第不定积分的概念和性质.pptx

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1、一、不定积分的概念定义3.1.设f(x)在区间 I 上有定义,若存在函数 F(x),使得任一 xI，都有则称 F(x)为f(x)在区间 I 上的一个原函数.1.原函数称一个原函数;例:称一个原函数.在区间I=(-,+)内，在区间I=(0,+)内第1页/共45页研究原函数必须解决的两个重要问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出?定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数第2页/共45页定理 2.原函数都可表示为(C 为任意常数).证:1)又知故即第3页/共45页2.不定积分在区间 I 上的全体原函数称为上的不定积分

2、,其中 积分号;被积函数;被积表达式.积分变量;C 积分常数 不可丢!例如,记作定义.第4页/共45页例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为设此曲线方程为 求此曲线的方程.第5页/共45页3.不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的积分曲线族.的积分曲线.第6页/共45页如例1中,设曲线通过点(1,2),且曲线的切线斜率2x,求此曲线的方程.分析:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为曲线方程 积分曲线族一条积分曲线1第7页/共45页二、不定积分的性质2.证明：证明：证明：第8页/共45页推论：注：当

3、k=0时，第9页/共45页基本积分表(P61)利用逆向思维(k 为常数)积分运算和微分运算是互逆的，可以根据求导公式得出积分公式.第10页/共45页或或第11页/共45页例2.求解:原式 =第12页/共45页例3.求解:原式=第13页/共45页例4.求解:原式=第14页/共45页例5.求解:原式=第15页/共45页例6.求解:原式=第16页/共45页例7.求解:原式=例8.求解:原式=第17页/共45页例9.求解:原式=第18页/共45页问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令三、换元积分法1.第一类换元法第19页/共45页三、换元积分法设可导,则有基本思路第20页/共45页1.第一类换

4、元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)注“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择是凑微分的关键.观察重点不同，所得结论不同.第21页/共45页例0 求解（一）解（二）解（三）同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.注第22页/共45页例 求解对第一换元积分法熟练后,可以不再写出中间变量.一般地第23页/共45页例1.求解:令则故原式=注意换回原变量原式=熟悉后，可直接凑微分第24页/共45页例2.求解:原式=第25页/共45页例3.求解:类似第26页/共45页内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义

5、 不定积分的几何意义 基本积分表(见P61)3.直接积分法:利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质2.不定积分的性质第27页/共45页常见的凑微分类型有第28页/共45页第29页/共45页作业练习题3.1（P69）1，2，3（1）（2）（4）第30页/共45页思考与练习1.证明 2.若提示:第31页/共45页3.若是的原函数,则提示:已知第32页/共45页4.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B?或由题意其原函数为第33页/共45页5.求下列积分:提示:第34页/共45页6.求不定积分解：第35页/共45页7.已知

6、求 A,B.解:等式两边对 x 求导,得第36页/共45页牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家，物理学家,天文学家和自然科学家。他在数学上的卓越贡献是创立了微积分。1665年他提出正流数(微分)术，次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版)。他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等。第37页/共45页 Newton受巴罗的“巴罗微分三角形”启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。Newton从1665年到1695年，对微积分的创造性成果为：1665，“正流数术”微分学；1666，“反流数术”积分学；1666，“流数简论”标志微积分的诞生；

7、1669，“分析学”由此后人称以微积分为主要内容的学科为数学分析1671，“流数法”1687，“自然哲学的数学原理”简称“原理”1691，“求积术”牛顿的微积分贡献第38页/共45页莱布尼兹(1646 1716)德国数学家,哲学家.和牛顿同为微积分的创始人,他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.第39页/共45页莱布尼兹的主要成果 1675年给出积分号“”，同年引入微分号“d”1676年给出公式，1677年，表述微积分基本定理：1684年，“求极大与极小值和求切线的

8、新方法”1686年，“深奥的几何与不可分量的无限的分析”第40页/共45页毕达哥拉斯与第一次数学危机据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早证明了勾股定理。据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理为“毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘色彩的称号“百牛定理”。“万物皆数”毕达哥拉斯学派的基本信条：l他们认为“万物都可归结为整数或整数之比（分数）”l他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”l他们认为：世界上只有整数和分数，除此以外，就不再有别的数了。第41页/共45页毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在数学上的这一最重要的发现，却把自己

9、推向了两难的尴尬境地。他的一个学生希帕索斯，他勤奋好学，富于钻研，在运用勾股定理进行几何计算的过程中发现：“当正方形的边长为1时，它的对角线的长不是一个整数，也不是一个分数，而是一个新的数。”这个数就是我们现在熟知的无理数第42页/共45页最后取 ，就得函数的导数为 。贝克莱悖论与第二次数学危机 在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完善因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一十分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量,莱布尼茨的也不能自圆其说。例如，牛顿当时是这样求函数的导数的：第43页/共45页贝克莱悖论与第二次数学危机约翰伯努利CauchyWeierstrass欧拉(瑞士,1694年医学博士、数学教授、英国皇家学会会员18世纪初分析学的重要奠基者之一,欧拉(瑞,1707-1783)的老师第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页