线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵.pptx

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1、矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。引例：用消元法解下面的线性方程组一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第1页/共22页一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第2页/共22页一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第3页/共22页 在上述过程中，对线性方程组的消元操作实在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:(1)(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(2)(2)交换方程组中两个方程的位置；交换方程组中两个方程的

2、位置；(3)(3)给某一方程乘以常数给某一方程乘以常数k k加到另一个方程上去。加到另一个方程上去。相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(2)(2)交换两行元素的位置；交换两行元素的位置；(3)(3)给某一行所有元素乘常数给某一行所有元素乘常数 k k 加到另一行的对应加到另一行的对应元素上去。元素上去。一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第4页/共22页定义1、下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1)交换两行 (记为rirj);2)以数k 0乘某一行所有元素（记作

3、rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（记作ri+krj）把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第5页/共22页 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换换是同一类型的初等变换。变换rirj的逆变换的逆变换就是本身；变换就是本身；变换 rjk 的逆变换为的逆变换为 rjk；变换；变换 ri+krj 的逆变换为的逆变换为ri k rj。如果如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵经过

4、有限次初等变换变为矩阵 B，称矩阵称矩阵 A与与 B是等价的，记为是等价的，记为A B。矩阵的等价关系有如下性质：矩阵的等价关系有如下性质：反身性：反身性：A A 对称性：对称性：A B，则，则B A 传递性：传递性：A B，B C，则，则A C一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第6页/共22页矩阵的初等变换的应用1 行列式的计算2 求矩阵的逆3 求矩阵的秩4 求线性方程组的解5 求向量组的线性关系6 一向量组能否由另一向量组线性表出7 求向量组的秩与极大无关组8 判断两向量组是否等价一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第7页/共22页 (ii)(ii)下一个非零行的非零首元素均位于上一下一

5、个非零行的非零首元素均位于上一下一个非零行的非零首元素均位于上一下一个非零行的非零首元素均位于上一非零行的非零首元素的右侧非零行的非零首元素的右侧非零行的非零首元素的右侧非零行的非零首元素的右侧(i)(i)非零行位于全零行之上；非零行位于全零行之上；非零行位于全零行之上；非零行位于全零行之上；定义定义2、二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵 若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵A A满足：满足：满足：满足：则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵A A为为为为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，简称，简称，简称，简称阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。第8页/共22页下列矩阵中哪几个是阶梯形矩阵

6、?哪几个不是?二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵第9页/共22页定理定理1 任何一个矩阵都可以经过有限次任何一个矩阵都可以经过有限次任何一个矩阵都可以经过有限次任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵.二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵第10页/共22页练习：第11页/共22页练习.解线性方程组第12页/共22页定义定义3 一个行阶梯形矩阵若满足一个行阶梯形矩阵若满足 (i)每个非零行的第一个非零元素为每个非零行的第一个非零元素为 1;(ii)每个非零行的第一个非零元素所在每个非零行的第一个非零元素所在列的列的其他

7、元素全为零.二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵则称之为简化阶梯形矩阵（行最简形矩阵）.第13页/共22页定理定理定理定理2 2 2 2 任何矩阵都可经过有限次任何矩阵都可经过有限次任何矩阵都可经过有限次任何矩阵都可经过有限次初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换化为化为化为化为行行行行最简形矩阵最简形矩阵最简形矩阵最简形矩阵.二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵第14页/共22页练习：第15页/共22页定义4 由单位阵 E 经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。对应于三种初等变换，有三种初等矩阵：三、初等矩阵三、初等矩阵第16页/共22页对n 阶单位阵E，有i列j列j 行i 行第17页/共22页i列i 行j 行i 行第18页/共22页初等矩阵的性质：(1)初等矩阵的转置矩阵仍然是初等矩阵;(2)初等矩阵均是可逆矩阵，其逆矩阵是同类型的初等矩阵。第19页/共22页定理3 设A=(aij)是mn 矩阵，则 (1)对A进行一次初等行变换，相当于用一个m阶的初等矩阵左乘矩阵A；(2)对A进行一次初等列变换，相当于用一个n阶的初等矩阵右乘矩阵A。初等矩阵与初等 变换 之间的关系左乘变行右乘变列第20页/共22页第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页