第二型线积分和面积分.pptx

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1、2009年5月1个向量场都与某个向量函数 相对应.这里 P,Q,R 为所定义区域上的数量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.如如,设一个质点在设一个质点在处受处受点点 O 的距离成正比的距离成正比,F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,与与OM 垂直且与垂直且与 y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 第1页/共38页2009年5月2磁力线等都是向量场线.注 场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.则称曲线 L 为向量场 的向量场线.例如电力线、设 L 为向量场中一条曲线.若 L 上每点 M 处的切线

2、方向都与向量函数 在该点的方向一致,即 第2页/共38页2009年5月3梯度场 我们已经介绍了梯度的概念,它 方向上的方向导数.grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场,称为 是由数量函数 所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向导 梯度场.由前面知道,数 达到最大值的方向,就是在这个方 第3页/共38页2009年5月4因为数量场 的等值面 的法线 方向为 所以 grad u 恒与 u 的等值面 正交.当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作 引进符号向量 第4页/共38页2009年5月5解 若以 上的单位向量,则有 例1 设质量为 m 的质点位于原点,质量为 1 的质点 位于

3、 记 第5页/共38页2009年5月6它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量 的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.这说明了引力场是数量场 的梯度场,因此常称 为引力势(gravitational potential).第6页/共38页2009年5月7对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 1 1 1 第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念2 2 2 2 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系3 3 3 3 第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第7页/共38页2009年

4、5月8 向量函数向量函数其大小和方向都随点其大小和方向都随点M变化变化 有向曲线有向曲线指定了方向的曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点来表明通常指出起点，终点来表明.是是向量向量预备知识预备知识第8页/共38页2009年5月9第二型曲线积分的概念1.1.问题的提出问题的提出 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功求变力求变力 对质点所作的功对质点所作的功W.设一质点在变力设一质点在变力 作用下作用下,从点从点A点点B,常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功处理办法处理办法分割分割近似代替近似代替取极限取极限求和求和第9页/共38页2009年5月10（1）分割分割（2）近似代替近似代替(3)求

5、和求和（4）取极限取极限第10页/共38页2009年5月11第11页/共38页2009年5月122.2.定义定义 存在存在称此极限为向量称此极限为向量若若在有向在有向曲线曲线 上的上的第二类曲线积分第二类曲线积分函数函数(坐标形式坐标形式)(向量形式向量形式),或或对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(与分法和点的取法无关与分法和点的取法无关！)，第12页/共38页2009年5月13第二类曲线积分（向量形式）第二类曲线积分（向量形式）第二类曲线积分（坐标形式）第二类曲线积分（坐标形式）积分路径积分路径被积函数被积函数单独形式单独形式称为对坐标称为对坐标 x 的曲线积分的曲线积分;称为对坐标称为对坐

6、标 y的曲线积分的曲线积分.第13页/共38页2009年5月14由定义，变力沿曲线所作的功由定义，变力沿曲线所作的功第14页/共38页2009年5月153.3.性质性质 注第二类曲线积分必须注意积分路径的第二类曲线积分必须注意积分路径的方向方向 !第15页/共38页2009年5月16两类曲线积分的联系第16页/共38页2009年5月17类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是其中其中简记为简记为简记为简记为第17页/共38页2009年5月18定理定理1 1 一定存在一定存在,且且第18页/共38页2009年5月19例例将积分将积分化为对弧长的积化为对

7、弧长的积分分,解解其中其中C 沿上半圆周沿上半圆周第19页/共38页2009年5月21解解化为定积分化为定积分a ab b将积分将积分化为定积化为定积分分第21页/共38页2009年5月22定理定理设设上连续，则上连续，则起点起点终点终点第二类曲线积分的计算计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分当当t t由由a ab b时，对应的点时，对应的点M(x,y)从起点从起点A运动运动到终点到终点B 描出曲线描出曲线为端点的区间上连续，为端点的区间上连续，第22页/共38页2009年5月23注第23页/共38页2009年5月24A B对应曲线上对应曲线上a ab b第24页/共38页200

8、9年5月25例例2 2 计算计算其中其中(1)(2)(3)解解(1)(2)(3)被积函数被积函数相同，相同，起起点和终点点和终点相同，但相同，但是是路径路径不不同，同，积分积分结果相同结果相同。第25页/共38页2009年5月26例例3 3 计算曲线积分计算曲线积分解解第26页/共38页2009年5月27例例4 4 设曲线设曲线G:G:从从 ox 轴正向看去轴正向看去为逆时针方向为逆时针方向,求曲线积分求曲线积分解解第27页/共38页2009年5月28例例5 5 设设一个质点在一个质点在处受力处受力 的作用的作用,已知已知的方向指的方向指向坐标原点向坐标原点,其大小与作其大小与作用点到用点到

9、xoy 面的面的距离成反比距离成反比.此质点由点此质点由点沿直线移动到沿直线移动到求求 F 所作的功所作的功 W.解解第28页/共38页2009年5月29思考题思考题第29页/共38页2009年5月30思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.第30页/共38页2009年5月31练练 习习 题题第31页/共38页2009年5月32第32页/共38页2009年5月33第33页/共38页2009年5月34练习题答案练习题答案第34页/共38页2009年5月35第35页/共38页2009年5月36回顾回顾:常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功若改变运动方向，即从点若改变运动方向，即从点B到点

10、到点A所作的功所作的功 有向曲线有向曲线指定了方向的曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点通常指出起点，终点来表明来表明.与从点与从点A A到点到点B B所作的功大小相等，但符号相反所作的功大小相等，但符号相反.第36页/共38页2009年5月37 向量函数向量函数在平面区域在平面区域D（或空间区域（或空间区域）中）中,其大小和方向都随点其大小和方向都随点M变化而变化变化而变化若若M ，如如,设一个质点在设一个质点在处受处受点点 O 的距离成正比的距离成正比,F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,与与OM 垂直且与垂直且与 y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 一个向量与之对应，一个向量与之对应，即即其坐标为其坐标为（x,y,z）,则则每一点每一点M处都有处都有第37页/共38页2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系38感谢您的观看！第38页/共38页