河海大学理学院《高等数学》11-2常数项级数的审敛法.ppt

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1、 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院河海大学理学院第二节 数项级数审敛法 高等数学（下）高等数学（下）一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理显然有显然有正项级数收敛正项级数收敛 部分和数列部分和数列 有上界有上界.例如例如发散发散Sn 高等数学（下）高等数学（下）证证3.3.比较审敛法比较审敛法收敛，则其部分和有上界收敛，则其部分和有上界MM即即 的部分和数列有上界的部分和数列有上界 高等数学（下）高等数学（下）例如例如证证 高等数学（下）高等数学（下）证明证明推论推论 若若 ，则

2、有相应的性质，则有相应的性质.(保大弃小保大弃小)高等数学（下）高等数学（下）解解由由 单调递减知单调递减知 高等数学（下）高等数学（下）重要参考级数重要参考级数:等比级数等比级数,P-级数级数.用用保大弃小法保大弃小法选参考级数选参考级数.高等数学（下）高等数学（下）4.积分判别法：积分判别法：设设 f(x)是是 1,)上的单减非负连续函数上的单减非负连续函数.unf(n),n1，2，3则级数则级数 与广义积分与广义积分 同敛散同敛散.=1nnu 高等数学（下）高等数学（下）相加相加，得，得即即若若 收敛，则收敛，则 存在，存在，=1nnu因此因此 Sn 有界有界.又又 f(x)非负非负,因

3、此因此 关于关于 n 单增，单增，所以所以 收敛收敛.高等数学（下）高等数学（下）若若 收敛收敛,即即 存在存在,因此因此 有界有界,所以所以,Sn 有界有界.那么正项级数那么正项级数 收敛收敛.=1nnu例例:用积分判别法验证用积分判别法验证p-级数的收敛性级数的收敛性.高等数学（下）高等数学（下）5.5.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设=1 1n nn nu u与与=1 1n nn nv v都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性 ;(3)(3)当当时时,若若=1 1n nn nv v发散发散,则则=1 1n nn

4、nu u发散发散.(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(2)(2)相当于相当于;(3)(3)相当于相当于.高等数学（下）高等数学（下）证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.高等数学（下）高等数学（下）解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）例如例如:证明证明 Euler 数数是存在的是存在的.高等数学（下）高等数学（下）证明证明 高等数学（下）高等数学（下）=1nnu因此因此 收敛收敛.=1nnu因此因此 发散发散.高等数学（下）高等数学（下）比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不

5、必找参考级数.注意注意:2.必须是极限必须是极限.若若未必未必 收敛收敛.=1nnu 高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）比值审敛法失效比值审敛法失效,改用极限审敛法改用极限审敛法 高等数学（下）高等数学（下）级数收敛级数收敛.7.根式审敛法根式审敛法(Cauchy 判别法判别法):高等数学（下）高等数学（下）例例5 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.解解当当0 x e 时级数收敛时级数收敛;当当 x e 时发散时发散.当当 x e 时时,注意到注意到 单增单增,0级数发散级数发散.高等数学（下）高等数学（下）例例6 证明证明考虑级数考虑

6、级数 高等数学（下）高等数学（下）判别正项级数敛散性的步骤:4用比值审敛法或根值审敛法;4以P-级数为参考级数,用比较审敛法;4通项 ,级数发散;4以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;4看部分和Sn是否有上界;4用Cauchy收敛原理;4用定义,求和s.un 0(n)高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）二、交错级数及其审敛法定义定义即：正、负项相间的级数称为交错级数即：正、负项相间的级数称为交错级数.高等数学（下）高等数学（下）证明证明部分和数列为部分和数列为 Sn,设首项设首项u1 0,即即级数级数 高等数学（下）高等数学（下）这仍然是一个满足这仍然是

7、一个满足LeibnizLeibniz收敛条件的交错级数收敛条件的交错级数定理证毕定理证毕.若首项若首项-u1 0,则由线性则由线性 高等数学（下）高等数学（下）解解原级数收敛原级数收敛.自己做自己做：证明：证明 收敛收敛.高等数学（下）高等数学（下）三、绝对收敛与条件收敛例如例如:是绝对收敛的是绝对收敛的.对任意的对任意的 x,是绝对收敛的是绝对收敛的.高等数学（下）高等数学（下）证明证明注意注意:该定理的逆命题不成立该定理的逆命题不成立.例如例如 高等数学（下）高等数学（下）全体级数分为全体级数分为:发散级数发散级数收敛级数收敛级数绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛 高等数学（下）高等数学（下

8、）解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.高等数学（下）高等数学（下）五、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.1.2.2.4.4.充要条件充要条件5.5.比较法、极限法比较法、极限法6.6.比值法比值法7.7.根值法根值法4.4.绝对收敛绝对收敛5.5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.3.按基本性质按基本性质;高等数学（下）高等数学（下）判别一般项级数敛散性的步骤:4对通项取绝对值后,用比值审敛法或根值审敛法;4对通项取绝对值后,以P-级数为参考级数,用比较审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法;4通项 ,级数发散;4对通项取绝对

9、值后,以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用Leibniz判别法;4用Cauchy收敛原理;4用定义,求和s.un 0(n)高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）四、绝对收敛级数的性质定理定理1 对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和相同相同.注意注意:对条件收敛级数不成立对条件收敛级数不成立.例如例如经重排经重排,可能会发散可能会发散;即使收敛即使收敛,其和也未必其和也未必等于原级数的和等于原级数的和.即书上的定理即书上的定理.

10、(无穷和式的交换律无穷和式的交换律)高等数学（下）高等数学（下）定理定理2:设级数设级数 与与 都绝对收敛都绝对收敛,它它们的和分别为们的和分别为 A,B.则它们各项相乘得到的所则它们各项相乘得到的所有可能的乘积有可能的乘积 aibj 按任意次序排列所得到的级按任意次序排列所得到的级数数 也绝对收敛也绝对收敛,且其和为且其和为 AB.(无穷和式的分配律无穷和式的分配律)高等数学（下）高等数学（下）正方形乘积正方形乘积对角线乘积对角线乘积,高等数学（下）高等数学（下）对角线乘积（对角线乘积（也称也称Cauchy积）：积）：例例 高等数学（下）高等数学（下）1因此因此 u2k-1 0（k）所以条件收敛的级数的乘积未必收敛所以条件收敛的级数的乘积未必收敛.高等数学（下）高等数学（下）解解由极限审敛法知由极限审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.思考题思考题 高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）