经济数学在直角坐标系下的二重积分的计算.pptx

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1、应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得第1页/共39页注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-X-型域 先Y Y后X;X;3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便,上式也常记为：“域中一线插”,须用平行于 轴的射线穿插区域.第2页/共39页如果积分区域为：Y型第3页/共39页 1 1）积分次序:Y-Y-型域 ,先x x后Y;Y;注意:2 2）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。“域中一线插”,须用平行于X轴的射线穿插区域。第4页/共39页 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线

2、与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第5页/共39页 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，将二重积分化为二次定积分；（2）根据积分域类型,判定积分区域是X X型，Y Y型或必须分块处理；（4）计算两次定积分，即可得出结果.第6页/共39页解法一解法一 X-型型解法二解法二 Y-型型X=YY=2X=1YX2112第7页/共3

3、9页解解第8页/共39页解解第9页/共39页解解第10页/共39页例例5 计算二重积分计算二重积分其中区域其中区域是是由由围成的矩形围成的矩形.如图如图,因为因为是矩形区域是矩形区域,且且所以所以解解:第11页/共39页例例6 6解：解：先去掉绝对值符号，如图第12页/共39页例7 7解：X-型第13页/共39页例8求两圆柱所围成的体积V.第14页/共39页解:利用对称性,只要求出第一卦限的体积再乘以8即可.在第一卦限部分的立体是以曲面为顶,以为底的的曲顶柱体,其体积为所以第15页/共39页解解积分区域如图第16页/共39页解解第17页/共39页解解积分区域如图第18页/共39页解解原式第19

4、页/共39页三、利用对称性和奇偶性三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性利用被积函数的奇偶性常常使二重积分的计算简化许多常常使二重积分的计算简化许多,避免出现繁琐避免出现繁琐的计算的计算.但在使用该方法时但在使用该方法时,要同时兼顾到被积函要同时兼顾到被积函数数的奇偶性的奇偶性面面,常用结论如下常用结论如下:(1)如果区域如果区域关于关于 轴对称轴对称,则有则有当当时时的对称性的对称性,及积分区域及积分区域的对称性两方的对称性两方和积分区域和积分区域第20页/共39页当当时时其中其中(2)如果区域如果区域关于关于轴对称轴对称,则有则有第21页/共39页例

5、例13 计算计算其中积其中积分区域分区域 由曲线由曲线 与与 所围成所围成.解解令令因为因为 关于关于 轴轴且且故故对称对称,第22页/共39页例例14求求其中其中解解 因为因为 关于关于 轴和轴和 轴对称轴对称,且且于于 为偶函数为偶函数注注:则要繁琐很多则要繁琐很多.若直接在若直接在 上求二重积分上求二重积分,关于关于 或关或关第23页/共39页例例15计算计算其中其中解法一解法一 先对先对 积分积分解法二解法二 先对先对 积分积分解法三解法三 利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性第24页/共39页例例15计算计算其中其中解法一解法一 先对先对 积分积分,积分区域积分区域故故第25页/共3

6、9页例例15计算计算其中其中解法二解法二 先对先对 积分积分,积分区域积分区域故故第26页/共39页例例15计算计算其中其中解法一解法一 先对先对 积分积分解法二解法二 先对先对 积分积分解法三解法三 利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性第27页/共39页例例15计算计算其中其中解法三解法三故故利用对称性利用对称性,因为积分域因为积分域 关于关于 轴对称轴对称,且函数且函数所以所以又又关于关于 是奇函数是奇函数,第28页/共39页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结Y型X型第29页/共39页思考题思考题第30页/共39页思考题解答思考题解答:第31页/共39页第32页/共39页练练 习习 题题第33页/共39页第34页/共39页第35页/共39页第36页/共39页练习题答案练习题答案第37页/共39页第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页