系统稳定性分析.pptx

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1、6.1 6.1 系统稳定的概念和条件系统稳定的概念和条件1.1.系统稳定的基本概念系统稳定的基本概念 若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统为稳定。否则，系统称为不稳定。设线性定常系统的微分方程为 2.2.系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件（nm）第1页/共66页对上式进行拉氏变换，得N(s)是与初始条件有关的s多项式。根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的时间响应（即零输入响应），取 ，得到系统传递函数若si为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数的极点。i=1，2，n），且si各不相同时，有第2页/共66页Ai是与初始条件有关的系

2、数。若系统所有特征根si的实部Resi0，则零输入响应随着时间的增长将衰减到零，即 此时系统是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随着时间的增长而发散，即此时系统是不稳定的。第3页/共66页若系统特征根具有重根时，只要满足Re si 0 第6页/共66页设系统的特征方程为6.2.2 6.2.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表第7页/共66页，劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。还指出：劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具

3、有正实部特征根的个数。第8页/共66页 对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如下简单形式，以便于应用。劳斯表为（1）二阶系统（n=2），特征方程为根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是：a20，a10，a00 第9页/共66页（2）三阶系统（n=3），特征方程为劳斯表为a30，a20，a10，a00，a1a2a0a3 由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：第10页/共66页【例例6.16.1】二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为【解解】已知已知a21 1，a17.697.69，a042.342.3，各项系数均大于，各项系数均大于0 0，由二阶系统劳斯判据式，由二阶系统劳斯判据式知，该系统稳

4、定。知，该系统稳定。试用劳斯判据判别该系统的稳定性。试用劳斯判据判别该系统的稳定性。【例例6.26.2】已知反馈控制系统的特征方程为已知反馈控制系统的特征方程为试确定使该系统稳定的试确定使该系统稳定的K值。值。第11页/共66页【解解】根据特征方程的各项系数，列出劳斯表根据特征方程的各项系数，列出劳斯表 由劳斯判据可知，若系统稳定，特征方程各项系数必须大于由劳斯判据可知，若系统稳定，特征方程各项系数必须大于0 0，且劳斯表中第一列的系，且劳斯表中第一列的系数均为正值。数均为正值。解得解得K0.5即为所求。即为所求。第12页/共66页【例例6.36.3】设系统的特征方程为设系统的特征方程为【解解

5、】由特征方程的各项系数可知，系统已满足稳定的必要条件。列劳斯表由特征方程的各项系数可知，系统已满足稳定的必要条件。列劳斯表 由劳斯表的第一列看出：系数符号不全为正值，从由劳斯表的第一列看出：系数符号不全为正值，从11223 3，符号改变两次符号改变两次，说明闭环系统有，说明闭环系统有两个正实部两个正实部的根的根，即在，即在s s的右半平面有两个极点，所以控制的右半平面有两个极点，所以控制系统不稳定系统不稳定。试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。第13页/共66页6.2.3 6.2.3 劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况 这时可以用一个这时可以用一个很小的正数很小的正数

6、来代替第一列等于零的元素，然后再计算表的其他来代替第一列等于零的元素，然后再计算表的其他各元素。各元素。这时可利用该行的这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。1.劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不全为零。劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不全为零。2.劳斯表中某一行的元素全部为零。第14页/共66页【例例6.46.4】设某系统的特征方程为设某系统的特征方程为解：根据特征方程的各项系数，

7、列出解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表表当当00时，时，(2-2/)1时，GK(j)逆时针方向包围（1，j0）点一圈，故闭环系统稳定，如曲线a0K1时，时，GK(j)不包围（不包围（1，j0）点，故）点，故闭环系统不稳定，如曲线闭环系统不稳定，如曲线b第29页/共66页 开环系统中含有积分环节，即有零特征根时，设开环传递函数为6.3.3 开环含有积分环节的开环含有积分环节的Nyquist图图型系统：0，GK(0)=j，GK()=0第30页/共66页型系统：0，GK(0)=j，GK()=0型系统：0，GK(0)=，GK()=0第31页/共66页 以0 0为圆心，r为半径，在右半平面作很

8、小的半圆，小半圆的表达式为 （r0）零根的处理 向量GK(j)的模为，Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从 变化到从-/2经0变到/2s从0变到0第32页/共66页 习惯上把开环系统的习惯上把开环系统的零根作为左根处理零根作为左根处理第33页/共66页【例例6.7】系统开环传递函数为系统开环传递函数为试用试用Nyquist稳定判据判断该稳定判据判断该闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。G(j)H(j)逆时针方向包围逆时针方向包围（1，j0）点一点一圈，故闭环系统稳定是稳定的。圈，故闭环系统稳定是稳定的。含有一个积分环节，故有一个从含有一个积分环节，故有一个从/2到到+/2，半径为，半

9、径为的圆弧。的圆弧。【解】开环系统在s右半平面有一个极点s=1，p1第34页/共66页第35页/共66页6.3.4 6.3.4 具有延时环节的系统的稳定性分析具有延时环节的系统的稳定性分析 下图为一具有延时环节的系统方框图，其中G1(s)是除延时环节以外的前向通道传递函数。整个系统的开环传递函数为：其开环频率特性为：幅频特性：相频特性：由此可见，延时环节不改变系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生改变，使滞后增加，且越大，产生的滞后越多。第36页/共66页【例例6.8】在如图所示的系统在如图所示的系统中，若中，若则开环传递函数和开环频率特性为：则开环传递函数和开环频率特性为：当增加到使Nyqui

10、st图包围（1，j0）点时，闭环系统就不稳定了。当0，即无延时环节时，二阶系统是稳定的。第37页/共66页该系统的闭环传递函数为则系统的特征方程为当时，系统处于临界稳定状态。当1.15时，闭环系统不稳定。=0.786=1.15第38页/共66页【例例6.9】系统开环传递函数系统开环传递函数试判别该闭环系统的稳定性。试判别该闭环系统的稳定性。6.3.5 Nyquist稳定判据应用举例稳定判据应用举例当当=时时【解解】当=0时由于由于G(j)H(j)在在s的右半平面无极点，的右半平面无极点，即即p=0，且，且G(j)H(j)不包围（不包围（1，j0）点，故不论）点，故不论K取何正值，系统总是取何正

11、值，系统总是稳定的。稳定的。第39页/共66页【例例6.10】若控制系统的开环传递函数为若控制系统的开环传递函数为试求不同试求不同K值时系统的稳定性。值时系统的稳定性。【解解】系统开环幅相频特性为系统开环幅相频特性为令虚部令虚部V（）0，可得开环，可得开环Nyquist特性曲线与负实轴交点处的频率为特性曲线与负实轴交点处的频率为第40页/共66页 若使系统稳定，必须满足开环若使系统稳定，必须满足开环Nyquist曲线不包围（曲线不包围（1，j0）点）点解得解得 时，曲线包围（时，曲线包围（1，j0）点，闭环系统不稳定。时，曲线时，曲线过（1，j0）点，闭环系统临界稳定；即曲线不包围（即曲线不包

12、围（1，j0）点，闭环系统稳定；第41页/共66页【例例6.11】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为【解解】当当=0=0时，时，当当=时时,试判断系统稳定性。试判断系统稳定性。由于开环系统中有一积分环节，故开环由于开环系统中有一积分环节，故开环Nyquist曲线曲线在在0时始于时始于90。又因为系统为四阶系统加一导。又因为系统为四阶系统加一导前环节，因此前环节，因此Nyquist曲线在曲线在时，止于时，止于270。第42页/共66页（2）当导前环节作用大，即）当导前环节作用大，即T4大时，相位减小，大时，相位减小，G(j)H(j)曲线不包围（曲线不包围（1，j0）点，闭环系统稳定，如

13、图中的曲线）点，闭环系统稳定，如图中的曲线2。（1）当导前环节作用小，即）当导前环节作用小，即T4小时，小时，G(j)H(j)曲线包围（曲线包围（1，j0）点，闭环系）点，闭环系统不稳定，如图中的曲线统不稳定，如图中的曲线1；由于开环曲线在s的右半平面无极点，即p=0第43页/共66页 Bode稳定判据实际上是Nyquist稳定判据的另一种形式，即利用开环系统的Bode图来判别闭环系统的稳定性。6.4 Bode稳定判据稳定判据 根据Nyquist稳定判据，若开环控制系统是稳定的，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性不包围（1，j0）点。若将Nyquist图转换成Bode图，两图之间有如下

14、对应关系：第44页/共66页Nyquist图及其对应的Bode图1.Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0dB线，即对数幅频特性图的横轴。单位圆之外对应于对数幅频特性图的0dB线之上。2.Nyquist图上的负实轴相当于Bode图上对数相频特性的180线。ab第45页/共66页 开环Nyquist曲线在（1，j0）点以左穿过负实轴称为“穿越”，这相当于在L()0的所有频率范围内，对数相频特性穿过180线。当增加时，开环Nyquist曲线自上而下（相位增加）穿过（1，j0）点以左的负实轴称为正穿越；反之为负穿越。当增加时，开环Nyquist曲线自（1，j0）点以左的负实轴开始向下称为半

15、次正穿越；反之为半次负穿越。对应于Bode图，在L()0的所有频率范围内，沿增加方向，对数相频特性曲线自下而上穿过180线为正穿越；反之为负穿越。若对数相频特性曲线自180线开始向上，为半次正穿越；反之为半次负穿越，如图所示。第46页/共66页Bode稳定判据:如果开环系统在s的右半平面有p个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在180180线上正线上正负穿越次数之差为负穿越次数之差为p p/2/2。如果开环系统是稳定的，即p0，则在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性

16、曲线不超过180线，闭环系统稳定。第47页/共66页 Nyquist曲线与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为c。Nyquist曲线与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与180线交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为g。由图可以看出，如果闭环系统稳定（对应曲线1），cg。第48页/共66页换言之:若开环对数幅频特性达到0dB线时，其对应的相频特性还在180线以上，则闭环系统稳定；若开环相频特性达到180线时，其对数幅频特性还在0dB线以上，则闭环系统不稳定。Bode稳定判据也可表述为：开环系统稳定（p0）时，若开环对数

17、幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即cg，则闭环系统不稳定；若cg，则闭环系统临界稳定。若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，如图所示，则取剪切频率最大的c3来判别稳定性。第49页/共66页【例例6.12】如图所示的四种开环如图所示的四种开环Bode图，试用图，试用Bode稳定判据判断系统闭环后的稳定性。稳定判据判断系统闭环后的稳定性。已知开环传递函数在已知开环传递函数在 s s 右半平面有一右半平面有一极点，即极点，即p p=1=1，在，在L L()0)0的范围内，的范围内，相频特性在相频特性在180180线上只有半次正穿线上只有半次正穿越，故闭环系统稳定。越，故闭环系统稳定。已知p=0

18、，即开环是稳定的，在L()0的范围内，相频特性在180线上正负穿越之差为0，可见系统闭环后是稳定的。第50页/共66页已知已知p p=2=2，在，在L L()0)0的范围的范围内，相频特性在内，相频特性在180180线上正负线上正负穿越之差为穿越之差为2 21=11=1p p/2/2，系统，系统闭环后稳定。闭环后稳定。已知p=2，在L()0的范围内，相频特性在180线上正负穿越之差为12=1p/2，系统闭环后不稳定。第51页/共66页1.Bode图可以采用渐进线方法作出，比较简便；2.Bode图的渐近线，可以粗略判别系统稳定性；3.在Bode图中，可以明确哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对

19、其中参数进行合理选择或校正；4.在调整开环增益K时，只需将Bode图中的对数幅频特性曲线上下平移即可，因此很容易看出为保证稳定性所需的增益值。采用Bode稳定判据判别稳定性与采用Nyquist稳定判据判别稳定性相比，具有如下优点：第52页/共66页6.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 从Nyquist稳定判据可知，若开环为p0的闭环系统稳定，当开环Nyquist曲线离（1，j0）点越远，则其闭环系统的稳定性越高；当开环Nyquist曲线离（1，j0）点越近，则其闭环系统的稳定性越低。这就是通常所说的系统的相对稳定性。它通过开环Nyquist曲线对（1，j0）点的靠近程度来表征，其定量表示为

20、相位裕度 和幅值裕度Kg。第53页/共66页正相位裕度正幅值裕度负相位裕度负幅值裕度acbd第54页/共66页6.5.1 相位裕度相位裕度 在为剪切频率c（c 0）时，相频特性距180线的相位差叫做相位裕度 。相位裕度也叫相位稳定性储备。因此 对于稳定的系统，必在Bode图180线以上，这时称为正相位裕度，即有正的稳定性储备;对于稳定的系统，必在Bode图180线以下，这时称为负相位裕度，即有负的稳定性储备。相应地，在Nyquist图中，对于稳定的系统，必在Nyquist图负实轴以下；对于不稳定系统，必在Nyquist图负实轴以上。第55页/共66页6.5.2 幅值裕度幅值裕度Kg 在为相位交

21、界频率g g（g g 0）时，开环幅频特性 的倒数，称为幅值裕度，记做Kg，即 在Bode图上，幅值裕度改以分贝（dB）表示为Kg（dB）。第56页/共66页 对于稳定的系统，Kg(dB)必在 0 dB线以下，Kg(dB)0，此时称为正幅值裕度；对于不稳定的系统，Kg(dB)必在 0 dB线以上，Kg(dB)0，此时称为负幅值裕度。在Nyquist图上，由于 所以Nyquist曲线与负实轴的交点至原点的距离即为1/Kg，它代表在g频率下开环频率特性的模。对于稳定系统，1/Kg 1。第57页/共66页对于开环稳定的系统:G(j)H(j)具有正幅值裕度及正相位裕度时，其闭环稳定；G(j)H(j)具

22、有负幅值裕度及负相位裕度时，其闭环不稳定。在工程实践中，为使系统有满意的稳定性储备，一般希望Kg(dB)6dB，即Kg 2必须同时考虑相位裕度和幅值裕度两个指标第58页/共66页【解解】【例例6.136.13】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为（00）时，该闭环系统的稳定性。）时，该闭环系统的稳定性。试分析当阻尼比很小第59页/共66页 相位裕度相位裕度 很大，但幅值裕度Kg很小。若同时根据相位裕度和幅值裕度全面地评价系统的相对稳定性，就可避免得出不符合实际的结论。由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一

23、定的对应关系，相位裕度关系，相位裕度 表明开环对数幅频特性在剪切频率表明开环对数幅频特性在剪切频率c上上的斜率应大于的斜率应大于40dB/dec（此斜率称为剪切率）。（此斜率称为剪切率）。第60页/共66页试求：（试求：（1 1）K K=1=1时，系统的相位裕度和幅值裕度；时，系统的相位裕度和幅值裕度；（2 2）要求调整增益）要求调整增益K K，使系统的幅值裕度，使系统的幅值裕度 20lg20lgK Kg g=20dB=20dB，相位裕度，相位裕度 。【例例6.14】已知一单位反馈系统的开环传递函数为已知一单位反馈系统的开环传递函数为【解解】开环频率特性为开环频率特性为对数幅频特性和相频特性分

24、别为对数幅频特性和相频特性分别为第61页/共66页（1 1）开环频率特性在）开环频率特性在g g处的相位为处的相位为对上式取正切，得对上式取正切，得即即g g=10=10 当当K K=1=1时时幅值裕度幅值裕度根据根据K K=1=1时的开环传递函数，可知系统的时的开环传递函数，可知系统的c c=1=1即据此得相位裕度相位裕度第62页/共66页根据相位裕度根据相位裕度的要求的要求（2 2）由题意）由题意20lg20lgK Kg g=20dB=20dB，即，即L L(g g)=)=2020，在，在g g10 10 处的对数幅值为处的对数幅值为解得，解得，K K=2.5=2.5。即即对上式取正切，求

25、得对上式取正切，求得于是有于是有解得解得K K=5.22=5.22。K K=2.5=2.5就能同时满足就能同时满足K Kg g和和 的要求。的要求。第63页/共66页（1）稳定稳定是系统能正常工作的是系统能正常工作的首要条件首要条件。（2）系统稳定的）系统稳定的充分必要条件充分必要条件是是系统特征方程的根全部具有负实部，即系统闭环系统特征方程的根全部具有负实部，即系统闭环传递函数的极点均位于传递函数的极点均位于s的左半平面的左半平面。（3）稳定判据只回答特征方程式的根在）稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。体数值。劳斯判据是判断稳定性的代数方法劳斯判据是判断稳定性的代数方法。本章小结本章小结第64页/共66页（4）Nyquist判据是判断稳定性的几何判据。这种判据能从图形上直观地看出参数变化对系统性能的影响，并提出改善系统性能的信息。（5）考虑到系统内部参数和外界环境变化对系统稳定性的影响，要求系统不仅能稳定地工作，而且还需要有足够的稳定裕度。第65页/共66页感谢您的观看！第66页/共66页