第3章(2)概率论与数理统计.pptx

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1、 随机向量随机向量(X,Y)落入矩形落入矩形 的概率为的概率为(1.1)分布函数具有如下性质：分布函数具有如下性质：1.单调性：单调性：F(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数：的不减函数：2.2.有界性：有界性：，且，且 对固定对固定x,；对固定对固定y,3.右连续性：右连续性：4.如下不等式成立：如下不等式成立：第1页/共40页 二维随机变量分为两种：二维随机变量分为两种：离散型离散型和和连续型连续型 离散型随机变量离散型随机变量 如果随机变量如果随机变量(X,Y)的全部可能取到的不同值是有限的全部可能取到的不同值是有限或可列无限多对，则称或可列无限多对，则称(X,Y)是是离散型随机变量

2、离散型随机变量。离散型随机变量的表示：离散型随机变量的表示：设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为所有可能取值为，记，记，称为二维离散随机变量称为二维离散随机变量(X,Y)的分布律，或的分布律，或X和和Y的的联合分布律联合分布律。显然有显然有，第2页/共40页联合分布律可用联合分布律可用二维表格二维表格表示：表示：XY第3页/共40页例例1 设随机变量设随机变量X在在1，2，3，4四个整数中等可能地四个整数中等可能地 取一个值，另一个随机变量取一个值，另一个随机变量Y在在1X中等可能地中等可能地 取一整数值。试求取一整数值。试求(X,Y)的分布律。的分布律。解：由题意

3、可知，解：由题意可知，(X,Y)所有可能取值为所有可能取值为(i,j),i,j=1,2,3,4。由乘法公式由乘法公式，对，对于是于是(X,Y)的的分布律为分布律为 X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16第4页/共40页 离散型随机变量的联合分布函数为离散型随机变量的联合分布函数为(1.2)连续型随机变量概念连续型随机变量概念 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)，若存在，若存在非负的函数非负的函数 f(x,y)使对任意使对任意 x,y，有，

4、有 则称则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数是连续型的二维随机变量，函数 f(x,y)称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度或或X与与Y的的联合概率密度联合概率密度 第5页/共40页 联合密度函数的性质联合密度函数的性质 1.非负性：非负性：2.规范性：规范性：3.概率的计算公式概率的计算公式：设：设G是是xOy平面上的区域，平面上的区域，(X,Y)落在落在G内的概率为内的概率为(1.3)4.若若f(x,y)在点在点(x,y)连续，则连续，则 若若f(x,y)在点在点(x,y)连续，当和很小时，有连续，当和很小时，有 第6页/共40页例例2 设二维随机变量设二维随

5、机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度（1）求分布函数）求分布函数F(x,y)；（；（2）求概率）求概率 。解：（解：（1）因）因 因此因此 第7页/共40页（2）将）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即看作是平面上随机点的坐标，即，G为为xOy平面上平面上y=x及其下方的部分。及其下方的部分。因此因此 n维随机变量维随机变量 设设E是一个随机试验，其样本空间是是一个随机试验，其样本空间是 ，设，设 ，是定是定义在义在S上的随机变量，由它们构成的一个上的随机变量，由它们构成的一个n维向量维向量 叫做叫做n维随机向量维随机向量或或n维随机变量维随机变量。第8页/共40页对于任意对于任意n个

6、实数个实数 ，n元函数元函数 称为称为n维随机变量维随机变量 的的分布函数分布函数或或随机变量随机变量 的的联合分布函数联合分布函数。2 边缘分布边缘分布 二维随机变量（二维随机变量（X,Y）作为一个整体具有分布函数）作为一个整体具有分布函数F(x,y)。X和和Y作为单个随机变量作为单个随机变量也各有其分布函数，记为也各有其分布函数，记为 和和 ，依次称为二维随机变量，依次称为二维随机变量(X,Y)关于关于X和关于和关于Y 的的边缘分布函数边缘分布函数。第9页/共40页容易知道容易知道(2.1)同样同样(2.2)对于离散随机变量：对于离散随机变量：因此，进而得到因此，进而得到X的分布律的分布律

7、,同样，同样，Y的分布律为的分布律为,第10页/共40页 边缘分布律边缘分布律：记：记,分别称分别称 和和 为为(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布律边缘分布律。对于连续型随机变量对于连续型随机变量(X,Y)，设它的密度函数为，设它的密度函数为f(x,y)，因，因 因此因此(2.3)第11页/共40页同样同样(2.4)分别称分别称 为为(X,Y)关于关于X 和关于和关于Y 的的边缘概率密度边缘概率密度。例例1 一整数一整数N等可能地在等可能地在1,2,3,10十个值中取一个值。十个值中取一个值。设设D=D(N)是能整除是能整除N的正整数的个数，的正整数的个数，F=F(N)是是 能整除

8、能整除N的素数的个数，试写出的素数的个数，试写出D和和F的联合分布律，的联合分布律，并求边缘分布律。并求边缘分布律。第12页/共40页解：该试验的样本空间及解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：取值的情况列出如下：样本点样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2D的所有可能取值为的所有可能取值为1,2,3,4;F的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2。由已知条件，由已知条件，(D,F)取取(i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率为的概率为 等等 其联合分布律及边缘其联合分布律

9、及边缘分布律如分布律如右表所示右表所示：1/10 0 0 0 0 4/10 2/10 1/10 0 0 0 2/10 1/107/102/10 1/10 4/10 2/10 3/10 PD=i 012 1 2 3 4 PF=j DF1第13页/共40页即分布律为即分布律为：D 1 2 3 4 F 0 1 2pk 0.1 0.4 0.2 0.3 pk 0.1 0.7 0.2例例3 设设二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度为为 其中，其中，都是常数，且都是常数，且 ，则则(X,Y)称为服从参数为称为服从参数为 的二维正态分布，的二维正态分布，第14页/共40页记为记为 。求二维正

10、态。求二维正态随机变量的随机变量的边缘概率密度。边缘概率密度。解：解：，因，因因此因此 令令 ，则，则 第15页/共40页同理同理 注：注：单由关于单由关于X和和Y的边缘分布，不能确定的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合分布。的联合分布。第16页/共40页3 条件分布条件分布 离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布 设设(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布律边缘分布律分别为分别为,设设 ，下面考虑在事件，下面考虑在事件 已发生的条件下已发生的条件下事件事件 发生的概率，发生的概率，即即求事件求事件 第17页

11、/共40页,的的条件概率条件概率。因此。因此,如上的条件概率满足性质：如上的条件概率满足性质：1 2 第18页/共40页定义定义 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的是二维离散型随机变量，对于固定的j，若若 ，则称，则称(3.1)，为在条件下随机变量，为在条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律。同样地同样地，对于固定的，对于固定的i，若，若 ，则称，则称(3.2)，为在条件下随机变量，为在条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律。第19页/共40页例例2 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为 ,射击直至击中目标两次为止。设以射击直至击中目标两次为止。设以

12、X表示首次击中目标表示首次击中目标 所进行的射击次数，以所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试表示总共进行的射击次数，试 求求X和和Y的联合分布律及条件分布律。的联合分布律及条件分布律。解：由题意，解：由题意，Y=n=在第在第n次射击时击中目标，且在第次射击时击中目标，且在第1次次 至第至第n-1次射击中恰有一次击中目标次射击中恰有一次击中目标 因各次射击相互独立，只要因各次射击相互独立，只要 ，概率，概率 为为，得到，得到X和和Y的联合分布律为的联合分布律为，第20页/共40页容易计算容易计算 于是所求的条件分布律为于是所求的条件分布律为 当当 时，时，当当 时，时，第21页/共4

13、0页 二维连续型随机变量的条件分布二维连续型随机变量的条件分布 设设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于，因此是二维连续型随机变量，由于，因此不能直接不能直接利用条件概率公式定义利用条件概率公式定义“条件分布函数条件分布函数”设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y)，（，（X,Y）关于）关于Y的边缘概率密度的边缘概率密度为为 。给定。给定y，对于任意，对于任意x和固定和固定 ，考察条件概率，考察条件概率 设设 ，则，则(3.3)第22页/共40页定义定义 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于关于 Y的边缘密度为的边缘密度为 。若对

14、于固定的。若对于固定的y，则称则称 为在为在Y=y的条件下的条件下X的条件概率密度，记为的条件概率密度，记为(3.4)称称 为在为在Y=y条件下，条件下，X的条件分布函数，记为的条件分布函数，记为(3.5)第23页/共40页 类似地，可定义条件密度类似地，可定义条件密度和和 条件分布条件分布 例例3 设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机。若二维随机 变量变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 则称则称(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布。现设现设(X,Y)在圆域：在圆域：上服从均匀分布，上服从均匀分布，求条件概率密度求条件概率密度 第24页/共4

15、0页解：二维随机变量解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 且具有边缘概率密度且具有边缘概率密度 于是当于是当 时，有时，有 第25页/共40页4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 定义定义 设设F(x,y)及及 分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有有(4.1)即即（4.2）则称随机变量则称随机变量X和和Y是是相互独立的相互独立的。设设(X,Y)是是连续型随机变量连续型随机变量，分别分别为为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则的概率密度和边缘概率密度，则X和和Y相互独立的相互独立的条件条

16、件(4.2)等价于等价于(4.3)几乎处处成立。几乎处处成立。第26页/共40页当当(X,Y)是是离散型随机变量离散型随机变量时，时，X和和Y相互独立的条件相互独立的条件(4.2)式式等价于：对于等价于：对于(X,Y)所有可能的取值所有可能的取值 ,有有(4.4)例如，例如，设离散随机变量设离散随机变量X,Y具有联合分布律具有联合分布律 0 1 PY=j1/6 2/6 1/21/6 2/6 1/21/3 2/3 1 X Y 1 2PX=i则有则有 因此因此X,Y相互相互独立。独立。第27页/共40页设（设（X,Y）是）是二维正态随机变量二维正态随机变量，其概率密度为，其概率密度为 其边缘概率密

17、度其边缘概率密度 的乘积为的乘积为 因此，因此，若若 ，则对于所有，则对于所有 ，有，有反之反之，若，若X,Y相互独立，则相互独立，则 。当当 时，有时，有因此，因此，。正态分布的一个结论正态分布的一个结论 第28页/共40页对于二维正态随机变量（对于二维正态随机变量（X,Y）:X和和Y相互独立相互独立的的充分必要条件充分必要条件是参数是参数 。一个常用结论一个常用结论 例子例子 例例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的时，他的 秘书到达办公室的时间均匀分布在秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设他们两人时，设他们两人 到达的时间相互独立，求他

18、们到达办公室的时间相差到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差 不超过不超过5分钟（分钟（1/12小时）的概率。小时）的概率。解：设解：设X和和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，由假设由假设X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为，第29页/共40页因因X和和Y相互独立，故相互独立，故(X,Y)的概率密度为的概率密度为 因此，所求概率为因此，所求概率为 n维随机变量维随机变量 1）n维随机变量的维随机变量的分布函数：分布函数：若存在非负函数若存在非负函数 ，使得，使得 则称则称 为为 的概率密度函数。的概率密度函数。第30页/共40页2）n

19、维随机变量的维随机变量的边缘分布边缘分布 关于关于X1 1，关于，关于(X1 1,X2 2)等的等的边缘分布函数边缘分布函数：关于关于X1 1，关于，关于(X1 1,X2 2)等的等的边缘密度函数边缘密度函数：3 3）独立性独立性 称称 随机变量是相互独立的，若对一切随机变量是相互独立的，若对一切 ，有，有第31页/共40页称称 与与 是是相互独立的相互独立的，如果，如果对一切对一切 ，有，有 4一个结果：一个结果：定理定理 设设 与与 相互独立，相互独立，则则 和和 相互独立。相互独立。又若又若 是连续函数，则是连续函数，则 与与 相互独立。相互独立。第32页/共40页5 两个随机变量的函数

20、的分布两个随机变量的函数的分布（一）（一）的分布的分布 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布函数为的分布函数为 设积分区域为设积分区域为 。考虑到变量代换。考虑到变量代换，则，则第33页/共40页于是，随机变量的概率密度为于是，随机变量的概率密度为（5.1）同理，由同理，由X,Y的对称性，又有的对称性，又有（5.2）特别地，当特别地，当X和和Y独立时，则（独立时，则（5.1）和（）和（5.2）式分别为）式分别为（5.3）（5.4）(5.3)和和(5.4)称为称为卷积公式卷积公式，记为，记为 ，即，即 第34页/共40页 一个重要例子一个重要例子 例例1 设

21、设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们服从是两个相互独立的随机变量，它们服从 N(0,1)分布，其概率密度为分布，其概率密度为 求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解：由解：由(5.4)式，得式，得 即即 第35页/共40页一般结论：一般结论：有限个相互有限个相互独立独立的正态随机变量的的正态随机变量的 线性组合线性组合仍然服从正态分布。仍然服从正态分布。（二）（二）及及 的分布的分布 设设X和和Y相互独立，其分布函数为相互独立，其分布函数为FX(x)和和FY(y)，则，则 因此因此 (5.7)类似地，类似地，因此因此 (5.8)第36页/共40页更一般地，更一般地，的分布的分布（5.9）的分布的分布（5.10）第37页/共40页小小 结结1）基本概念：随机向量，联合分布；）基本概念：随机向量，联合分布；2）重点：二维联合分布分布、联合分布律、联合密度；）重点：二维联合分布分布、联合分布律、联合密度；3）边缘分布及其求法：边缘分布律、边缘密度；）边缘分布及其求法：边缘分布律、边缘密度；4）条件分布律与条件密度；）条件分布律与条件密度；5）随机变量的独立性）随机变量的独立性6）两个随机变量和的分布，最大最小随机变量的分布。）两个随机变量和的分布，最大最小随机变量的分布。第38页/共40页第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页