概率论与数理统计第三讲.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计条件概率（条件概率（2）独立性独立性1 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0一、全概率公式一、全概率公式2例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号号箱装有箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2个红球个红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3个红球个红球.某人从三箱中任取某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得

2、红球的概率一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记解：记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球即即 A=B1A+B2A+B3A，A发生总是伴随着发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，之一同时发生，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)运用加法公式得123且且 B1A、B2A、B3A两两互斥两两互斥3 将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得得到到在在概概率率计计算算中中常常用用的的全全概概率率公公式式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)代入数据计算得：代入

3、数据计算得：P(A)=8/154也称满足上述条件的也称满足上述条件的B1,B2,Bn为为完备事件组完备事件组.定定义义 设设S为为试试验验E的的样样本本空空间间，B1,B2,Bn为为E的一组事件的一组事件.若若则称则称B1,B2,Bn为样本空间为样本空间S的一个的一个划分划分.5全概率公式全概率公式:设设试试验验E的的样样本本空空间间为为S，A为为E的的事事件件，B1,B2,Bn为为S的一个划分，且有的一个划分，且有P(Bi)0，i=1,2,n,则则 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(A)不易不易,但但A总是伴随着某个总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一出现，适当地去构造这一

4、组组Bi往往可以简化计算往往可以简化计算.6 某某一一事事件件A的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因，如如果果A是是由由原原因因Bi(i=1,2,n)所所引引起起，则则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生的发生的概率是各原因引起概率是各原因引起A发生概率的总和，即发生概率的总和，即全全概率公式概率公式.或理解为：或理解为：全概率公式应用演示全概率公式应用演示实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”7 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱号箱装有装有1个红球个红球4个

5、白球，个白球，2号箱装有号箱装有2个红球个红球3个个白球，白球，3号箱装有号箱装有3个红球个红球.某人从三箱中任某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式8某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率.记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球求求P(B1|A)运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到

6、的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?9 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找已发生的条件下，寻找导致导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式：设设试试验验E的的样样本本空空间间为为S，A为为E的的事事件件，B1,B2,Bn为为 S的的 一一 个个 划划 分分，且且 P(A)0，P(Bi)0，（，（i=1,2,n）,则则10例例 2 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.9

7、5，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解解:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A).11现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得:P(CA)=0.10

8、66 2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？12如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为是患者的概率为 P(CA)=0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增

9、加约21倍倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有2.无意义？无意义？132.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来平均来说，说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再试验来确认.14 贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P

10、(Bi)和和P(Bi|A)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息（不知道事件（不知道事件A是否发生）的情况下，人们是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对发生），人们对诸事件发生可能性大小诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。15在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去

11、的前科，对他们作案的可的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人甲、乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后,这个估计这个估计就有了变化就有了变化.P(B1|A)知道知道A发生后发生后P(B2|A)P(B3|A)最大最大偏小偏小16例例3 3 由于随机干扰，在无线电通讯中发出信由于随机干扰，在无线电通讯中发出信号号“”,“”,收到信

12、号收到信号“”“”、“不清不清”、“”“”的的概率分别为概率分别为0.70.7、0.2 0.2、0.1 0.1；发出信号发出信号“”,“”,收到信号收到信号“”“”、“不清不清”、“”“”的概率的概率分别为分别为0.00.0、0.10.1、0.9.0.9.已知在发出的信号中已知在发出的信号中,“”“”和和“”“”出现的概率分别为出现的概率分别为0.6 0.6 和和0.4,0.4,试分析试分析,当收到信号当收到信号“不清不清”时时,原发信号为原发信号为“”“”和和“”“”的概率哪个大？的概率哪个大？解解 设原发信号为设原发信号为“”“”为事件为事件 B1 1，原发信号为原发信号为“”“”为事件为

13、事件 B2 2，收到信号收到信号“不清不清”为事件为事件 A.例617已知：已知：可见可见,当收到信号当收到信号“不清不清”时时,原发信号为原发信号为 “”“”的可能性大的可能性大.18显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷第一次掷出出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设三、事件的独立性三、事件的独立性19 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，独立时，定义定义

14、 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.有有 P(AB)=P(A)P(B)容易证明容易证明,若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 也相互独立也相互独立.20例例4 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 在实际应

15、用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立.例如两人射击例如两人射击.21四、多个事件的独立性四、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时四个等式同时 P(AC)=P(A)P(C)成立成立,则称事件则称事件 P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互相互 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立独立.注：关系式注：关系式(1)(3)(1)(3)成立时成立时,称称 A,B,C 两两独立两两独立 两两独立两两独

16、立相互独立相互独立22 推广到推广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出：包含等式包含等式总数为：总数为：设设A1,A2,An是是 n个事件，如果对任意个事件，如果对任意k(1k n),任意任意1 i1i2 ik n,具有等式具有等式 则称则称A1,A2,An为相互独立的事件为相互独立的事件.两个推论（两个推论（p 27）.23 例例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一机被一人击中而击落的概率为人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的被两人击中而击落的概

17、率为概率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i个人击中个人击中,i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)则则 A=B1A+B2A+B3A解解:依题意，依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=124可求得可求得:为求为求P(Bi),设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中,i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得:P(B1)=0.36;P(B2)=0.4

18、1;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)25于是于是 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.141即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.26对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例6 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，

19、问三人中至，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为解：将三人编号为1，2，3，五、独立性在概率计算中的应用五、独立性在概率计算中的应用所求为所求为 P(A1+A2+A3)记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,327记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,312所求为所求为 P(A1+A2+A3)已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)3“诸葛亮和臭皮匠诸葛亮和臭皮匠”28 一个元件一个元件(或系统或

20、系统)能正常工作的概率称能正常工作的概率称为元件为元件(或系统或系统)的可靠性的可靠性.系统由元件组成系统由元件组成,常见的元件连接方式：常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题例629 设设两系统都是由两系统都是由4 4个元件组成个元件组成,每个元件每个元件正常工作的概率为正常工作的概率为 p,每个元件是否正常工每个元件是否正常工作相互独立作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:30A1A2B2B1S2:注注 利用导数可证利用导数可证,当当 时时,恒有恒有31 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.32P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立，由于各元件独立工作，有工作，有其中其中P(C+D+E)=1-P(F+G)=1-P(W)0.782代入得代入得“系统可靠性试验系统可靠性试验”33