线段的垂直平分线的性质与判定.pptx

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1、问题导入问题导入1.线段是轴对称图形吗？2.线段的垂直平分线是它的对称轴吗？3.线段的垂直平分线有什么性质呢？是是是是第1页/共26页（一）线段的垂直平分线的性质（一）线段的垂直平分线的性质 如图，直线如图，直线 l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是 l 上的点，分别量一量点上的点，分别量一量点P1，P2，P3，到点到点A与点与点B的的距离，你有什么发现？距离，你有什么发现？小结：小结：线段垂直平分线上的点与线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等这条线段两个端点的距离相等.探究新知第2页/共26页线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这

2、条线段两个端点的距离相等相等.思考：思考：上述问题用数学语言可以如何表示？上述问题用数学语言可以如何表示？如右图，设直线如右图，设直线MN是线段是线段AB的的垂直平分线，点垂直平分线，点C是垂足，点是垂足，点P是直线是直线MN上任意一点，连接上任意一点，连接PA，PB，我们，我们要证明的是要证明的是PA=PB.如何证明呢？探究新知第3页/共26页写出已知，求证.思路分析：思路分析：图中有两个直角三角形，图中有两个直角三角形，APC和和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可得只要证明这两个三角形全等，便可得PA=PB.已知：已知：MN AB，垂足为点，垂足为点C，AC=BC，点，点P是直线是直线

3、MN上任意一点上任意一点.求证：求证：PA=PB.探究新知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等相等.第4页/共26页已知：已知：MN AB，垂足为点，垂足为点C，AC=BC，点，点P是直线是直线MN上任意一点上任意一点.求证：求证：PA=PB.证明：在证明：在APC和和BPC中，中，PCPC（公共边）（公共边）PCB=PCA（垂直定义）（垂直定义）ACBC（已知）（已知）APC BPC (SAS)PAPB(全等三角形对应边相等）全等三角形对应边相等）探究新知第5页/共26页线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与

4、这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等相等.几何语言：几何语言：PC AB且且AC=BC PA=PB 思考：你能写出该命题的逆命题吗？它是真命题吗？探究新知第6页/共26页（二）线段的垂直平分线的判定（二）线段的垂直平分线的判定 逆命题：逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距离相等，如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上那么这个点在这条线段的垂直平分线上.探究新知线段的垂直平分线的性质这一命题条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.第7页/共26页 逆命题：逆命题：如果有一个点

5、与线段两个端点的距离相等，如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上那么这个点在这条线段的垂直平分线上.真命题？假命题?已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.画出图形画出图形,写出已写出已知，求证知，求证.探究新知（二）线段的垂直平分线的判定（二）线段的垂直平分线的判定第8页/共26页已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证法一证法一过点过点P作已知线段作

6、已知线段AB的垂线的垂线PC.C在在RtPAC和和RtPBC中中PA=PBPC=PCRtPAC RtPBC（HL）AC=BC即P点在AB的垂直平分线上.探究新知第9页/共26页证法二证法二取取AB的中点的中点C，过过PC作直线作直线.在在APC和和BPC中中APCBPC（SSS）PCA=PCB(全等三角形对应角相等）P点在AB的垂直平分线上.PA=PBPC=PCPA=PBAC=BCPCA+PCB=180PCA=PCB=90PCABC已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.第10页/共26页已

7、知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是内一点，且是内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证法三证法三过过P作作APB的平分线的平分线.在在APC和和BPC中中APCBPC（SAS）AC=BC,PCA=PCB (全等三角形对应边相等，对应角相等）P点在AB的垂直平分线上.PA=PBPC=PCPA=PB1=2又PCA+PCB=180C12PCA=PCB=90第11页/共26页已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证法四证法四过过P作线段作线段AB的

8、垂直平分线的垂直平分线PC.P点在AB的垂直平分线上.AC=CBC1 12 2PCA=PCB=90这种证法正确吗？第12页/共26页已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.分析：如图（1），PD AB，D是垂足，但D不平分AB；如图（2），PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的.探究新知第13页/共26页线段的垂直平分线的判定线段的垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂与线段两个端点距离相

9、等的点在这条线段的垂直平分线上直平分线上.P点在AB的垂直平分线上.PA=PB几何语言几何语言:探究新知第14页/共26页 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，学习了线段的垂直平分线的性质和判定，你能用尺规作图的方法作 出已知线段的垂直平分线吗？要作线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定，只需找到两个与线段两个端点距离相等的点，就能确定已知线段的垂直平分线.第15页/共26页写出已知，求作.例例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C（如下图）（如下图）.求作：求作：AB的垂线，使它经过点的

10、垂线，使它经过点C.探究新知第16页/共26页已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C.求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.作法演示：（超链接）第17页/共26页证明：证明：CD=CE，DF=EFC，F都在都在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 （线段垂直平分线的判定）（线段垂直平分线的判定）CF就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线 （两点确定一条直线）（两点确定一条直线）思考:为什么直线CF 就是所求作的垂线？思考：我们除了用刻度尺找线段的中点外，还有其他的方法吗？探究新知第18页/共26页解：ABACCE ADBC，BD=DC AB=AC（垂直平分线的性质）

11、（垂直平分线的性质）点点C在在AE的垂直平分线上的垂直平分线上AC=CE（垂直平分线的性质）（垂直平分线的性质）AB=AC=CE（等量代换）（等量代换）理由如下：教材P62练习：1.如图，ADBC，BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系?ABBD与DE有什么关系？第19页/共26页解：AB+BDDE AB=CE（已证）BD=DC（已知）AB+BD=CE+DC（等式的性质1）AB+BD=DE理由如下：1.如图，ADBC，BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系?ABBD与DE有什么关系？第20页/共26页解：AM是线段BC的垂直平分线

12、.理由如下理由如下:ABAC（已知）（已知）点点A在线段在线段BC的垂直平分线上（的垂直平分线上（垂直平分线的判定垂直平分线的判定）同理可得：同理可得：点点M在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线AM是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线（两点确定一条直线两点确定一条直线）2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？第21页/共26页第22页/共26页1.线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质.2.线段的垂直平分线的判定线段的垂直平分线的判定.3.用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.第23页/共26页2023年2月17日【课后作业课后作业】完成完成学法大视野学法大视野【预习】课本P62P63画对称轴必做题必做题:教材教材 P65 习题习题13.1 第第6、9题题选做题选做题:教材教材 P66 习题习题13.1 第第13题题第24页/共26页命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远掌握在自己手中.第25页/共26页感谢您的观看！第26页/共26页