第7章点的运动学.pptx

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1、1本章重点、难点 重点 难点 点的运动方程的建立 自然坐标轴系的概念速度和加速度的计算方法 速度与加速度在自然轴上投影的推导第1页/共46页2 71 运动学的基本概念 72 决定点的运动的基本方法点的运动方程 73 速度与加速度的矢径表示法 74 速度与加速度的矢径直角坐标表示法 75 自然坐标轴系 76 速度与加速度的自然坐标表示法第2页/共46页3 建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系2、运动学的 研究内容3、运动的相对性参考体(物)；参考系；固定参考系(静系)；动系。5 5、运动分类点的运动，刚体的运动4、瞬时、时间间隔1、运动学的 研究对象 运动学研究物体在空间位置随时间变化的

2、几何性质的科学。包括研究物体运动的轨迹、速度、加速度等而不考虑物体运动的原因。71 运动学的基本概念轨迹，直线运动，曲线运动第3页/共46页1 1、自然坐标法自然坐标法72 决定点的运动的基本方法点的运动方程(1)(1)点的运动轨迹为已知点的运动轨迹为已知(2)(2)确定点的位置的需要确定点的位置的需要MM(3)(3)点点M在曲线上位置的描述在曲线上位置的描述OOb.b.规定规定O一端的轨迹的弧线一端的轨迹的弧线为正，另一端为正，另一端 为负为负(+)(+)(-)(-)c.c.s为代数量，就是为代数量，就是M点的弧坐点的弧坐标或自然坐标标或自然坐标s(4)(4)点的运动方程点的运动方程a.a.

3、在轨迹上任选一点在轨迹上任选一点O为起点为起点M点沿轨迹运动时，点沿轨迹运动时，s随时间随时间而变，而变，s为时间为时间 t 的连续函数的连续函数 s=s(t)a.a.点的运动轨迹曲线。点的运动轨迹曲线。b.b.点任意瞬时在曲线点任意瞬时在曲线上的位置。上的位置。此即M点的自然坐标运动方程自然坐标运动方程第4页/共46页已知动点已知动点M的运动轨迹为曲线的运动轨迹为曲线建立直角坐标系建立直角坐标系oxyz，MMz zx xy yo ox xy yz z2 2、直角坐标法、直角坐标法x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)此即M点的直角坐标运动方程直角坐标运动方程M点的位置为3 3、矢径法、矢径

4、法动点动点M的运动轨迹如图的运动轨迹如图任选一点任选一点O作原点作原点O Or rMMr rMMr rMMMMr r此即点的此即点的矢径运动方程矢径运动方程，矢径端点绘出的矢端曲线就是矢径端点绘出的矢端曲线就是动点的运动动点的运动轨迹轨迹。r=rr=r(t t)第5页/共46页 直杆直杆AB两端分别沿两互相垂直的固定直线运动，有关两端分别沿两互相垂直的固定直线运动，有关尺寸如图所示。试确定尺寸如图所示。试确定 杆上任一点的运动方程和运动轨迹杆上任一点的运动方程和运动轨迹方程。方程。y yx xOA AB BMMab bA AB BMMab bA AB BMMab bA AB BMMab b解解

5、 写出写出MM点的坐标点的坐标此即此即M点的运动方程。点的运动方程。例例7-17-1x xy y 若把运动方程中的参数时间若把运动方程中的参数时间 t消去，则消去，则得到任一点的轨迹方程为：得到任一点的轨迹方程为：第6页/共46页BOCDAxaO1yx已知已知 O O1 1 B=l,OA=r,O B=l,OA=r,O1 1O=a,raO=a,rr求滑块B的运动方程速度和加速度解坐标系y yx x考虑三角形OAC与CAB得第13页/共46页14当n 1时用二项式定理对展开二项式定理当（a1）时第14页/共46页15AOCBlrxy yx x考虑三角形OAC与CAB得第15页/共46页16xyzO

6、 例例7-47-4解运动分析所以，动点M在半径为r的圆柱面上运动。t=0,x=r,y=z=0.t 增加,y和z增加，x减小。t=90，x=0,y=r z=h/4t再增加,y减小，x的绝对值增加。t=180 o，x=-r,y=0,z=h/2 t=360 o，x=r,y=0,z=h然后回到母线上，转一周，增加h求求 点的运动轨迹 点的速度 点的加速度螺旋线运动螺旋线运动已知已知点的运动方程第16页/共46页xyOzM Mva加速度的大小为加速度的矢径表示为a=axi+ayj+azk=-2xi-2 yj =-2(xi+yj)=-2 r第17页/共46页一、曲率的概念 夹角可以表示弧长s内的弯曲程度，

7、可见MM 弧的弯曲程度或平均曲率平均曲率可表示为：7-5 自然坐标轴系etetO(+)MMset 当M 趋向于M时，平均曲率的极限即为曲线在M点的曲率曲率，可表示为：其倒数为曲线在M点的曲率半径曲率半径，即：第18页/共46页二、自然坐标轴系 M与M点的切线单位向量et和et确定一个平面，当M点向M点接近时，平面绕M点的切线单位向量转动。O(+)MsetetetetetetM 当M到达M点极限位置时，M与M点的切线单位向量确定的平面称为密切面密切面，在M点附近无限小的一段弧线在密切面内发生弯曲，因此密切面又称为曲率平面曲率平面。平面曲线平面曲线所在的平面就是密切面。(1)(1)密切面：密切面：

8、过M点做与切线et垂直的平面称为M点的法法(平平)面面,法面内的所有直线都垂直于M点的切线；密切面与法面的交线叫主法线主法线，与主法线垂直的法线叫 副法线副法线 。M密切面密切面(曲率平面曲率平面)法面法面主法线主法线副法线副法线ebetenet、en、eb构成自然坐标轴系。自然坐标轴系。从切面第19页/共46页自然坐标轴的几何性质第20页/共46页O(-)(+)sMr OMr一、速度v 动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，其方向沿着轨迹的切线方向。et76 速度与加速度的自然坐标表示法vdrdtdrdtdrdsdsdt=dsds=drdsrs=etdsdtst=v=ve

9、t=dsdtet结论：因此，第21页/共46页由MAB知,dvdtd(vet)dt=a=dvdtdetdt=et+v是切线单位矢量的导数是速度的改变值=ettdetdttlim0二、加速度=detdt整理得，MBAetetetetteta=dvdtv2et+en(7-14)第22页/共46页几点说明几点说明:(1)加速度矢量a由两个分矢量组成，其中 (2)加速度在自然坐标轴系上的投影 at=dvdtet 为切向加速度，沿轨迹切线方向，表明速度大小随时间的变化率；an=v2en为法向加速度，沿主法线方向，表明速度方向随时间的变化率。at=dvdtan=v2ab=0Met enebat an (3

10、)加速度的大小及其与主法线之间的角度 第23页/共46页(4)几种特殊情况I 直线运动II 匀速曲线运动III 匀变速曲线运动at=dvdtet a=an=v2ena=运动方程为消去时间t后,则有第24页/共46页例例7-67-6 列车在曲线半径R=300 m的轨道上作匀变速运动，轨道的曲线部分长度l=200m；当列车开始走上曲线部分和离开曲线部分时的速度分别为v0=30km/h和v1=48km/h。求列车走上及离开曲线轨道时的加速度？解列车作匀变速运动，切向加 速度为常数列车进入曲线时的加速度为：用同样的方法可得列车离开曲线时的加速度大小为.652m/s2,与主法线的夹角为2434。第25页

11、/共46页解：由点M的运动方程，得例7-7 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。第26页/共46页例7-8 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。第27页/共46页 解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。第28页/共46页求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。第29页/共46页又点M的切向加速度为则有求：M点的运动方程、速度、切向和法

12、向加速度。第30页/共46页311、点的运动的三种描述方法2、速度与加速度的推导方法小结 自然坐标法、直角坐标法、矢径法 矢径表示法、直角坐标表示法、自然坐标表示法第31页/共46页32课堂自学.用柱坐标法给出点的运动方程。与 有何不同?就直线和曲线分别说明。(直线.曲线都一样),),为速度的大小变化率,在曲线中应为切向加速度 。柱坐标法方程第32页/共46页33指出在下列情况下,点M作何种运动?,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)第33页/共46页34 点作曲线运动,画出下列情

13、况下点的加速度方向。M1点作匀速运动 M2点作加速运动 M3点作减速运动判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?(加速运动)(不可能)(匀速曲线运动)(不可能或改作 直线加速运动)(不可能或改作直线减速运动)(不可能)(减速曲线运动)第34页/共46页35 点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零答:不一定.速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化 表示速度方向的变化第35页/共46页36点M沿着螺线自外向内运

14、动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？证明 是沿着主法线方向,即 。证明:由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度越来越大。而速度 v=常数,故点运动快慢不变。解：第36页/共46页 例 7-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。求：M 点的运动方程；轨迹；速度；加速度。习题课第37页/共46页解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程消去t,得轨迹求：运动方程、轨迹、速度和加速度。已知：第38页/共46页速度求：运动方

15、程、轨迹、速度和加速度。已知：第39页/共46页加速度求：运动方程、轨迹、速度和加速度。已知：第40页/共46页例7-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为其中 为t=0时的夹角，为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。第41页/共46页解：A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。运动方程求：A，B点运动方程；B点速度、加速度。已知：第42页/共46页B点的速度和加速度周期运动求：A，B点运动方程；B点速度、加速度。已知：第43页/共46页44作业作业(07)P153:习题：7-8,7-11第44页/共46页45第45页/共46页46感谢您的观看！第46页/共46页