第四章根轨迹法.pptx

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1、引言引言1.什么是线性系统的根轨迹？什么是线性系统的根轨迹？所所谓谓根根轨轨迹迹，是是指指当当开开环环系系统统的的某某个个参参数数（如如开开环环增增益益K）由由零零连连续续变变化化到到无无穷穷大大时时，闭闭环环特特征征根根（闭闭环环极极点点）在在复复平平面面上上形形成成的的若干条若干条曲线。曲线。第1页/共60页2.研究线性系统根轨迹的原因研究线性系统根轨迹的原因 一一个个控控制制系系统统的的全全部部性性质质都都取取决决于于其其闭闭环环传传递递函函数数：稳稳定定性性由由闭闭环环极极点点唯唯一一地地确确定定；动动态态特特性性由由闭环极点、闭环零点闭环极点、闭环零点共同决定共同决定。p因因此此，在

2、在分分析析研研究究控控制制系系统统的的性性能能时时，确确定定闭闭环环极极点点、闭闭环环零零点点在在复复平平面面上上的的位位置置就就显显得得特特别重要。别重要。第2页/共60页闭闭环环零零点点与与开开环环零零、极极点点有有关关，闭闭环环和和开开环环比比例例系系数数之之间间也也有有简简单单的的关关系系，都都不不难难确确定定。唯唯有闭环极点的确定比较麻烦。有闭环极点的确定比较麻烦。欲欲知知闭闭环环极极点点在在复复平平面面上上的的位位置置，就就要要求求解解系系统统特特征征方方程程，当当特特征征方方程程阶阶次次较较高高时时，计计算算相相当麻烦。当麻烦。研研究究系系统统参参数数变变化化对对闭闭环环极极点点

3、位位置置的的影影响响，对对分析、设计控制系统是很有意义的。分析、设计控制系统是很有意义的。第3页/共60页3.根轨迹法根轨迹法一一种种求求取取闭闭环环系系统统的的特特征征根根的的图图解解法法（1948年年，由由W.R.Evans在在“控控制制系系统的图解分析统的图解分析”一文中提出）。一文中提出）。已已知知开开环环零零极极点点分分布布，研研究究一一个个或或几几个个参参数数变变化化对对闭闭环环极极点点位位置置的的影影响响，从从而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用以前控制系统根轨迹

4、绘制很麻烦，现在使用MATLAB非常方便。非常方便。第4页/共60页4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 1、根轨迹的基本概念、根轨迹的基本概念图 4-1 控制系统框图第5页/共60页(1)将图将图4-1所示系统的开环传递函数转化为所示系统的开环传递函数转化为 上式便是绘制根轨迹所用的上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式开环传递函数的标准形式零极点增益形式零极点增益形式。(2)将两个将两个开环极点开环极点p1=0和和p2=-2绘于绘于复平面复平面上，并用上，并用“”表示。表示。(3)求出求出闭环系统的特征方程和闭环极点闭环系统的特征方程和闭环极点 第6页/共60页(4).(4).

5、闭闭环环系系统统极极点点与与标标准准化化参参数数之之间间的的关关系系可可由由图图4-24-2表示表示 图 4-2 二阶系统根轨迹第7页/共60页p从图中可以看出从图中可以看出当当k=0时，时，p1、p2与与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合重合，即开环极点和闭环极点重合;当当0kT。试大致绘出其根轨迹。试大致绘出其根轨迹。第22页/共60页第23页/共60页根轨迹图第24页/共60页规则四规则四 根轨迹的根轨迹的渐近线渐近线 如如果果开开环环零零点点的的数数目目m小小于于开开环环极极点点数数n，即即n m，则则有有(n m)条条根根轨轨迹迹沿沿着渐近线终止于无穷远处。渐近线的方位可由下面

6、的方程决定着渐近线终止于无穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定 渐近线与实轴的交点坐标渐近线与实轴的交点坐标 渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角 第25页/共60页当当k=0时，对应与实轴有时，对应与实轴有最小夹角最小夹角的渐近线。的渐近线。尽尽管管这这里里假假定定k可可以以取取无无限限大大，但但随随着着k值值的的增增加加，渐渐近近线线与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角会会重重复出现，并且复出现，并且独立的渐近线只有独立的渐近线只有(n-m)条条。例例4-2 已知一四阶系统的特征方程为已知一四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹。试大致绘制其根轨迹。第26页/共60页第27

7、页/共60页根轨迹图第28页/共60页规则五规则五 根轨迹的根轨迹的分离点和会合点分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生于共轭复数对中。一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生于共轭复数对中。如如果果实实轴轴上上相相邻邻两两极极点点（或或两两零零点点）之之间间的的线线段段属属于于根根轨轨迹迹，则则它它们们之之间间必必存存在分离点（或会合点）。在分离点（或会合点）。分离点是特征方程的重根，因此有分离点是特征方程的重根，因此有 第29页/共60页注意注意：

8、利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否则应当舍去。检验的方法是分离点所对应的否则应当舍去。检验的方法是分离点所对应的增益增益K必须大于零！必须大于零！实轴上分离点的分离角恒为实轴上分离点的分离角恒为 90度。度。或第30页/共60页例例4-3 对对于于例例4-2给给出出的的四四阶阶系系统统，试试确确定定其其分分离离点坐标。点坐标。第31页/共60页规则六规则六 根轨迹根轨迹与虚轴的交点与虚轴的交点根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴相相交交，说说明明控控制制系系统统有有位位于于虚虚轴轴上上的的闭闭环环极极点点，即即特特征征方方程程含含有有纯虚数的根。将纯虚数的根

9、。将s=j代入特征方程，则有代入特征方程，则有解解上上式式，就就可可以以求求得得根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点坐坐标标，以以及及此此交交点点相相对对应应的的临临界界参参数数Kc 第32页/共60页例例4-4 求例求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。第33页/共60页规则七 根轨迹的入射角和出射角所谓根轨迹的出射角（或入射角）指的是根轨迹离开开环复数极点处（或进入开环复数零点处）的切线方向与实轴正方向的夹角，图4-5中的 为出射角，为入射角。图 4-5 根轨迹出射角和入射角第34页/共60页由由于于根根轨轨迹迹的的对对称称性性，对对应应于于同同

10、一一对对极极点点（或或零零点点）的的出出射射角角（或或入入射射角角）互互为为相相反数。即有反数。即有 根轨迹从复数极点根轨迹从复数极点pr出发的出射角为出发的出射角为 根轨迹到达复数零点根轨迹到达复数零点zr的入射角为的入射角为第35页/共60页第36页/共60页第37页/共60页4.3 广义根轨迹广义根轨迹参数根轨迹参数根轨迹附加开环极点和零点的作用附加开环极点和零点的作用零度根轨迹零度根轨迹第38页/共60页一、参数根轨迹一、参数根轨迹以以非开环增益非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。为可变参数绘制的根轨迹。绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹的的法法则则与与绘绘制制常常规规根根轨轨迹迹的法则完全相

11、同。的法则完全相同。第39页/共60页绘制参数根轨迹的方法绘制参数根轨迹的方法写写 出出 系系 统统 的的 闭闭 环环 特特 征征 方方 程程：1+G(s)H(s)=0;变变换换该该方方程程为为：1+G1(s)=0;其其中中G1(s)称称为为等效开环传递函数等效开环传递函数；按按照照常常规规根根轨轨迹迹法法则则，再再绘绘制制以以K*为为参参变变量的根轨迹。量的根轨迹。第40页/共60页例例：对于开环传函为：对于开环传函为的负反馈系统，试绘制其以的负反馈系统，试绘制其以Ks为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。写出系统的闭环特征方程写出系统的闭环特征方程变形得变形得（关键一步）（关键一步）等价开环

12、传函为（等价开环传函为（=10）第41页/共60页第42页/共60页二、附加开环极点和零点的作用第43页/共60页第44页/共60页增加一个零点的情况右移零点第45页/共60页结论结论增加开环零点可使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性及动态性能；增加开环零点可使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性及动态性能；零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著；零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著；增加开环极点一般使根轨迹右移，不利于系统稳定性和动态特性。增加开环极点一般使根轨迹右移，不利于系统稳定性和动态特性。第46页/共60页三、零度根轨迹（正反馈系统）三、零度根轨迹（正反馈系统）如果系统的特征方程的形式如果系统的

13、特征方程的形式如果系统的特征方程的形式如果系统的特征方程的形式 为为为为1-1-G G(s s)HH(s s)=0)=0,其根轨迹叫其根轨迹叫其根轨迹叫其根轨迹叫零度根轨迹零度根轨迹零度根轨迹零度根轨迹。此时因为其幅值和相角遵循条件：此时因为其幅值和相角遵循条件：此时因为其幅值和相角遵循条件：此时因为其幅值和相角遵循条件：第47页/共60页4.4 Matlab绘制根轨迹绘制根轨迹在在MATLAB中提供了绘制系统根轨迹的中提供了绘制系统根轨迹的rlocus()函数。函数。已知系统开环传递函数的形式，利用此函数可以方便地绘制出系统的根轨迹已知系统开环传递函数的形式，利用此函数可以方便地绘制出系统的

14、根轨迹 第48页/共60页例例4-5 设一单位负反馈系统的开环传递函数如下设一单位负反馈系统的开环传递函数如下 试绘制该系统的根轨迹。试绘制该系统的根轨迹。第49页/共60页解解 使用使用MATLAB绘制此根轨迹的程序如下绘制此根轨迹的程序如下%ex_4-5 num=1 1;den=conv(1 0,conv(1 2,1 3);G=tf(num,den);rlocus(G)title();xlabel(Re);ylabel(Im);程序运行结果如图程序运行结果如图4-6所示。所示。第50页/共60页图 4-6 例4-5的MATLAB仿真结果第51页/共60页例例4-6 设单位负反馈控制系统的开

15、环传递函数为设单位负反馈控制系统的开环传递函数为 试画出系统的根轨迹图。试画出系统的根轨迹图。第52页/共60页解解 用用MATLAB绘制此系统根轨迹的程序如下绘制此系统根轨迹的程序如下%ex_4-6 num=1 2 4;den=conv(1 0,conv(1 4,conv(1 6,1 1.4 1);G=tf(num,den);rlocus(G)title();xlabel(Re);ylabel(Im);程序运行结果如图程序运行结果如图4-7所示。所示。第53页/共60页可可见见随随着着参参数数K的的增增加加，系系统统根根轨轨迹迹穿穿过过虚虚轴轴进进入复平面右半平面，系统不稳定入复平面右半平面

16、，系统不稳定。图 4-7 例4-6根轨迹图第54页/共60页本章总结本章总结本章主要内容：本章主要内容：根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则广义根轨迹广义根轨迹 Matlab绘制根轨迹绘制根轨迹第55页/共60页知识点：知识点：开环传递函数与闭环传递函数的关系开环传递函数与闭环传递函数的关系根轨迹绘制的幅值和相位条件根轨迹绘制的幅值和相位条件根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的影响影响rlocus()函数的使用函数的使用第56页/共60页4-1,4-2（第四章完）Homework-Chapter4第57页/共60页思考题习题解析 p84 4-2习题解析 p89 4-5习题解析 p91 4-6习题解析 p98 4-11第58页/共60页THANK YOU第59页/共60页感谢您的观看！第60页/共60页