线性代数学习.pptx

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1、一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入用消元法解二元(一次)线性方程组:1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去x2,得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;第1页/共89页当(a11a22 a12a21)0时,方程组的解为:由方程组(1)的四个系数确定 定义定义定义定义:由4(2 2)个数排成二行二列(横排称行,竖排称列)的数表a11 a12a21 a22(3)(4)则表达式 a11a22 a12a21 称为由数表(4)所

2、确定的二阶行列式,并记作(5)类似地,消去x1,得(a11a22 a12a21)x2=b2a11 b1a21;第2页/共89页=a11a22 a12a21即主对角线副对角线二阶行列式的计算二阶行列式的计算对角线法则对角线法则=a11a22 a12a21对于二元线性方程组D称为线性方程组(1)的系数行列式系数行列式.若记(1)第3页/共89页注意注意:分母都为原方程组的系数行列式.则该二元线性方程组的解(3)式(3)表示为:第4页/共89页例例例例1 1:解二元线性方程组解二元线性方程组解解:=3 (4)=7 0,第5页/共89页(7)式称为由数表(6)所确定的三阶行列式三阶行列式.二、三阶行列

3、式二、三阶行列式定义定义定义定义:设由9(3 3)个数排成3行3列的数表(7)(6)记记记记 列标列标 行标行标第6页/共89页(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算即(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则第7页/共89页 说明说明2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.注意注意:红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号说明说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式例例例例2:2:计算三阶行列式解解解解:按对角线法则,有D=1 2(2)+2 1(3)+(4)(2)4(4)2(3)2(2)(2)1 1

4、 4=4 6+32 24 8 4=14第8页/共89页例例例例3:3:求解方程求解方程解解解解:方程左端为一个三阶行列式,其值为:D=3x2+4x+18 12 2x2 9x=x2 5x+6 由D=x2 5x+6=0 解得:x=2 或 x=3.第9页/共89页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.是线性代数中最基本的计算问题之一.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结三、小结第10页/共89页1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式说明说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.说明说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.说明说明(3

5、)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列下标排列的逆序数.1.3第11页/共89页记作简记作 det(aij).数 aij 称为行列式 det(aij)(第 i 行第 j 列)的元素.即 说明说明1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明说明2.n 阶行列式是 n!项的代数和;说明说明3.n 阶行列式的每项都是位于不同行,不同列 n 个元素的乘积,的符号为(1)t;第12页/共89页 说明说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.例例1:计算对角行列式解解:分析.展开式中项的一般形式是从而这个

6、项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能 p1=4;若p1 4,则即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14 a23 a32 a41即第13页/共89页例例2:计算上三角行列式解解:分析展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项.显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即第14页/共89页显然=1 4 5 8同理可得下三角行列式对角行列式对角行列式第15页/共89页例例5:设证明:D1=D2.第16页/共89页证证:由行列式定义有第17页/共89页由于 p1+p2+pn=1+2+n,所以故 行列式是一

7、种根据特殊需要而定义的特定算式.n 阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的 n 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结第18页/共89页思考题思考题已知多项式求 x3 的系数.思考题解答思考题解答含 x3 的项有仅两项,即对应于=x3+(2x3)故 x3 的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43第19页/共89页1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式DT称为行列式D的转置行列式.记证明证明:记行列式 D=det(aij)的转置行列式为:性质性质性质性质1:1:行列

8、式与它的转置行列式相等,即DT=D.1.5第20页/共89页按定义即 bij=aji(i,j=1,2,n),又由行列式的另一种表示得,所以,DT=D,结论成立 说明说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.性质性质性质性质2:2:互换行列式的两行(列),行列式变号.第21页/共89页证明证明证明证明:设行列式是由行列式互换 i,j(i j)两列得到.即,当 k i,j 时,bpk=apk;当 k=i,j 时,bpi=apj,bpj=api;第22页/共89页于是其中 t 为排列 p1 pi pj pn的逆序数,设 s 为排列p1 pj pi pn的

9、逆序数.显然 t 与 s 的奇偶性不同,即(1)t=(1)s,所以,例如第23页/共89页 推论推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.证明证明:互换相同的两行,则有D=D,所以D=0.性质性质性质性质3:3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.即 推论推论推论推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零第24页/共89页证明证明:性质性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如第25页/共89页则D等于下列两个行列式之和:性质性质6:把行列式的某一

10、列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.证明证明:故结论成立.第26页/共89页例如 引入记号:用 ri 表示第 i 行,ci 表示第 i 列.在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换.利用性质2交换行列式的第 i,j 两行(列),记作ri rj (ci cj);第27页/共89页 利用性质6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去,记作ri+rj k(ci+cj k);利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数k,记作ri k(ci k);二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法:利用性

11、质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值第28页/共89页例例1:计算5阶行列式解解:Dr2+3r1r3 2r1第29页/共89页r4 3r1r5 4r1r2 r3第30页/共89页r4+r2r4+r3r5+2r3第31页/共89页r5+2r4解解:将第2,3,n 列都加到第一列得:例例2:计算 n 阶行列式第32页/共89页第2,3,n 行都减去第一行得:第33页/共89页例例3:设证明:D=D1D2.证明证明:对D1作行运算 ri+t rj,把D1化为下三角形行列式:第34页/共89页对D2作列运算 ci+kcj,把D2化为下三角形行列式:先

12、对D的前k行作行运算 ri+trj,然后对D的后n列作列运算 ci+kcj,把D化为下三角形行列式:故,D=p11 pkk q11 qnn=D1D2.第35页/共89页 行列式的6个性质.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式的值.三、小结三、小结思考题思考题其中已知 abcd=1.计算行列式,第36页/共89页思考题解答思考题解答第37页/共89页第38页/共89页1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引例,考

13、察三阶行列式 在 n 阶行列式D中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后,留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式,记作 Mij.即1.6第39页/共89页第40页/共89页例如记 Aij=(1)i+j Mij,称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.第41页/共89页 引理引理:如果一个阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零,那么,行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积,即 D=aij Aij.行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.=aij Aij.第42页/共89页证证:当 aij 位于

14、第一行第一列时,又由于 A11=(1)1+1M11=M11,再证一般情形,此时由上节例3,即教材中的例10得:D=a11M11.从而 D=a11A11,即结论成立.第43页/共89页 把D的第 i 行依次与第 i 1行,第 i 2行,第1行交换,得 把D的第 j 列依次与第 j 1列,第 j 2列,第1列交换,得第44页/共89页=(1)i+j aij M 11,显然,M 11恰好是aij在D中的余子式Mij,即M 11=Mij,因此,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立.第45页/共89页 定理定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

15、,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni (i=1,2,n).证证:二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则第46页/共89页D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n).由引理得:引理的结论常用如下表达式:(i=1,2,n)解解:按第一行展开,得例例1:计算行列式如果按第二行展开,得第47页/共89页例例2:计算行列式解:D第48页/共89页例例3:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证证:用数学归纳法所以,当 n=2 时,(1)式成立.假设对 n-1 阶范德蒙德行列式,(1)式

16、成立.对 n 阶范德蒙德行列式,作如下变换,ri x1ri-1 (i=n,n1,2,1).得第49页/共89页按第一列展开,并把每列的公因子(xi x1)提出,就有:n1阶范德蒙德行列式则根据归纳假设得证:第50页/共89页例例4:计算行列式解解:第51页/共89页 推论推论:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.证证:把行列式D=det(aij)按第 j 行展开,得把 ajk 换成 aik(k=1,2,n),当 i j 时,可得第52页/共89页

17、第 j 行第 i 行相同同理 a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j 所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质其中第53页/共89页 1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结2.第54页/共89页思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+A1n.设 n 阶行列式思考题解答思考题解答解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成A11+A12+A1n第55页/共89页1.7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 设线性方程组 若常数项b1,b2,

18、bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,bn全为零,则称此方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组;定理定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即(1)1.7第56页/共89页其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为 证明证明:用系数行列式D的第 j 列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得第57页/共89页在把 n 个方程依次相加,得 由行列式代数余子式的性质可知,上式中xj

19、的系数等于D,而 xi(i j)的系数均等于0,等式右端为Dj.于是因此,当 D 0 时,方程组(2)有唯一解:Dxj=Dj (j=1,2,n)(2)由于方程组(2)与方程组(1)等价,故也是方程组(1)的唯一解.第58页/共89页 定理定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理定理3:如果齐次线性方程组(3)的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.(3)定理定理4:如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式 D 必为零.在后面我们将证明:齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式 D 必为零.第59页/共89页例例

20、1:用克拉默法则解方程组解解:第60页/共89页所以第61页/共89页解解:例例2:用克拉默法则解方程组第62页/共89页所以第63页/共89页例例3:问 取何值时,齐次方程组有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解解:则 =0,=2或=3时,齐次方程组有非零解.第64页/共89页1.用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.小结第65页/共89页思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方

21、程组的解为何?思考题解答思考题解答不能.此时方程组可能为无解,或有无穷多解.第66页/共89页第一章第一章 习题课习题课习题课第67页/共89页5.n 阶行列式的定义阶行列式的定义或第68页/共89页6.n 阶行列式的性质阶行列式的性质 性质性质性质性质1:1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.性质性质性质性质2:2:互换行列式的两行(列),行列式变号.推论推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质性质性质性质3:3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.推论推论推论推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质

22、性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零 性质性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则该行列式等于两个行列式之和.性质性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.第69页/共89页7.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 在 n 阶行列式D中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后,留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式,记作 Mij.即 记 Aij=(1)i+j Mij,称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.(1)8.克拉默法则克拉默法则第70页/共89页 定理定

23、理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即 定理定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理定理3:如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组没有非零解.定理定理4:如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式 D 必为零.在后面我们将证明:齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数行列式D必为零.第71页/共89页典型例题典型例题例例1:计算行列式解解:第72页

24、/共89页例例2:计算 解解:Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方幂的次数自左至右按递升次序排列,但不是从0到 n1,而是从1递升至 n.若提出各行的公因子,则方幂的次数便是从0升到 n1,于是得:第73页/共89页上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置,由范德蒙行列式知评注评注:本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子,调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.第74页/共89页例例3:计算解解:将第2,3,n+1列都加到第1列,得第75页/共89页提取第一列的公因子,得cj+1+(

25、aj)c1,j=2,3,n+1.得第76页/共89页评注:本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有 1 的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.例例4:计算 解:将行列式的2,3,4行分别加到第1行,并提出公因子(a+b+c+d),得:第77页/共89页在将第2,3,4列分别减去第1列,得:把上面行列式的第2行加到第1行,再提取第1行的公因式(a-b-c+d),得:第

26、2列减去第1列,得第78页/共89页所以,评注评注:本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点,将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素的情形,然后按此行(列)展开.每展开一次,行列式的阶数降低 1 阶.如此继续进行,直到行列式能直接计算出来(一般展开成二阶行列式)为止.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.第79页/共89页例例5:计算解解:依第n列把Dn拆成两个行列式之和,第80页/共89页 将上式右端第一个行列式的第n列的(1)倍分别加到第1,2,n1列上去;将上式右端第二个行列式按第n列展开.得,从而得递推公式:于是如此继续下去,可得Dn=x1x2xn-1a+xnDn-1.故Dn

27、-1=x1x2xn-2a+xn-1Dn-2.Dn=x1x2xn-1a+x1x2xn-2axn+xn-1xnDn-2.Dn=x1x2xn-1a+x1x2xn-2axn+x1x2ax4xn+x3 xn-1xnD2.第81页/共89页而所以,Dn=x1x2xn-1a+x1x2xn-2axn+x1x2ax4xn+x1ax3xn+ax2x3xn+x1x2x3xn.=a(x1x2xn-1+x1x2xn-2xn+x1x3xn+x2x3xn)+x1x2x3xn.当x1x2x3xn 0时,可改写为:评注评注:本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点,导出所给n 阶行列式Dn的递推公式,从而求出Dn.递推公式方法

28、是求有规律性n 阶行列式Dn的常用方法.第82页/共89页例例6:证明证证:对阶数n用数学归纳法.D1=cos,所以当n=1,2时,结论成立.显然,假设阶数小于n时,结论成立,以下证明阶数等于n时,结论成立.第83页/共89页按Dn的最后一行展开,得Dn=2cos Dn-1 Dn-2.由归纳假设,Dn-1=cos(n1),Dn-2=cos(n2).所以Dn=2cos cos(n1)cos(n2)=cos n +cos(n2)cos(n2)=cos n 从而,对任意的自然数n,结论成力.评注评注:为了将Dn展开成用与Dn同形的行列式Dn1,Dn2表示,本例必须按第n行(或第n列)展开,不能用第1

29、行(或第1列)展开,否则所得的低阶行列式不是与Dn同形的行列式,从而无法进行下一步证明.第84页/共89页小结小结:计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可以有多种计算方法:有的行列式计算需要几种方法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变换后,再考察它是否能用常用的几种方法.例7:求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c,使得f(1)=0,f(2)=3,f(3)=28.解:由题意得 f(1)=a+b+c=0,f(2)=4a+2b+c=3,f(3)=9a 3x+c=28.这是一个关于三个未知数a,b,c的线性方程组.第85页/共89页由克莱姆法则,得于

30、是,所求的多项式为:f(x)=2x2 3x+1,证证:必要性.例8:证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.设所给三条直线交于一点(x0,y0).第86页/共89页则 x=x0,y=y0,z=1 可视为齐次方程组的一个非零解.因此,其系数行列式为零,即 由于三条直线互不相同,所以a,b,c不全相同,则由上式得:a+b+c=0.充分性:如果a+b+c=0,将方程组(1)的第一,二个方程加到第三个方程得:第87页/共89页下面证明(2)有唯一解.(2)如果=acb2=0,则 ac=b2 0,ac=(a+c)2=a2+2ac+c2.从而有 ac=0.由a+b+c=0,得b=(a+c),于是,ac=(a2+c2)0.假若a=0,则由 ac=b2 知,b=0.再由a+b+c=0,得 c=0.这与题设矛盾.因此,因此,方程组(1)也有唯一解.即三条直线交于一点.则由克莱默法则得:方程组(2)有唯一解.第88页/共89页感谢您的观看！第89页/共89页