线性代数行列式习题课.pptx

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1、1.5 习题习题课课第1页/共40页行列式计算方法小结行列式计算方法小结利用行列式的定义利用行列式的定义化三角形法化三角形法拆行拆行(列列)法法按某一行按某一行(列列)或某或某k k行行(列列)展开展开数学归纳法数学归纳法递推法递推法加边法加边法(升阶法升阶法)利用已知行列式的结论利用已知行列式的结论第2页/共40页例例1.1.计算计算n阶行列式阶行列式 分析分析 0 0 较多较多,用行列用行列式定义或展开定理式定义或展开定理.解解(一一)由行列式定义由行列式定义(二二)按第一列展开按第一列展开此行列式此行列式,得得第3页/共40页?！化化上上三三角角形形例例2.2.计算（计算（1 1）方法一

2、方法一第4页/共40页9化化上上三三角角形形第5页/共40页9展展开开降降阶阶方法二方法二 3第6页/共40页=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12范德蒙行列式范德蒙行列式(2)第7页/共40页(3)=160观察：每行元素观察：每行元素观察：每行元素观察：每行元素之和都等于之和都等于之和都等于之和都等于10101010解：第8页/共40页例例3.3.证明证明证明证明:法一法一:左左右右第9页/共40页法二法二:左左右右第10页/共40页解解:D每行元素之和相同，每行元素之和相同，2n列加至首列列加至首列例例4.4.计算计算第11页/共40页注注:本题首行乘以本题首

3、行乘以(-1)(-1)加至加至2 2至至n行可得箭形行列式行可得箭形行列式第12页/共40页例例5 5 计算行列式计算行列式 分析分析每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.解：解：第13页/共40页第14页/共40页例例6 6 计算计算解解:分析分析首行乘以(1)加至2至n行可得箭形行列式第15页/共40页例例7.7.解方程解方程解法解法(一一)末列末列(-ai)加至第加至第i列列(i=1,2,n)得上三角形得上三角形.(二二)末行末行(-1)加至加至1 1至至n行行,再由行列式定义或按末列展开再由行列式

4、定义或按末列展开.(三三)末行起末行起,每行减其上行每行减其上行,再由行列式定义或按末列展开再由行列式定义或按末列展开.(四四)方程为一元方程为一元n次方程次方程,最多有最多有n个实根个实根,而当而当x=a1,a2,an时时,方程左边行列式两行相同方程左边行列式两行相同,值为值为0,0,方程成立方程成立,故为根故为根.1.2例例解方程解方程第16页/共40页例例8 8 计算计算 (P23)特点特点:“0 0”多多方法方法:降阶找递推公式降阶找递推公式0000第17页/共40页解：法解：法(一一)按第按第1 1行展开行展开,再再递推公式递推公式:adD2(n-1)bcD2(n-1)(adbc)D

5、2(n-1)D2n(adbc)D2(n-1)(adbc)2D2(n-2)(adbc)n-1D2(adbc)n按末行展开按末行展开，有：，有：第18页/共40页法法(二二)按中间两行展开按中间两行展开拉普拉斯定理拉普拉斯定理,重复此步骤重复此步骤.法法(三三)d0,用定义用定义；d0,化下三角形行列式化下三角形行列式.(adbc)D2(n-1)(adbc)2D2(n-2)(adbc)n-1D2(adbc)n第19页/共40页例例9解解:按首行按首行(列列)展开展开,变形为变形为:后一行列式再按首列后一行列式再按首列(行行)展开得展开得Dn-2第20页/共40页、消去消去Dn-1得得时时按另一种方

6、式变形为按另一种方式变形为:时时第21页/共40页例例10 10 计算计算 (P26)(一)2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角形行列式(二)2至n行减首行得箭形行列式(三)加边(升阶)法第22页/共40页解：解：第23页/共40页箭形行列式箭形行列式第24页/共40页例例11主对角线上元素去掉1,则各行分别有公因子x1,x2,xn,提取公因子后各行元素都是x1,x2,xn,故考虑“加边法”第2行减去第1行的x1倍,第3行减去第1行的x2倍,第n+1行减去第1行的xn倍.第25页/共40页箭形行列式箭形行列式第26页/共40页(1)mnab例例12 设设则则(一一)按前按前n行展开得行展

7、开得(二二)B的第一行逐行向上交换经n次至C的首行,B的原第二行逐行向上交换经n次至C的第二行,直至B位于C的左上角,得 (92 考研 数四)第27页/共40页1-a+a2-a3+a4-a5(96(96考研数考研数五五 )(一)25列加至首列,按首列展开,得同型四阶行列式再24列加至首列,按首列展开,三阶行列式对角线法则展开易得.(二)从末列起,每列加至前列,所得行列式从首列起,每列(-a)加至后列,即得下三角形行列式.例例13 第28页/共40页(1)n1(n1)(97(97考研数考研数四四 )ab 型行列式型行列式例例14 第29页/共40页 (99(99考研数二考研数二)2 24 4列减

8、首列，再列减首列，再2 2列加至列加至4 4列：列：根的个数为（根的个数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4B例例15 15 方程方程第30页/共40页28(01(01考研数考研数四四 )若题为若题为“代数余子式之和代数余子式之和”,则为则为0 0，因为第，因为第2 2行全为行全为2;2;本本题题“余子式之和余子式之和”可直接计算可直接计算,因为含因为含0 0较多较多.若若0 0不多，技巧：不多，技巧：，第四行各元素余子式之和的值为，第四行各元素余子式之和的值为 M41+M42+M43+M44A41+A42A43+A44例例16 设设第31页/共40页(96(96考研数考研数一、二一、

9、二 )前例!用定义.可按2、3两行展开.四阶行列式四阶行列式 的值等于（的值等于（）D(A)a1a2a3a4b1b2b3b4(B)a1a2a3a4+b1b2b3b4(D)(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)(C)(a1a2b1b2)(a3a4b3b4)例例1717第32页/共40页作业作业:P32-33 习题习题1.4 1,2,3第33页/共40页备用题备用题1.1.计算行列式计算行列式 分析分析 n+2阶的三对角行列式.其非0元特点!化下三角形：第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列的-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至将新的第n+1列-(a+nb)倍加到

10、第n+2列。第34页/共40页解:第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至新第n1列-(a+nb)倍加到第n2列,得:a(a+b)(a+2b)a+(n+1)b第35页/共40页备用题备用题2 2 计算行列式计算行列式 解解(一一)分析分析第1列加到第2列,新的第2列加到第3列,直至新的第n列加到第n1列第36页/共40页解解(二二)另一思路：尽管每行元素之和不全相同，但若将第2至末列加至首列，则首列除末元素外全为0，按首列展开得下三角形行列式。第37页/共40页方法索引方法索引-数学归纳法数学归纳法 数学归纳法是数学上证明与自然

11、数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。数学归纳法有两种基本形式：第一数学归纳法：一般地，证明某个与自然数有关的命题 ，如果满足下面两个条件，就对一切自然数成立：（1）命题 成立；（2）假设当 时命题成立，蕴含 时命题也成立。第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题，（1）验证 时 成立；（2）假设 时 成立，并推出 成立。综合（1）（2）对一切自然数 ，命题 都成立。除此以外还有倒推归纳法（反向归纳法），螺旋式归纳法，跷跷板归纳法等。（参见华罗庚数学归纳法科学出版社2002）第38页/共40页 线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言 David.C.LayDavid.C.Lay第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页