第四章连续时间傅里叶变换.pptx

《第四章连续时间傅里叶变换.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章连续时间傅里叶变换.pptx（57页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，本章要解决的问题有两个：4.0 4.0 引引 言言1.1.对非周期信号应该如何进行分解？2.2.什么是非周期信号的频谱表示？第1页/共57页2 4.1 4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换本节主要内容非周期信号傅里叶变换公式推导傅里叶变换的收敛条件常见信号的傅里叶变换第2页/共57页3 包络的谱线间隔 ，被采样的间隔越来越小。一一.从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 ab(a)(b)00当 周期矩形脉冲:频谱系数为：4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第3页/共57页4 周期趋近于无穷大时

2、，即 时，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲，此时傅里叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里叶系数更加趋近于包络函数。非周期信号傅里叶表示的基本思想：把非周期信号当作一个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里叶表示式的极限特性。4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第4页/共57页5它在 时可以是有限的。周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号，即:周期性矩形脉冲信号；:等于一个周期内的 ，具有有限持续期。考查 的变化:令由4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第5页/共57页6得即表明：表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络；而非周期信号的频

3、谱是周期信号频谱的包络；2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号 频谱的等间隔样本，并与之成正比。频谱的等间隔样本，并与之成正比。周期延拓后周期信号的频谱系数非周期信号的傅立叶变换4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示 具有频谱随频率分布的物理含义，因而称其为频谱密度函数。第6页/共57页7根据周期信号的傅立叶系数表示：当时，于是傅里叶逆变换傅里叶逆变换此时4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示 上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的、振幅为分布的、振幅为 的复指数信号之和。的复指数

4、信号之和。第7页/共57页8 和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应的两组条件：表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。1.1.平方可积条件平方可积条件二二.傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛 若，则 存在4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示傅立叶变换对公式：第8页/共57页9b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且 极值有限。c.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存在，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本身,在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生GibbsGibbs现像。2.2.DirichletDirichlet 条件条件a.

5、绝对可积条件：注意：这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两组条件并不等价。4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第9页/共57页10三、三、常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换：例1 1.010解:4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第10页/共57页11例2.2.结论结论:实偶信号实偶信号的傅立叶变换是的傅立叶变换是实偶函数实偶函数,如图如图示信号的频谱。示信号的频谱。104.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第11页/共57页12例3.3.这表明 中包括了所有的频率成分,所有频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统特性，才在信号与系统分析中

6、具有如此重要的意义。0014.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第12页/共57页13例4.4.求矩形脉冲的傅里叶变换:将 中的 代之以 再乘以 ,即是相应周期信号的频谱。10100脉宽变宽时4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第13页/共57页14例5.理想低通滤波器1004.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第14页/共57页154.1 非非周周期期信信号号的的表表示示结论：信号在时域和频域之间有相反关系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。对偶情况如下图所示:第15页/共57页16分析：分析：1 1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求；）不满足收敛条件，不能由傅

7、立叶变换公式求；2 2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域 可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号；可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号；3 3）用频域的一个冲激信号）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。，求对应时域信号。可以想象，如果 ，将趋向于一个冲激；反之时域无限长时，频域可能是个冲激。例6 6：求 的傅立叶变换 。4.1 非非周周期期信信号号的的表表示示第16页/共57页174.24.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 周期信号不满足收敛条件,不能用4.1节非周期信号的傅立叶变换公式求其傅里叶变换。但是周期信号在时域的持续时

8、间是无限长的，那么其频域可能是一系列的冲激，而原点处的冲激对应的是常数（课件4.1节例6所示），所以这里观察频移的冲激 对应的时域信号。第17页/共57页18频移的冲激信号：傅立叶反变换得：表明：周期性复指数信号的频谱是一个冲激。即周期信号的傅立叶变换为：这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成,每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅立叶级数系数 。4.2周周期期信信号号的的傅傅立立叶叶变变换换第18页/共57页19例1 1：求周期信号解：的傅里叶变换。4.2周周期期信信号号的的傅傅立立叶叶变变换换例例2.2.解：例例2.2.例例2.2.第19页/共57页20例例3.3.4

9、.2周周期期信信号号的的傅傅立立叶叶变变换换第20页/共57页21例4.4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。4.2周周期期信信号号的的傅傅立立叶叶变变换换第21页/共57页22周期信号的傅立叶变换存在条件：周期信号的傅立叶变换存在条件：周期信号不满足无穷时间内的绝对可积条件；引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激。4.2周周期期信信号号的的傅傅立立叶叶变变换换第22页/共57页234.3 4.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论连续时间傅立叶变换的性质,揭示信号时域、频域特性间的关系,同时掌握和运用这些性质，

10、以简化傅立叶变换对的求取。一.线性如果则二.时移如果则表明：信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第23页/共57页24三.共轭对称性如果则证明：1.若是实信号，即得证。则两边同取共轭在上述结论的基础上，有如下推论：4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第24页/共57页25 用直角坐标表示实信号频谱实部偶函数虚部奇函数 用极坐标表示实信号频谱：则由由，傅里叶变换的实部和虚部分别为：得即相位是奇函数即模是偶函数4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第25页/共57页262.若信号是实偶函数，则

11、表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数对实信号结论：实偶信号的傅里叶 变换是实偶函数3.若信号是实奇函数，则其傅里叶变换有结论：实奇信号的傅里叶变换是纯虚的奇函数对偶函数4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第26页/共57页274.若实函数用奇、偶函数之和表示由傅里叶变换的线性：对偶函数部分：傅里叶变换是一个实数对奇函数部分：傅里叶变换是一个纯虚的奇函数且有且有4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第27页/共57页28例:求 的频谱。101/20-1/21/20(其中0)提示：符号函数sgn(t)可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:4.3 连连续续时时间间傅傅

12、立立叶叶变变换换性性质质解：第28页/共57页29解:实部的傅里叶变换为：由于虚部傅里叶变换为：信号的傅里叶变换为：4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第29页/共57页30四四.时域微分与积分时域微分与积分时域微分特性时域微分特性(提示：两边对 微分)例：例：已知由时域积分特性可得时域积分特性若则提示：4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第30页/共57页31五五.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换若则当 时,有 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其频域带宽相应压缩 a 倍，反之,信号在时域中压缩a倍，则其带宽相应扩展a 倍。其含义：信号的

13、波形在时域中压缩a倍，即信号随时间变化加快a倍，所以它包含的频率分量增加a倍，所以频谱展宽a倍。从理论上证明了时域与频域的相反关系。4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第31页/共57页32时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第32页/共57页33六.对偶性若则证明4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第33页/共57页344.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第34页/共57页35由对偶关系，可以方便地将时域的某些特征对偶到频域。例如：从时移到移频。由对偶性质右边时移得再次对偶得由反转性质

14、这就是移频特性。4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第35页/共57页36七七.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理若则表明：信号能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。4.3 连连续续时时间间傅傅立立叶叶变变换换性性质质第36页/共57页37 4.4 4.4 卷积性质卷积性质证明：设一一.卷积性质卷积性质则得证第37页/共57页38 可以看出，频率响应控制着在每一个频率 上，输入傅里叶变换复振幅的变化。例如频率选择性滤波器，在一定的频率范围内，从而通带内的各频率分量通过系统后，其分量不被衰减或变换；在阻带使 ,以消除该频率范围内分

15、量。由卷积性质，4.4 卷卷积积性性质质第38页/共57页39 用傅里叶分析法研究LTI系统时，一般仅限于稳定系统，因为稳定系统的频率响应 才存在。二二.系统互联时的频率响应系统互联时的频率响应:1.级联对不稳定系统的研究，在9章用拉普拉斯变换法讨论。4.4 卷卷积积性性质质2.并联:+第39页/共57页40三三.LTI.LTI系统的频域分析法系统的频域分析法:4.4 卷卷积积性性质质已知任意两个，可求第三个量，然后反变换求其时域表达。例例1515.已知LTI系统的单位冲激响应为 求已 知输入为 时系统的响应 。解：解：例例1616.已知微分系统 ，求系统频率响应解：解：由微分性质第40页/共

16、57页41例例1717.已知积分系统 ，求系统频率响应。4.4 卷卷积积性性质质解：解：由积分性质例例1919.已知输入 和单位冲激响应 求输出。解解:例例4.184.18参看书参看书P225P225第41页/共57页42卷积性质：时域卷积-频域相乘利用对偶性：利用对偶性：时域相乘时域相乘-频域卷积频域卷积 4.5 4.5 相乘性质相乘性质:(:(调制性质调制性质)相乘性质相乘性质幅度调制：幅度调制：两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号 控制另一个信号的幅度。其中一个信号为载波载波，另一个是调制信号调制信号（有用信号）。第42页/共57页43证明：已知根据对偶性由卷积性质得再次由对偶性相乘

17、性质得证。4.5 相相乘乘性性质质:(调调制制性性质质)两边同除以 ，并由反转性质可得第43页/共57页44例例1.1.复指数调制复指数调制例例2.2.正弦幅度调制，正弦幅度调制，其中解：正弦幅度调制，等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。求调制后信号 的频谱。由4.5 相相乘乘性性质质:(调调制制性性质质)第44页/共57页45例例3.3.同步解调。从上例 中恢复出原信号 。频域滤波解：已知这里用正弦信号再次调制：4.5 相相乘乘性性质质:(调调制制性性质质)第45页/共57页46其中 用一个频率特性为 的系统，即可从 恢复出原信号。4.5 相相乘乘性性质质:(调调制制性性质质)第46

18、页/共57页47例例4.4.中心频率可变的带通滤波器。理想低通滤波器4.5 相相乘乘性性质质:(调调制制性性质质)第47页/共57页48 相当于直接用一个带通滤波器，从 中滤出的频率。表明整个系统相当于一个中心频率为 的带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。等效带通滤波器等效带通滤波器4.5 相相乘乘性性质质:(调调制制性性质质)4.6 4.6 傅立叶变换性质与傅立叶变换对列表傅立叶变换性质与傅立叶变换对列表 (P234)(P234)第48页/共57页49第49页/共57页50第50页/共57页51 4.7 4.7 由线性常系数微分方程表征的系由线性常系数微分方程表征的系统统线性常系数微分方

19、程描述的LTI系统：如何从上述微分方程，求出该系统的频率响应？稳定系统的频率响应：第51页/共57页52第一种方法：用特征函数的特殊性质第一种方法：用特征函数的特殊性质第二种：傅立叶变换的卷积、微分等性质第二种：傅立叶变换的卷积、微分等性质 代入线性常系数微分方程，可将微分方程化为代数方程，然后求出4.7 由由线线性性常常系系数数微微分分方方程程表表征征的的系系统统第52页/共57页53由傅里叶变换的微分性质，可得4.7 由由线线性性常常系系数数微微分分方方程程表表征征的的系系统统注意：对有理函数求傅立叶反变换，通常采用部分分式展开注意：对有理函数求傅立叶反变换，通常采用部分分式展开和利用常用

20、变换对进行。和利用常用变换对进行。第53页/共57页54讨论：对微分方程所描述的系统，求频率响应、输入、输讨论：对微分方程所描述的系统，求频率响应、输入、输出，都可以用傅立叶变换的分析方法。出，都可以用傅立叶变换的分析方法。例例4.25 4.264.25 4.26例：例：求微分方程的单位冲激响应。所描述系统解：解：4.7 由由线线性性常常系系数数微微分分方方程程表表征征的的系系统统第54页/共57页554.8 4.8 小结小结 SummarySummary傅立叶变换公式推导及含义；傅立叶变换的性质，揭示信号时域与频域关系；对LTI系统建立了频域分析方法，对由LCCDE描 述的LTI系统进行求解。第55页/共57页56本本 章章 作作 业业第一节：4.1 4.2 4.4a 4.54.1 4.2 4.4a 4.5第二节：4.3b4.3b第3 36 6节：4.64.6 4.8 4.10 4.8 4.10 4.124.12第七节：4.18 4.19 4.18 4.19 第56页/共57页57感谢您的观看！第57页/共57页