概论与统计课件第六章数理统计的基本概念.pptx

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1、第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第一节：总体与样本第一节：总体与样本第二节：统计量第二节：统计量第二节：抽样分布第二节：抽样分布本章转入课程的第二部分本章转入课程的第二部分数理统计数理统计概率论概率论研究大量随机现象的统计规律性的一门学科研究大量随机现象的统计规律性的一门学科数理统计数理统计 数理统计是以概率论为基础，数理统计是以概率论为基础，运用概率论的知运用概率论的知识，研究观测大量随机现象得到的数据的收集、整识，研究观测大量随机现象得到的数据的收集、整理、分析等方法。并理、分析等方法。并根据试验所得到的数据，对研根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的

2、推断。究对象的客观统计规律性做出合理的推断。其过程：其过程：收集带有随机误差的数据收集带有随机误差的数据 对数据进行处理分析对数据进行处理分析 得出信息用以研究问题得出信息用以研究问题 作出统计推断作出统计推断概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的应用概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的应用 从第本章开始，我们学习数理统计的基础知识。从第本章开始，我们学习数理统计的基础知识。主要有参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等主要有参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容内容.本章主要介绍数理统计的一些本章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布念

3、、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。，它们是后面各章的基础。学习的基本内容学习的基本内容第一节第一节 总体与样本总体与样本 一个统计问题总有它明确的研究对象一个统计问题总有它明确的研究对象.1.1 1.1 总体与个体总体与个体研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.例例：考察某灯泡厂生产的灯泡。：考察某灯泡厂生产的灯泡。总体总体:全部灯泡。个体全部灯泡。个体:每一个灯泡每一个灯泡例例:考察某大学学生的身体状况考察某大学学生的身体状况.总体总体:全体学生全体学生.个体：每一个学生个体：每一个学生总体总体有限总体有限总体无限

4、总体无限总体 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的个体的一项一项(或几项或几项)数量指标数量指标和该数量指标和该数量指标在总体中的分布在总体中的分布情况情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就是总体体就是总体总体和个体具有两重性总体和个体具有两重性：一方面指所研究的实体，一方面指所研究的实体，另一方面又指实体的数量指标。另一方面又指实体的数量指标。由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的由于每个个体的出现是随机

5、的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性出现也带有随机性.从而可以把从而可以把这种数量指标看作一个随机变这种数量指标看作一个随机变量量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.这样，这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.例如例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布表示，或用其分布函数函数F(x)表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命X可用一概可用一

6、概率分布来刻划率分布来刻划如说如说总体总体X或总体或总体F(x).F(x)类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用的数量指标是身高和体重，我们用X和和Y分别表示身高和体分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函或其联合分布函数数F(x,y)来表示来表示.统计中，总体这个概念的要旨是：统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个随机变量总体就是一个随机变量(向量向量)或一个概或一个概率分布率分布.常用常用 X，Y，Z表示表示使用使用 总体总体X，总体总体X

7、的分布的分布，正态总体等术语，正态总体等术语.总体的分布要借助于总体的分布要借助于随机抽样随机抽样来研究。来研究。1.2 样本样本1.样本样本 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为取过程称为“抽样抽样”，所抽取的部分个体称为，所抽取的部分个体称为样本样本.样本中样本中所包含的个体数目称为所包含的个体数目称为样本容量样本容量.但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数个具体的数(X1,X2,Xn

8、)，称为样本的一次，称为样本的一次观察值观察值，简称，简称样本值样本值.容量为容量为 n 的样本的样本 是是 n 次试验的结果，因试验是随机的，次试验的结果，因试验是随机的，容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn).样本的二重性：样本的二重性：样本在做具体试验前可理解为一个随机向量，样本在做具体试验前可理解为一个随机向量，在具体试验后可理解为一组观测值。在具体试验后可理解为一组观测值。由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法取的样本能很好地反映总体

9、的信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，它要求抽，它要求抽取的样本满足下面两点取的样本满足下面两点:简单随机样本：简单随机样本：设总体为设总体为X，如果样本，如果样本(X1,X2,Xn)满足满足:(1)代表性代表性:每个每个Xi 与总体与总体X 有相同的分布有相同的分布;(2)独立性独立性:X1,X2,Xn相互独立相互独立;则称则称 样本样本(X1,X2,Xn)为为简单随机样本简单随机样本，简称为，简称为简单简单样本样本。注在有限总体中要得到简单样本在有限总体中要得到简单样本,必须进行必须进行重复抽样重复抽样。但当。但当总体中个体

10、数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作简单样本的样本也可近似看作简单样本.小样本和大样本：小样本和大样本：当当容量容量 n 时，研究的是大样本问题。其时，研究的是大样本问题。其 分布是极限分布。分布是极限分布。当当容量容量 n 有限时，样本是小样本。其分布是随机有限时，样本是小样本。其分布是随机向量的精确分布。在理论研究中小样本意味着固定样本容量，不能向量的精确分布。在理论研究中小样本意味着固定样本容量，不能让它趋于无穷。让它趋于无穷。2.样本的分布样本的分布 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为F(x)，(X1,X2,X

11、n)是来自总体的样本，是来自总体的样本，由于由于X1,X2,Xn 相互独立且与总体有相同的分布，所以相互独立且与总体有相同的分布，所以Xi的分的分布函数为布函数为F(xi)，则，则(X1,X2,Xn)的联合分布函数为的联合分布函数为 F(x1,x2,xn)=F(x1)F(x2)F(xn)（1）若若总体总体X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x)，Xi的密度函数为的密度函数为f(xi)，则，则(X1,X2,Xn)的联合密度函数为的联合密度函数为 f(x1,x2,xn)=f(x1)f(x2)f(xn)（2）若若总体总体X是离散型随机变量，其概率分布为是离散型随机变量，

12、其概率分布为P(X=x)=p(x)，Xi的概率分布为的概率分布为P(X=xi)=p(xi)，则，则(X1,X2,Xn)的联合概率分布为的联合概率分布为 P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=p(x1)p(x2)p(xn)例例1 1 研究某城市居民的收入状况研究某城市居民的收入状况.假设该城市居民人均年收入假设该城市居民人均年收入X X N(N(,2 2).).其密度函数为其密度函数为现在随机调查现在随机调查n n户居民年收入，记为户居民年收入，记为X1,X2,Xn，则则(X1,X2,Xn)就是从总体就是从总体X中抽取的简单随机样本，于是，中抽取的简单随机样本，于是，X1,X2,Xn相互独立

13、，且相互独立，且XiXi N(N(,2 2).i=1,2,3,).i=1,2,3,n于是于是样本样本(X1,X2,Xn)的联合密度函数为的联合密度函数为例例2 2 某电话交换台一小时内的呼唤次数某电话交换台一小时内的呼唤次数X X P(P().).其概率分布为其概率分布为设设(X1,X2,Xn)是从总体是从总体X中抽取的简单随机样本，中抽取的简单随机样本，则则样本样本(X1,X2,Xn)的联合概率分布为的联合概率分布为第二节第二节 统计量统计量2.1 2.1 统计量的定义统计量的定义 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完它是完全由样本决定的量全由

14、样本决定的量.定义定义2.1 设设(X1,X2,Xn)为来自总体为来自总体 X 的样本，容量为的样本，容量为 n，设设h(x1,x2,xn)为一不含未知参数为一不含未知参数的的 n 元连续函数，则元连续函数，则 T=h(X1,X2,Xn)是一个随机变量，称为是一个随机变量，称为统计量统计量。例例：当总体当总体 XN(,2)，其中参数，其中参数 ,2 未知时未知时 不是统计量，因它们都包含了未知参数。不是统计量，因它们都包含了未知参数。例例：统计量：统计量 当参数当参数 已知已知,2 未知时，结论如何？未知时，结论如何？2.2 样本的数字特征样本的数字特征-常见统计量常见统计量设样本设样本(X1

15、,X2,Xn)来自总体来自总体 X，常见统计量，常见统计量和观测值：和观测值：（2）样本方样本方 差：差：其观测值：其观测值：（1）样本平均值样本平均值（样本均样本均 值值）：）：其观测值：其观测值：其观测值：其观测值：（3）样本标准差：样本标准差：其观测值：其观测值：（4）样本样本 k 阶原点矩：阶原点矩：（5）样本样本 k 阶中心矩：阶中心矩：其观测值：其观测值：其观测值其观测值：样本二阶中心矩观测值样本二阶中心矩观测值：样本均值和样本方差的性质样本均值和样本方差的性质 定理定理2.1：设总体设总体 X 的均值为的均值为 EX=，方差为，方差为 DX=2，样本样本(X1,X2,Xn)来自总

16、体来自总体 X，则，则 证：由于证：由于(X1,X2,Xn)是简单样本，所以是简单样本，所以EXi=EX=，DXi=DX=2(i=1,2,n)，而且有，而且有注意到：注意到：定义定义3.1 设设随机变量随机变量X1,X2,Xn相互独立相互独立,且同服从标准正态分布，且同服从标准正态分布，则它们的平方和则它们的平方和 2=X12+X22+Xn2服从的分布称为服从的分布称为自由度为自由度为 n 的的 2分布分布。记为记为：2 2(n)。注：自由度注：自由度表示独立随机变量的个数表示独立随机变量的个数 第三节第三节 抽样分布抽样分布 可以证明，可以证明，2 的密度函数为：的密度函数为：1 1、2 分

17、布分布 3.13.1 数理统计中的三个重要分布数理统计中的三个重要分布 抽样分布抽样分布:统计量的分布统计量的分布 2分布的性质分布的性质 定理定理3.2 若若 X 2(n)，Y 2(m)，且且X与与Y相互独立相互独立，则则 X+Y 2(n+m)定理定理3.1 若若 X 2(n)，则：则：EX=n，DX=2n (2)若若 X1,X2,Xn相互独立相互独立，同服从于正态分布，同服从于正态分布N(i,i2)，则，则 推论推论：（：（1）若若 Xi 2(ni),i=1,2,n，且且相互独立相互独立，则：则：2分布的临界值（分布的临界值（分位点）分位点）例：例：t 分布分布 t 分布的临界值（分布的临

18、界值（分位点）分位点）例：例：1.397 问题：问题：若若 XN(,2)，Y/2 2(n)，且，且X与与Y相互独立，则相互独立，则证明：证明：且与且与Y相互独立，则相互独立，则 F 分布分布 其中其中 n1 叫做叫做第一自由度第一自由度，n2 叫做叫做第二自由度第二自由度。F 分布的临界值（分布的临界值（分位点）分位点）F 分布上分位点的性质分布上分位点的性质 例：例：例：例：判断判断：如果如果 X与与Y 相互独立，且相互独立，且X/2 2(n)，Y/2 2(m)，则则 F=(X/Y)(m/n)证：证：如果如果 X与与Y 相互独立，且相互独立，且X/2 2(n)，Y/2 2(m)，例：例：14

19、3页（页（A）第）第2(5)题题解：解：F(n,m)3.2 正态总体下的抽样分布 以下假设样本（以下假设样本（X1，X2，X n）来自正态总体来自正态总体 XN(,2)定理定理3.3：XN(,2/n)其中其中 X 与总体与总体 X 有相同的有相同的均值均值，但，但方差方差小得多。小得多。样本容量样本容量 n 越大，越大，X 向向 越集中。越集中。推论推论1 1：这个定理说明了：对于n个独立的且都服从相同的正态分布的随机变量而言，它们的均值仍然服从正态分布，所改变的只是分布的参数。推论推论2：若样本：若样本(X1,X2,X n1)来自总体来自总体XN(1,12)，样本样本 (Y1,Y2,Y n2

20、)来自总体来自总体YN(2,22)，且，且X与与Y相互独立，则相互独立，则 证明：证明：XN(1,12/n1)YN(2,22/n2)，相互独立，相互独立 X-YN(1-2,12/n1+22/n2)标准化得：标准化得：定理定理3.43.4：设总体：设总体X 服从正态分布服从正态分布N(,2)，样本，样本(X1,X2,Xn)来自总体来自总体X，有，有 (1)X 与与 S2 相互独立相互独立；(2)(n-1)S2/2 服从自由度为服从自由度为 n 1 的的 2 分布。分布。定理定理3.5：证明：证明：XN(,2/n)(n-1)S2/2 2(n1),相互独立相互独立定理定理3.6 设样本设样本(X1,

21、X2,X n1)来自正态总体来自正态总体XN(1,12),(Y1,Y2,Y n2)来自正态总体来自正态总体YN(2,22)，并假定，并假定X 与与 Y 相互独立。记相互独立。记则则其中，其中，证明：证明：(1)由定理由定理3.4，知，知 且二者且二者相互独立，相互独立，由由F-分布定义得分布定义得:定理定理3.7 设样本设样本(X1,X2,X n1)来自正态总体来自正态总体XN(1,2),(Y1,Y2,Y n2)来自正态总体来自正态总体YN(2,2)，并假定，并假定X 与与 Y 相互独立。记相互独立。记则则其中，其中，证明：证明：由定理由定理3.3的推论的推论2，得：，得：证明：证明：(1)由

22、定理由定理3.4，知，知(n1-1)S12/1 2 2(n11),(n2-1)S22/2 2 2(n21),相互独立，相互独立，由由可加性可加性得得:U ,V 相互独立，由相互独立，由定义定义3.2得得:证明：证明：且相互独立且相互独立例例1：若若 XN(0,0.5 2)，样本，样本(X1,X2,X 10)来自总体来自总体X。求求证明：证明：且相互独立且相互独立 例例2：若若 XN(,2)，样本，样本(X1,X2,X n+1)来自总体来自总体X。与与 Sn2 为样本均值和样本方差。求统计量为样本均值和样本方差。求统计量 的分布的分布且相互独立，则且相互独立，则解解：由定理由定理3.5知知 例例3：设总体设总体 XN(,2)，与与 S2分别是分别是样本样本均值与样本方差，均值与样本方差，若样本容量为若样本容量为16，求，求k，使得，使得