，棒的角速度;（3）摆到竖直位置时，轴的支反力。）摆到竖直位置时，轴的支反力。解:(1)因轴的支反力未知，不可能通过质心因轴的支反力未知，不可能通过质心运动定律求棒的质心加速度。运动定律求棒

28、的质心加速度。支反力对转轴支反力对转轴O 的力矩为零，则可通过的力矩为零，则可通过转动定律求棒的转动，再求质心加速度。转动定律求棒的转动，再求质心加速度。质心加速度：质心加速度：=zzMMd=mgxd=mxgd0=.OyFFx第50页/共58页（2）依机械能守恒，选）依机械能守恒，选O点为势能零点：点为势能零点：（3）竖直位置时：）竖直位置时：竖直位置时竖直位置时棒的机械能棒的机械能水平水平位置位置应用质心运动定律：应用质心运动定律：cnmamgFy=-0=xFctmaFx=.OFyxF0=第51页/共58页例例5-10 质点与直竿碰撞质点与直竿碰撞细杆：细杆：M,L，轴轴O，在竖直位置静止，

29、在竖直位置静止.m 与棒与棒发生弹性碰撞（如图）。发生弹性碰撞（如图）。m 碰后失速下落。碰后失速下落。求碰后：求碰后：棒的棒的最大偏转角？最大偏转角？解：解：利用角动量守恒：利用角动量守恒：系统受重力、轴的支反力等。系统受重力、轴的支反力等。但这些力对轴的力矩但这些力对轴的力矩0。碰前：碰前：碰后：碰后：m细杆细杆wJL +=0LL=0 )(0+-=mvalLmaO.0vmaxq第52页/共58页在碰后的运动中，在碰后的运动中，m 的运动不考虑，的运动不考虑，只讨论细杆的转动。只讨论细杆的转动。由动能定理：由动能定理：重力作功等于细杆动能增加重力作功等于细杆动能增加C.C.maO.maxq第

30、53页/共58页例例5-11 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：J1、w1 摩擦轮摩擦轮2：J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒解：解：试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较。啮合过程比较。21第54页/共58页例例5-12 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直对通过盘心垂直于盘面转轴的于盘面转轴的转动惯量为转动惯量为J1、J2，开始开始 1轮以轮以w0转动，转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕

31、不同轴转动，故对两轴两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：分别用角动量定理：得：得：解：解：12第55页/共58页例例5-13 均质细棒：均质细棒：m1、l，水平轴水平轴O，小球：，小球：m2与棒相碰，碰前与棒相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。棒保持竖直，求碰后棒的角速度。系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守恒注意：注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，忽略。只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量，系统的水平动量守恒：守恒：解：解：O第56页/共58页例例5-14 圆锥体圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以，表面有浅槽，令以0转转动，小滑块动，小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速度到底部滑块速度、圆锥体角速度。圆锥体角速度。解：解：系统机械能守恒：系统机械能守恒：hRu对竖直轴的角动量守恒：对竖直轴的角动量守恒：第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页