椭圆的简单几何性质(讲课).ppt

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1、复习：1.椭圆的定义椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2|）的）的动点的轨迹叫做椭圆动点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程是：椭圆的标准方程是：3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系是的关系是:a2=b2+c2当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时aF2F1OB2B1A1A2xycbBB2 2F F2 2O O叫椭圆的叫椭圆的特征三角形特征三角形.4.求椭圆的方程：求椭圆的方程：“定、设、求定、设、求”.5.“相关点法相关点法”求轨迹方程或轨迹求轨迹方程或轨迹.1.范范 围围:F2F1Oxy椭圆关于y轴对称.F2F1Oxy

2、椭圆关于x轴对称.A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称.从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象方程不变，图象 关于原点成中心对称关于原点成中心对称.yxOP(x,y)P1(-x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)3、椭圆的顶点、椭圆的顶点令令 x=0，得，得 y=？说明椭圆与？说明椭圆与 y轴的交

3、点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？顶点：顶点：椭圆与它的对称轴椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点顶点.oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)长轴、短轴长轴、短轴：线段：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴和短轴.a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长轴长和短半轴长.练习一：练习一：1、已知椭圆的长轴、已知椭圆的长轴A A1 1A A2 2和短轴和短轴B B1 1B B2 2，怎，怎样标出椭圆焦点的位置？样标出椭圆焦点的位置？o

4、B2B1A1A2aaccb因为因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为所以以椭圆短轴端点为圆心圆心,a长为半径的圆与长为半径的圆与x轴的交点即为轴的交点即为椭圆焦点椭圆焦点.F1F2练习一：练习一：2、求下列椭圆的焦点坐标：上面椭圆的形状有什么变化？Oxy扁平的程度不同扁平的程度不同Oxy如图，a不变，也即，a不变，把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率离心率，用e表示，即b越小越小，椭圆越扁扁.c越大越大，椭圆越扁扁.4、椭圆的离心率椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率.1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心

5、率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0erd00 (1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点；联立直线与椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程消元得到一元二次方程(当二次项系数不为当二次项系数不为0 0时时)(2)=0 (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个有且只有一个公共点；公共点；(3)0 (3)0 直线与椭圆相离直线与椭圆相离无公共点无公共点观察图形观察图形,可以发现可以发现,利用平行于利用平行于直线直线l且与椭圆只有一个交点的且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离直线，可以求得相应的最小距离.oxyF F1 1F F

6、2 25分析：分析：作出直线作出直线l及椭圆（如图）及椭圆（如图）.解解:由直线由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭与椭圆不相交（为什么圆不相交（为什么?）.设直线设直线m平行于直线平行于直线l,则直线则直线m的方程可以写成的方程可以写成令方程令方程的根的判别式的根的判别式=0，得，得组组解方程解方程，得，得最大距离是最大距离是多少？多少？变式练习：变式练习：当m取何值时,直线l：y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离？解：题型二：弦长公式题型二：弦长公式设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线

7、两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：可推广到任意二次曲线可推广到任意二次曲线例6、已知椭圆c的焦点F1 和F2 ,长轴长6,设直线y=x+2交椭圆c于A,B两点,求线段AB的中点坐标及弦长.解：解：例6、已知椭圆c的焦点F1 和F2 ,长轴长6,设直线y=x+2交椭圆c于A,B两点,求线段AB的中点坐标及弦长.变式练习：已知斜率为变式练习：已知斜率为1的直线的直线l过椭圆过椭圆 的右焦点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于A,B两点，求弦两点，求弦AB之长之长.例例7已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被作一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此

8、弦所在直线的方程.解：解：韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题与椭圆方程联立，消去与椭圆方程联立，消去y得：得：还有没有别的方法？还有没有别的方法？例例 7 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差

9、法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法思想方法 还有没有别的方法？还有没有别的方法？例例7已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直

10、线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理.题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题变式练习：已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求l的方程.解：设直线l与椭圆交与A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意：且两式相减得：变式、已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求l的方程.小结：小结：小结：小结：标准方程标准方程图图 象象范范 围围对对 称称 性性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半半 轴轴 长长焦焦 距距a,b,c关系关系离离 心心 率率关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。轴成轴对称；关于原点成中心对称。长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.焦距为焦距为2c;a2=b2+c2e越趋近于越趋近于0,椭圆越圆椭圆越圆;e越趋近于越趋近于1,椭圆越扁椭圆越扁.阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一颗石子.