概率的公理化定义及概率的加法公式.ppt

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1、1.3 1.3 概率的公理化定义概率的公理化定义及概率的加法公式及概率的加法公式 1一、概率的公理化定义一、概率的公理化定义性大小，记为性大小，记为 上所有事件组成的集合事件上所有事件组成的集合事件 设设 是某个随机试验的样本空间，是某个随机试验的样本空间，为为发生的可能发生的可能是事件的是事件的固有属性固有属性，需要强调的是，需要强调的是，的固有属性一样的固有属性一样它随着事件的确它随着事件的确定而确定，定而确定，就像就像“质量质量”是物体是物体一旦事件给定了，一旦事件给定了，我们知道不知道它是多少，能不能计算它，那是我们知道不知道它是多少，能不能计算它，那是就确定了至于就确定了至于技术问题

2、，属于另一回事技术问题，属于另一回事2是一个映射是一个映射从对应关系来说，从对应关系来说，（函数就是一种特殊的映射）（函数就是一种特殊的映射）熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，一个映射才算确定了在这里，映射一个映射才算确定了在这里，映射P P的定义域的定义域试问映射试问映射P P的对应法则是什么的对应法则是什么?是是映射映射P P没有通常的函数解析式，没有通常的函数解析式，19331933年前苏联数学家年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫解决了映射解决了映射P P的对应法则问题，这在的对应法则问题，这在概率论发展史具有重大意义概率论发展史具有重大意义

3、 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫（190319031987)1987)3映射映射P P的对应法则由下面三条公理确定，的对应法则由下面三条公理确定，这就是我们通常所说的这就是我们通常所说的概率的公理化定义概率的公理化定义概率概率：上所有事件组成的集合，上所有事件组成的集合，为为 设某个随机试验的样本空间为设某个随机试验的样本空间为 称满足下列三条称满足下列三条公理的称满足下列三条公理的映射公理的称满足下列三条公理的映射为为 1 1非负性非负性 若若 则则 2 2正则性正则性4简而言之，概率是以简而言之，概率是以加的正则的非负函数加的正则的非负函数为定义域的可列可为定义域的可列可3 3可列可加性可列可加

4、性 若若 是一列两两互不相是一列两两互不相则则 容的事件，即容的事件，即 从现在开始，我们称从现在开始，我们称其中的其中的“”是英文单词是英文单词“probability”probability”的首的首写字母，表示写字母，表示“概率概率”的意思的意思为事件的为事件的概率概率5 在概率论发展的历史上，有许多关于概率在概率论发展的历史上，有许多关于概率的定的定义，其中包括在下一节的义，其中包括在下一节的概率的古典定义概率的古典定义和和概率的几何定义概率的几何定义，这些定义各适合一类随机，这些定义各适合一类随机现象概率的公理化定义既概括了历史上几种现象概率的公理化定义既概括了历史上几种概率定义中的

5、共同特性，又避免了各自的局限概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的定义中的三条公理三条公理，才能说它是概率，才能说它是概率概率的公理化体系概率的公理化体系迅速获得举世公认，是迅速获得举世公认，是概率论发展史上的一个里程碑有了这个公理概率论发展史上的一个里程碑有了这个公理化定义后，概率论得到很快的发展化定义后，概率论得到很快的发展6二、概率的基本性质二、概率的基本性质可列可加性可列可加性公理公理由此可得由此可得 证证性质性质1.11.1 7证证可列可加性可列可加性公理公理性质性质1.11.1 性质性质1.2

6、 1.2(概率的有限可加性概率的有限可加性)若若 两两互不相容，即两两互不相容，即 则则 8概率的有限可加性概率的有限可加性 当直接计算一个事件的概率难于实现时，可当直接计算一个事件的概率难于实现时，可以通过计算其对立事件的概率来完成，这种以通过计算其对立事件的概率来完成，这种“绕绕圈子圈子”的方式在概率计算问题中经常被采用的方式在概率计算问题中经常被采用 性质性质1.3 1.3(对立事件的概率公式对立事件的概率公式)对任何事对任何事件件A A，有，有 证证 注意，注意，A A与与互不相容，且互不相容，且9概率的有限可加性概率的有限可加性 移项得所需结论移项得所需结论性质性质1.4 1.4(真

7、差概率公式真差概率公式)若若 则则 证证 当当时，时，A A与与B-AB-A互不相容，互不相容，10由真差的概率公式可得下面三条性质：由真差的概率公式可得下面三条性质：性质性质1.71.7(概率的减法公式概率的减法公式)对任意两对任意两个事件个事件A A和和B B，有，有 性质性质1.61.6 对任意事件对任意事件A A，有，有 性质性质1.5(1.5(概率的单调性概率的单调性)若若 则则 11解解 由概率的单调性，由概率的单调性，同理，同理，把上面两者综合起来，得把上面两者综合起来，得试问：在什么条件下试问：在什么条件下取到最大值，最大值是多少取到最大值，最大值是多少?例例1.41.4 设设

8、A A和和B B是两个事件，是两个事件，12可见，当可见，当时上述不等式中的时上述不等式中的号成立，此时号成立，此时取到它的最大值，取到它的最大值，最大值是最大值是0.60.6另外，当另外，当时，上述不等式中的时，上述不等式中的也是也是取到它的最大值取到它的最大值0.60.6的一个充分条件的一个充分条件“”号也成立，所以号也成立，所以13三、概率的加法公式三、概率的加法公式证证 定理定理1.11.1(关于两个事件的概率的关于两个事件的概率的加法公式加法公式)对任意两个事件对任意两个事件A A和和B B，有，有所以所以 14 例例1.51.5 由长期统计资料得知，某一地区在由长期统计资料得知，某

9、一地区在月份每天下雨的概率为月份每天下雨的概率为4/154/15，刮风的概率为，刮风的概率为7/157/15，既刮风又下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为1/101/10，求月份，求月份的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率 从而，由概率的加法公式得所求概率为从而，由概率的加法公式得所求概率为 解解 在月份中任取一天，令在月份中任取一天，令A=A=下雨下雨，B=B=刮风刮风，则，则15解解 试问：在什么条件下试问：在什么条件下取到最小值，最小值是多少取到最小值，最小值是多少?例例1.61.6 设设A A和和B B是两个事件，是两个事件，可见，当可见，当时，上

10、述不等式时，上述不等式取到它的取到它的中的号成立，此时中的号成立，此时 最小值，最小值是最小值，最小值是0.40.416注意，注意，并不意味着并不意味着 当然，若当然，若值值0.40.4也取到它的最小也取到它的最小类似地，我们可以证明下面两个定理类似地，我们可以证明下面两个定理 17定理定理1.21.2(关于三个事件的概率的加法公式关于三个事件的概率的加法公式)对任意三个事件对任意三个事件A A，B B，C C 有有18定理定理1.31.3(概率的一般加法公式概率的一般加法公式)对任意对任意 个事件个事件 有有 我们也称这个公式为我们也称这个公式为“多除少补原理多除少补原理”19解解 问题归结于求问题归结于求例例1.71.7 设设 个发生的概率个发生的概率求事件求事件A A，B B，C C中至少有一中至少有一20由概率的加法公式得所求概率为由概率的加法公式得所求概率为 21