空间直角坐标系与向量.pptx

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1、一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面1.空间直角坐标系的基本概念第1页/共48页向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 :有序数组有序数组(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);第2页/共48页坐标轴坐标轴:

2、坐标面坐标面:第3页/共48页为空间两点.在直角三角形和中,用勾股定理2.空间两点间点的距离空间两点间距离公式第4页/共48页例例1.在在 y 轴上求与两点轴上求与两点解解:设该点为设该点为解得解得故所求点为故所求点为及及思考思考:(1)如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A,B 等距离之点的轨迹方等距离之点的轨迹方程程?(2)如何求在空间与如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?等距等距离的点离的点.第5页/共48页向量表示向量表示:向量的模向量的模:向量的大小向量的大小,二、向量的概念二、向量的概念向量向量:(又称又称矢量矢量).既有既有大小大小,又有又有方向方向

3、的量称为向量的量称为向量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,第6页/共48页规定规定:零向量与任何零向量与任何向量平行向量平行;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相方向相同同,则称则称 a 与与 b 相相等等,记作记作 ab;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相方向相同或相反反,则称则称 a 与与 b 平行平行,a b;与与 a 的模相同的模相同,但方向相反的向量称为但方向相反的

4、向量称为 a 的的负向负向量量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线.若若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称此则称此 k 个向量个向量共面共面.记作记作a;第7页/共48页模、方向角与方向余弦模、方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 任取空间一点任取空间一点 O,称称 =AOB(0 )为向量为向量 的夹角的夹角.类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,为其为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向角的余弦称为

5、其方向余弦方向余弦.记作记作第8页/共48页方向余弦的性质方向余弦的性质:第9页/共48页空间一点在轴上的投影过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上的投影.空间一向量在轴上的投影轴u称为投影轴.已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为那么轴u上的有向线段的值,称为向量在轴u上的投影.1.向量在轴上的投影三、向量的三、向量的线性运算线性运算第10页/共48页Projection在轴u上的向量轴与向量的夹角的余弦：向量在轴u上的投影投影记为投影性质1 1投影等于向量的模乘以投影有正、注负之分;模只为正值.第11页/共48页（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影

6、之和.投影性质2 2：两向量和在轴上的投影uABcABc第12页/共48页投影性质3 31证证uBA例例+21,uuBA坐标依次为、.)(12euur-=eueurr12-=第13页/共48页2.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的投影如 是与轴 u正向一致的单位向量,因此可知:上坐标分别为第14页/共48页起点终点向量在x轴上的投影向量在y轴上的投影向量在z轴上的投影按基本单位向量的坐标分解式：向量的坐标表达式：坐标坐标坐标 x轴分向量 y轴分向量 z轴分向量特殊地第15页/共48页例例+.已知两点已知两点和和的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:计算向量计算向量第16页/共4

7、8页例例+.设点设点 A 位于第一卦位于第一卦限限,解解:已知已知角依次为角依次为求点求点 A 的坐标的坐标.则则因点因点 A 在第一卦限在第一卦限,故故于是于是故点故点 A 的坐标为的坐标为 向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 第17页/共48页三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.3、向量的加减法-加法第18页/共48页第19页/共48页三角不等式三角不等式定义定义2：设：设则则减法减法第20页/共48页 是一个数是一个数,规定规定:可见可见 与与 a 的乘积

8、是一个新向量的乘积是一个新向量,记记作作总之总之:运算律运算律:结合律结合律分配律分配律因此因此4.向量与数的乘法第21页/共48页性质性质1.设设 a 为非零向量为非零向量,则则a b(为唯一实数为唯一实数)设设则则定义定义3：性质性质2.取方向与三个坐标轴正向相同的单位向量取方向与三个坐标轴正向相同的单位向量则任意向量则任意向量可分解为可分解为第22页/共48页例例2.解解:由向量的运算性质得由向量的运算性质得求求第23页/共48页例3.证明连接三角形两边中点的线段平行于证明连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。第三边且等于第三边的一半。证明:所以有且第24页/共48页例

9、例4.已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M,使使解解:设设 M 的坐标的坐标为为如图所示如图所示及实数及实数得得即即第25页/共48页说明说明:由由得得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式中点公式:第26页/共48页5、两向量的数量积、两向量的数量积1）.定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积(点积点积).5、两向量的数量积第27页/共48页记作记作故故2）.性性质质为两个非零向量为两个非零向量,则有则有 第28页/共48页3）.运算律运算律(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律事实上事实上,当当时时,显

10、然成立显然成立;第29页/共48页4）.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则则当当为非零向量时为非零向量时,由于由于两向量的夹角公式两向量的夹角公式,得得第30页/共48页例例5.已知已知解解:求求故故 第31页/共48页例例6+.已知三已知三点点 AMB.解解:则则求求故故第32页/共48页1）.定义定义定义定义向量向量方向方向:(叉积叉积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模:向量积向量积,称称例如力矩例如力矩思考思考:右图三角形面积右图三角形面积S6、两向量的向量积、两向量的向量积第33页/共48页2）.性质性质为非零向量为非零向量,则则3）.运算律运算律(2)分配律分配律(3)结

11、合律结合律(证明略证明略)证明证明:第34页/共48页4）.向量积的坐标表示向量积的坐标表示式式设设则则第35页/共48页向量积的行列式计算向量积的行列式计算法法(行列式计算见行列式计算见 P339P342)第36页/共48页例6 已知 求与 都垂直且满足如下之一条件的向量:(1)为单位向量;(2)(2),其中解 与都垂直,所以与 第37页/共48页(2)设,则 又 得 所以 (1)第38页/共48页例例6+.已知三已知三点点角形角形 ABC 的面积的面积.解解:如图所示如图所示,求三求三第39页/共48页7、向量的混合积、向量的混合积1）定义）定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合

12、积.记作记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,底面积底面积高高故平行六面体体积为故平行六面体体积为则其则其第40页/共48页2）混合积的坐标表示混合积的坐标表示设设第41页/共48页3）性质性质(1)三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是(2)轮换对称性轮换对称性:(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出)第42页/共48页例例7.已知一四面体的顶已知一四面体的顶点点4),求该四面体体积求该四面体体积.解解:已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的故故第43页/共48页补充例补充例.证明四点证明四点共面共面.解解:因因故故 A,B,C,D 四点共面四点共面.第44页/共48页内容小结内容小结设设1.向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:叉积叉积:第45页/共48页混合积混合积:2.向量关系向量关系:第46页/共48页思考与练习思考与练习1.设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理:第47页/共48页