第二型曲线积分.pptx

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1、第二型曲线积分与曲面积分 两型线面积分的三点根本差异：作为用积分来研究的整体量的物理背景 不同，二型线面积分涉及场论；并总取非负值；第一型线面积分的 不考虑方向，曲线要定向,曲面要定侧,且微元是向量第二型线面积分则不同，第1页/共23页被积函数：第一型积分为数量值函数的积分 第二型为向量值函数(不排除有的分量为零)：一、第二型曲线积分1.物理背景与概念典型问题“力场沿曲线 C 的作功问题”.第2页/共23页设场力(向量值函数)：l 分四步解：细分求场力 沿曲线 C从 A到B所作的功。第3页/共23页 近似代替 求和 (得总功近似值)取极限令 (得总功精确值)第4页/共23页l 二型线积分概念的

2、一般表示 w 有向线段 C分段光滑并可求长，上有定义；w 第二型曲线积分是对坐标的线积分；w 被积表达式是两向量的点积，可以有一个或两个分量为零，如在 C第5页/共23页都是第二型曲线积分。2.第二型曲线积分性质第6页/共23页 设 A,B,P 为曲线 C 上任意三点，则 对于二型环路积分 第7页/共23页3.第二型曲线积分的计算法l第二型曲线积分的基本计算法也是通过设曲线 C 已给定方向，其参数方程为则二型线积分有计算式转化为定积分进行计算的。参数 t：(对应始点)(对应终点).第8页/共23页 计算式中可能只出现一、二项，但仍是二型线积分，不是定积分；C定向第9页/共23页 对应始终点的上

3、下限,并非一定是 曲线 C 若给其它形式的方程，只要全力 找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。例1 计算其中 C为螺旋线上对应 至 的有向弧段。第10页/共23页解例2 计算 其中(1)C 为折线段第11页/共23页解(2)沿 x 轴由(1)对折线:于是，yA(1,1)应该分段考虑，第12页/共23页(2)沿 x 轴由yA(1,1)BAAO第13页/共23页解(1)(2)从 A(1,0)沿 折线 到(1)从 A(1,0)沿上半单位圆至 例3 计算 其中L为第14页/共23页解(2)=0=0 此积分沿两条不同路径的积分值相同。第15页/共23页例4 计算沿有向闭路 的线积分：解方向如图。第

4、16页/共23页 此例环路积分为零,但各分段路径的积分不为零。第17页/共23页例5 计算 其中 C 为 解圆周:方向沿逆时针(正向).第18页/共23页4.两类线积分的联系二型环路(闭路)上的线积分有时为零(例4),有时不为零。有什么规律吗？积分路径有关.当始、终点一样时,沿不同沿不同路径的线积分值有的相同(例3),有的不同(例2)。设曲线C：二型曲线积分不仅与始、终点有关,还与 第19页/共23页其方向余弦 因此两型线积分有以下关系：其上点点切向量：则因第20页/共23页例6计算其中L为椭圆：方向是：站在 x 轴正向看为逆时针方向。解1(基本算法)椭圆L的参数方程为：第21页/共23页解2（还可以用 Stokes 公式计算，后面讲！）第22页/共23页23感谢您的观看！第23页/共23页