概率论与数理统计浙大四版第三章2讲.ppt

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1、第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有 则称则称X,Y相互独立相互独立.两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.它表明，两个它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合相互独立时，它们的联合分布函数等于

2、两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互独立相互独立.对任意的对任意的 x,y,有有 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v，则上述独立性，则上述独立性的定义等价于：的定义等价于：这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立处处成立.分别是分别是X的的边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.若若(X,Y)是离散型是离散型r.v，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：则称则称X和和Y相互独立相互

3、独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知，当可知，当X与与Y相互独立时，相互独立时，也可用此条件判别二维连续型也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量的两个分量X与与Y是否相互独立是否相互独立.例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：x0 即：即：对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立y 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解：解：0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故X和和Y不独立不独立.例

4、例2 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的概率是多少？的概率是多少？解解:设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)所求为所求为P(|X

5、-Y|5)及及P(XY)解解:设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一：解一：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2P(XY)解二：解二：P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到各自独立地到达，并且

6、每艘船在一昼夜间到达是等可能的达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需小时，乙船需停泊停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率其中一艘船要等待码头空出的概率.在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的.若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒，则则信信号号将将产产生生互互相相干扰干扰.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构

7、成三角形的成为三线段，求它们可以构成三角形的概率概率.长度为长度为a 随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念不不难难推推广广到到两个以上两个以上r.v的情形的情形.（见教材）（见教材）定定理理1 若若连连续续型型随随机机向向量量（X1,Xn）的的概概率率密密度度函函数数f(x1,xn)可可表表示示为为n个个函函数数g1,gn之积，其中之积，其中gi只依赖于只依赖于xi，即，即 f(x1,xn)=g1(x1)gn(xn)则则X1,Xn相相互互独独立立,且且Xi的的边边缘缘密密度度fi(xi)与与gi(xi)只相差一个常数因子只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果：最后我们给出有关独立性的两个结果：定理定理2 若若X1,Xn相互独立相互独立,而而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)则则Y1与与Y2独立独立.这一讲，我们由两个事件相互独立的这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握件，希望同学们牢固掌握.下一讲我们将介绍随机向量函数的分布，下一讲我们将介绍随机向量函数的分布，请事先预习请事先预习.练习练习解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,