2023届高三数学小题专练——正弦定理和余弦定理4（含解析）.docx

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1、一、单选题1在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（）ABCD2在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（）A的外接圆面积是；B；C可能等于14；D作关于的对称点，则的最大值是.3在中，点在边上，且，设，则当取最大值时，（）ABCD4已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，则的最小值为（）AB2CD5在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（）ABCD6已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（）ABCD7锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是

2、（）A(）B(）C)D，1)8在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（）ABCD9若是外接圆圆心，是的内角，若，则实数的值为（）ABCD10已知中，D是边BC上一点，.则（）ABCD11已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（）A3BCD12已知双曲线，其左右焦点分别为，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），若，则的内切圆的半径为（）ABCD13在中，角、所对的边分别为，的面积为，则（）ABC的最大值为D的最大值114已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足.现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则（）A

3、BCD15如图所示，在直三棱柱中，P是上的一动点，则的最小值为（）ABCD316已知双曲线的左右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，则双曲线的离心率为（）ABCD17在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，则的面积为ABCD18设锐角的三个内角.的对边分别为.，且，则周长的取值范围为（）ABCD19在锐角中，若，且，则的取值范围是（）ABCD20已知非等腰的内角，的对边分别是，且，若为最大边，则的取值范围是（）ABCD二、填空题21拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三

4、角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得ABAC的最大值为_22已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c角B为钝角设ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是_23在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则的面积为_24已知四边形是边长为3的菱形，把沿折起，使得点D到达点P，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为_25我校高一同学发现：若是内的一点，、的面积分别为、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、的对边分别

5、为、，且，若，则的最大值为_.26已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线交双曲线于另一点（，在的两侧）.若，且，则双曲线的渐近线方程为_.27赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出_.28已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，则C的离心率为_.29(1)若数列的通

6、项公式为，则该数列中的最小项的值为_(2)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于_(3)如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则以此规律为_ (4)的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，且，有下列结论：；，时，的面积为；当时，为钝角三角形其中正确的是_填写所有正确结论的编号30已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则_试卷第5页，共6页参考答案：1D【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表

7、达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可【详解】解：ABC中，由，得，；即， ，ABC为锐角三角形，,，,， 故选：D2D【分析】对A：利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解【详解】解：对A：，由正弦定理可得，即的外接圆半径，的外接圆面积是，故选项正确；对B：由余弦定理可得，故选项正确；对C：由正弦定理可得，故选项正确；对D：设关于的对称点我，到的距离为，即，又由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所

8、以，即，所以的最大值是，故选项错误故选：D3B【分析】根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.【详解】因为，所以，即，因为，所以，因为，所以，因为点在边上，且，所以，设，则，在中，由余弦定理得，所以，即，即，所以，令，得，则，令，解得，当时，当时，所以当时，取得最大值，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.4C【分析】由已知得，所以点在的平分

9、线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，可知，结合三角函数的性质可求最小值.【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，的分向与的平分线一致，所以点在的平分线上，即为的角平分线，在中，利用正弦定理知：同理，在中，其中分析可知当时，取得最小值，即故选：C5C【分析】根据，由正弦定理得到，根据边上的高为，结合正弦定理有，再由余弦定理可得 ，即，由，再根据取最小值时求解.【详解】因为，所以，因为边上的高为，所以，即，由余弦定理得：，所以，即，即，解得，所以的最小值为，此时，又，所以.故选：【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题.6C【分析】设，过点，分

10、别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.7C【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数

11、值域的上限.【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，设，因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：C【点睛】本题的难点在求函数的值域的上限，解答利用了函数的思想,以为自变量，先求自变量的取值范围，再利用余弦定理求得的解析式，最后换元求新函数的值域得解.8C【分析】延长交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.【详解】延长交于，如下图所示：

12、为的重心，为中点且，；在中，；在中，；，即，整理可得：，为锐角；设为钝角，则，解得：，由余弦定理得：，又为锐角，即的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到，确定为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得的范围.9B【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】设的中点为，所对的边为，因为是外接圆圆心，所以，于是有，由，故选：B【点睛】关键点睛：对已知向量等式同时乘以是解题的关键.10B【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，结合条

13、件可得，然后利用余弦定理可得，进而可得，即得.【详解】设中，角的对边为，即，又，又，即，故，又，.故选：B.11D【分析】设，由题设条件得到的关系：，由是三角形的外心可得，对，消去AO，利用基本不等式求得m的范围.【详解】如图所示：设，由得，化简得，由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，代入上式得，.根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，代入得，当且仅当“”时，等号成立.故选：D.12B【分析】依据题给条件列出关于的内切圆半径的方程，即可求得的内切圆半径.【详解】由结合点I是的内切圆的圆心可知，又有，所以，又，可得，再根据，由余弦定理可得，解之得，则即，解之得.故选：B.13C【分析】

14、A、B由三角形面积公式及余弦定理判断；C由A、B分析，结合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D根据C的分析，结合基本不等式可得，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得，根据A的结论即可求目标式最大值.【详解】的面积为，则， A错误；由且，则，B错误；由，则，所以且，故的最大值为，C正确；由C分析知：，当且仅当时取等号，则，故，即，即，解得，又，所以，而，故的最大值为， D错误.故选：C14C【分析】根据双曲线方程，结合双曲线定义及，求得，设，在三角形中分别表示出，从而求得的带三角函数表达式，当取最小值时，求得，从而得出N点的位置，求出.【详解】由双曲线方程知，设，则，又，则，解得

15、或-3（舍），设折叠后点达到F点，如图所示，作于A点，易知平面，设，则，在中，在中，由余弦定理知，则，当且仅当，即时，等号成立，折叠后点，距离最小.此时MN为的角平分线，由角平分线定理知，则，故选：C【点睛】关键点点睛：用分别表示出，从而表示出，找到其取最小值时的位置，进而求得N点的位置.15B【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,利用余弦定理即可求解.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则有.当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，由余弦定理得：,所以，即在三角

16、形中，由勾股定理可得：,且.同理可求：因为，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,由余弦定理得：.故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.16A【分析】先由切线长定理及双曲线的定义求得点横坐标为，再由直线的方程求出，再借助求得，进而求得，在，由双曲线的定义及余弦定理即可求出.【详解】如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，易得，又由双曲线定义得，即，又，故，即点横坐标为，又，则，故直线的

17、方程为，代入，解得，即，又，则，故，又，则，在中，由余弦定理得，即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为.故选：A.17D【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由，可得，即.又，所以因为，所以点为的重心，所以，所以，两边平方得因为，所以，于是，所以，的面积为.因为的面积是面积的倍.故的面积为【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.18C【解析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围【详解】为锐角三角形，且，又，又

18、，由，即，令，则，又函数在上单调递增，函数值域为，故选：C【点睛】本题考查三角形的正弦定理和运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查化简变形能力，属于难题19A【分析】由，可得；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，再根据正弦定理可得，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解【详解】由，得，由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，又锐角，且，解得，的取值范围为故选：A20A【分析】先将，转化为，即，再根据为最大边，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可.【详解】因为，所以，即，即即，所以，因为为最大边

19、，所以，由余弦定理得，所以，即，又，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.21【分析】结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得ABAC的最大值.【详解】设BCa，ACb，ABc，如图，连接AF，BD，AD由拿破仑定理知，DEF为等边三角形因为D为等边三角形的中心，所以在DAB中，同理又，所以在ADF中，由勾股定理可得，即，化简得，由基本不等式得，解得（当且仅当时取等号），所以故答案为：22【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.【详解

20、】由题设，则，又 B为钝角即为锐角，即，又，且，而，当时，的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.23【分析】根据求出，由向量数量积得到，使用余弦定理得到方程组，求出，利用面积公式求出结果.【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：，其中，即，因为，所以，即，解得：，把代入得：，解得：，则的面积为.故答案为：24#【分析】利用三棱锥体积最大时平面平面，设，求出体积函数，利用导数求最大值，确定，再由球截面的性质确定球心，根据正

21、弦定理求截面圆半径，据此求出,再由勾股定理求出球的半径.【详解】取中点G，连接，如图，当三棱锥体积最大时，平面平面，此时设，则，所以，设，则，由，可得，因为时，当时，所以函数在上递增，在上递减，所以时三棱锥的体积最大，此时，所以.设E，F分别为与的外接圆圆心，圆的半径为，过点E作平面的垂线，过点F作平面的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥的外接球球心，由正弦定理可知，即，可求得，故四边形是正方形，所以外接球半径，所以三棱锥的体积最大时，其外接球半径.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于确定出三棱锥体积最大时，对应的的长，需要根据导数求导完成，计算比较繁琐，其次需要利用球的截面的性质确定出外

22、接球的球心，属于难题，综合性较强.25【分析】分析可得出，可求得，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，即可求得的最大值.【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，由可得，所以，因为，则，所以，所以，可得，因为，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以，.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号

23、成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.26【分析】连接，由双曲线的对称性得四边形是平行四边形，令，则，结合双曲线的定义可得，在中，由余弦定理可得的关系，得到与的关系，进而在中利用余弦定理可得的关系，进而求解.【详解】连接，如图所示：由双曲线的对称性得四边形是平行四边形，所以，令，由双曲线的定义，得，所以，在中，由及余弦定理得：，代入化简可得，又得，.在中，即，可得，所以的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的几何性质和渐近线，涉及余弦定理的运用，双曲线的定义的运用，关键是利用双曲线的对称性，定义，和余弦定理得到的关系.属中档题.27【分析】设

24、，根据与，利用余弦定理求出，设出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m与n的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出与的值，进而求出的值.【详解】设，则，因为和是等边三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，过点D作DGAB于点G，设AG=m，DG=n，则BG=2-m，由勾股定理得： ，解得：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立直角坐标系，则，则 ，由得：，即，解得：，则故答案为：28#【分析】设的中点为，连接，由题意可得，由双曲线的定义可得，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.【详解】解：如图：设的中点为，连接，因为

25、，所以，因为为的中点，所以，由，得，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以，即，整理可得，即，所以，所以或（舍），所以离心率，故答案为：.29 # 2 【分析】(1)令，求导判断单调性，根据f(x)单调性即可求单调性和最小项的值；(2)求的通项，令其通项x的次数为0或3，求出对应的n的最小值，比较即可得出n的最小值；(3)规律：设第n行第1个分数的分母为，则有，；从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和根据这两个规律即可求出；(4)根据即可求出t的范围；结合余弦定理和即可求出m的范围；求出b、c，根据三角形面积公式即可求面积；利用余弦定理判断cosC

26、的正负即可判断三角形为钝角三角形.【详解】(1)令，则，令，解得，单调递减，单调递增，数列在1n12时递减，在n13时递增，n12离更近，故当时，数列取得最小值；(2)的展开式的通项为，由题意，令得，则r4时，n取最小值5；令得n，则r2时，n取最小值2.综上，n的最小值为2.(3)由题可知，设第n行第1个分数的分母为，则有，累加可得，故第6、7行第一个分数分母分别为28、36.观察数阵，不难发现，从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和，据此可求出第6行第二个分数分母为213758，第7行第2个分数分母为285886，第8行第2个分数分母为3686122，如图所示.故为：.(4)对于，根据题意，若，则，故可设.则有，则，变形可得，故正确；对于，又，故正确；对于，当时，则有，则a边上的高为，故错误；对于，当时，则，则，故C为钝角，为钝角三角形，故正确.故正确的有：.故答案为：；2；.30【分析】根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解【详解】解：由题意作出图形，设双曲线的焦距为,根据题意可得：,得：，即所以，所以：得：所以,所以, ,所以当时, 的面积取最大值,所以,所以,故答案为: .答案第27页，共27页