高考数学总复习专题10立体几何分项练习含解析文.doc

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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学总复习专题精选高考数学总复习专题 1010 立体几何分项练习立体几何分项练习含解析文含解析文一基础题组1.【2005 天津，文 5】设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （ ）, , ,m n lm（A） （B）, l ml ,m （C） (D) ,m ,nnm【答案】D2.【2005 天津，文 13】如图， ， ，PAABC 平面90ACBPAACBCa且则异面直线与 所成的角的正切值等于 PBAC【答案】2【解析】将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小。 。DBCAD B C PPBACPBBDtan

2、2PDDBADB本题答案填写：23.【2006 天津，文 7】若为一条直线， 、 、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ,; ,; /,.ll其中正确的命题有( )（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个【答案】C2 / 184.【2006 天津，文 13】如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点 C1 到直线的距离为 。111ABCABC1.AB 1CABC60oAB【答案】3【解析】如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，过 C 作CDAB，D 为垂足，连接 C1D，则 C1DAB，C1DC=60，CD=，则C1D=，所以点 C1 到直线的距离为。111ABCABC1.

3、AB 1CABC60o233AB35.【2007 天津，文 6】设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）ab，A若与所成的角相等，则ab，abB若， ， ，则ababC若， ， ，则ababD若， ， ，则abab【答案】D【解析】解：A、直线 a，b 的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证如图，设 A1B1 为 a，平面 AC 为 ，BC 为 b，平面A1C1 为 ，显然有 a，b，但得不到 ab，不正确；C、可设 A1B1 为 a，平面 AB1 为 ，CD 为 b，平面 AC 为 ，满足选项C 的条件却得不到 ，不正确；3 / 18D、a，a 或 a又bab故选

4、D6.【2007 天津，文 13】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为， ， ，则此球的表面积为 【答案】147.【2008 天津，文 5】设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是ba,ba （A） （B） ,/,ba/,ba（C） （D）/,ba,/,ba【答案】C【解析】选 C，A、B、D 的反例如图 8.【2008 天津，文 13】若一个球的体积为，则它的表面积为_34【答案】124 / 18【解析】由得，所以344 33R3R 2142SR9.【2009 天津，文 12】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是,则a_.33【答案】3【解析】由三视图可

5、知几何体是一个三棱柱,其底面三角形的一边长为2,其边上的高为 a,依题3333221aaV三棱柱.10.【2010 天津，文 12】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_【答案】3【解析】11.【2011 天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为.3m【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为 4.12.【2012 天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3【答案】305 / 1813.【2013 天津，文 10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正

6、方体的棱长为_9 2【答案】3【解析】由题意知，.设正方体的棱长为 a，则2R，a，所以正方体的棱长为.34932VR球3 2R 23a3314.【2014 天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位：） ，则该几何体的体积为 .m3m【答案】20.3【解析】考点：三视图15.【2016 高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为【答案】B【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选 B.【考点】三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图6

7、 / 182.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据16. 【2017 津,文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_【答案】9 2【考点】球的体积【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；如果多面体有两个面相交，可过

8、两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心二能力题组1.【2005 天津，文 19】如图，在斜三棱柱中， ，111ABCABC1111,A ABA AC ABAC A AABa 侧面与底面所成的二面角为，分别是棱的中点 11B BCCABC120,E F111,BC A A（I）求与底面所成的角； 1A AABC（II）证明； 1/AE1平面BFC7 / 18（III）求经过四点的球的体积1, , ,A A B C【答案】 （） ；（）详见解析；（）6034 3 27aV【解析】因为，所以为的平分线11A ABA AC AGBAC又因为，所以，且为的中点ABACAGBCGBC因此，由三垂

9、线定理1A ABC因为，且，所以，于是为二面角的平面角，即11/A AB B1/EGB BEGBCAGEABCE120AGE由于四边形为平行四边形，得1A AGE160A AG所以，与底面所成的角度为1A AABC60又因为平面，所以是的外心1AH ABCHABC设球心为，则必在上，且O O1AH1OFA A在 Rt中，1AFO1 1 11 32 coscos303aAFAOaAAH球的体积33 34434 3 33327aVRa2.【2006 天津，文 19】如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD的对角线的交点，面 CDE 是等边三角形，棱1 2EFBC（I）证明平面FO

10、;CDE（II）设证明平面3,BCCDEO .CDF【答案】 （I）详见解析， （II）详见解析【解析】（II）证明：连结 FM。由（I）和已知条件，在等边中，CDE8 / 18,CMDMEMCD且31.22EMCDBCEF因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而。EOFM,CDOM CDEMCD平面 EOM，从而.CDEO而所以平面,FMCDMEO .CDF3.【2007 天津，文 19】如图，在四棱锥中，底面，PABCDPA ABCDABADACCD，60ABC， ，是的中点PAABBCEPC（）求和平面所成的角的大小；PBPAD（）证明平面；AE PCD（）求二面角的大小APDC【答案】

11、（） ；（）详见解析；（） 4514arcsin4【解析】 （）解：在四棱锥中，因底面，平面，故PABCDPA ABCDAB ABCDPAAB又， ，从而平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角ABADPAADAAB PADPBPADPAAPBPBPADE是的中点， ，PCAEPCPCCDC综上得平面AE PCD（）解：过点作，垂足为，连结由（）知，平面，在平面内的射影是，则EEMPDMAMAE PCDAMPCDEMAMPD在中， RtAEM14sin4AEAMEAM所以二面角的大小APDC14arcsin49 / 184.【2008 天津，文 19】如图，在四棱锥中，底面是矩形已知， ，

12、 ， ， PABCDABCD3AB 2AD 2PA 2 2PD 60PAB （）证明平面；AD PAB（）求异面直线与所成的角的大小；PCAD（）求二面角的大小PBDA【答案】 （I）详见解析， （II）,（）7arctan239arctan4【解析】 （）证明：在中，由题设， ， ，可得，于是在矩形中， ，又，所以平面PAD2PA 2AD 2 2PD 222PAADPDADPAABCDADABPAABAAD PAB（）解：由题设， ，所以（或其补角）是异面直线与所成的角BCADPCBPCAD在中，由余弦定理得PAB222cos7PBPAABPA ABPABAA由（）知平面，平面，AD PAB

13、PB PAB所以，因而，于是是直角三角形，ADPBBCPBPBC故7tan2PBPCBBC所以异面直线与所成的角的大小为PCAD7arctan210 / 184 13ADHEBHBDA 于是在中， RtPHE39tan4PHPEHHE所以二面角的大小为PBDA39arctan45.【2009 天津，文 19】如图,在四棱锥 PABCD 中,PD平面ABCD,ADCD,DB 平分ADC,E 为 PC 的中点,ADCD1,.22DB(1)证明 PA平面 BDE;(2)证明 AC平面 PBD;(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值. 本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与

14、平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分 12 分.【答案】 （）详见解析；（）详见解析；（）31【解析】(1)证明:设 ACBDH,连结 EH.在ADC 中,因为 ADCD,且DB 平分ADC,所以 H 为 AC 的中点.又由题设,E 为 PC 的中点,故 EHPA.又EH 平面 BDE 且 PA 平面 BDE,所以 PA平面 BDE.6.【2010 天津，文 19】如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正11 / 18方形，FA平面 ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.2(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明 CD

15、平面 ABF；(3)求二面角 B-EF-A 的正切值【答案】(1) ， (2)详见解析， (3) .2 2 31 4【解析】 (1)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FAED.CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角(3)解：由(2)及已知，可得 AG，即 G 为 AD 的中点取 EF 的中点N，连结 GN，则 GNEF.2因为 BCAD，所以 BCEF.过点 N 作 NMEF，交 BC 于 M，则GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角连结 GM，可得 AD平面 GNM，故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM.2 2由 NGFA，FAGM，得 NGGM.在 RtNGM

16、中，tanGNM1 4GM NG所以二面角 B-EF-A 的正切值为. 1 4三拔高题组1.【2011 天津，文 17】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO平面 ABCD,PO=2,为 PD 的中点.45ADCM12 / 18()证明 PB平面;ACM()证明 AD平面 PAC;()求直线与平面 ABCD 所成角的正切值.AM【答案】(1)详见解析， （2）详见解析， （3）4 5.5【解析】面 ABCD 所成角的正切值为.4 5 5【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查

17、空间想象能力、运算能力和推理论证能力.2.【2012 天津，文 17】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1， ，PD=CD=22 3PC (1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；(2)证明平面 PDC平面 ABCD；(3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值【答案】 （）2；（）详见解析；（）39 1313 / 18【解析】解：(1)如图，在四棱锥 PABCD 中，因为底面 ABCD 是矩形，所以 AD=BC 且 ADBC又因为 ADPD，故PAD 为异面直线 PA 与 BC所成的角在 RtPDA 中， tan2PDPADAD所以，异面

18、直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2在 RtPCB 中， 2213PBPCBC在 RtPEB 中， 39sin13PEPBEPB所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为39 133.【2013 天津，文 17】如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等，D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1 的中点(1)证明 EF平面 A1CD；(2)证明平面 A1CD平面 A1ABB1；(3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值【答案】 （）详见解析；（）详见解析；（）5 5【解析】(1)证明：如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACA1

19、C1，且ACA1C1，连接 ED，在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DE且 DEAC，1 2AC14 / 18又因为 F 为 A1C1 的中点，可得 A1FDE，且 A1FDE，即四边形 A1DEF为平行四边形，所以 EFDA1.故 BG平面 A1CD.由此得BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角设棱长为 a，可得 A1D，5 2a由A1ADBGD，易得 BG.5 2a在 RtBGC 中，sinBCG.5 5BG BC所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为.5 54.【2014 天津，文 17】如图，四棱锥的底面是平行四边形， ，,分别是棱的中

20、点.（1）证明平面；（2）若二面角 P-AD-B 为，证明：平面 PBC平面 ABCD求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析， (2)详见解析，2 11 11【解析】15 / 182 11sin.11BEEFBEF所以，直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 11 11试题解析：证明(1)如图取 PB 中点 M,连接 MF,AM.因为 F 为 PC 中点，故 MF/BC 且 MF=BC.由已知有 BC/AD，BC=AD.又由于 E 为 AD 中点，因而 MF/AE 且 MF=AE，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF/AM,又 AM平面 PAB,而

21、 EF 平面 PAB,所以 EF/平面 PAB. 1 2(2)连接 PE,BE.因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为AD 中点，故 PBC 所成角的正弦值为2 11 1116 / 18考点：线面平行判定定理，面面平行判定定理，直线与平面所成的角5. 【2015 高考天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 .3m【答案】 8 3【解析】该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为 .3182 12(m )33 【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.6.【2016 高考天津文数】(本小题满分 13 分)如图

22、，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G 为 BC 的中点.6（）求证：FG 平面 BED；（）求证：平面 BED平面 AED；（）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.【答案】 （）详见解析；（）详见解析；（） .65【解析】试题解析：（）证明：取中点，连接，在中，因为是中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.BDOOGOE,BCDGBCDCOG/121DCOGDCABABEF/,/OGEF /OGEF OGFEOEFG/FGBEDOEBED/FGBED

23、（）证明：在中，由余弦定理可得，进而得，即，又因为平面平面平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以，平面平面.ABD1,2,60ADABBAD3BD90ADBADBD AEDBDABCD, ABCDAEDADABCD BDAEDBDBEDBEDAED17 / 1865sinABAHABH，所以，直线 EF 与平面所成角的正弦值为.BED65【考点】直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角【名师点睛】垂直、平行关系的证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂

24、直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.7.【2017 天津,文数 17】（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥中，平面，PABCDAD PDCADBCPDPB1AD 3BC 4CD 2PD （）求异面直线与所成角的余弦值；APBC（）求证：平面；PD PBC（）求直线与平面所成角的正弦值ABPBC【答案】（）；（）见解析；（）5 55 518 / 18在 RtPDA 中，由已知，得，故225APADPD5cos5ADDAPAP所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为5 5（）因为 AD平面 PDC，直线 PD 平面 PDC，所以 ADPD又因为 BC/AD，所以 PDBC，又 PDPB，所以 PD平面 PBC（）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为5 5【考点】异面直线所成的角、线面垂直的判定、线面角的求解【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点考查内容，而证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，而线线垂直又可通过线面垂直得到，用几何法求线面角，关键是找到斜线的射影，斜线与其射影所成的角就是线面角