概率论与数理统计浙大四版第一章第一章第6讲.ppt

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1、第六讲 事件的独立性事件的独立性 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷第一次掷出出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，独立时，有有 P(AB)=P(A)P(B)用用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更好更好,它

2、不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.两事件独立的定义两事件独立的定义例例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 前面我们是

3、根据两事件独立的定义作出前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 在实际应用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立.则则 由于由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13 P(A)=P(A|B),说明事件说明事件A、B独立独立.在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是

4、否独立.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的的概率，故认为概率，故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）的概率）一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响第一次抽取的影响.又如：又如：因为第

5、二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？即即:若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0,P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A、B不互斥不互斥.而而P(A)0,P(B)0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB)P(A)P(B)即即 问：能否在样本空间问：能否在样本空间S中找两个事件中找两个事件,它们它们既相互独立又互斥既相互独立又互斥

6、?这两个事件就是这两个事件就是 S和和P(S)=P()P(S)=0 与与S独立且互斥独立且互斥不难发现，不难发现，与任何事件都独立与任何事件都独立.设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P

7、(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.=P(A)1-P(B)=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A )=P(A-A B)A、B独立独立故故A与与 独立独立.概率的性质概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明证明:仅证仅证A与与 独立独立容易证明容易证明,若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 也相互独立也相互独立.二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时四个等式同时 P(AC)=P(A)P(C

8、)成立成立,则称事件则称事件 P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互相互 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立独立.推广到推广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出：包含等式总数为：包含等式总数为：设设A1,A2,An是是 n个事件，如果对任意个事件，如果对任意k(1k n),任意任意1 i1i2 2)个事件个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至，问三人中至少有一人能将密码

9、译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为解：将三人编号为1，2，3，三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用所求为所求为 P(A1+A2+A3)记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,312所求为所求为 P(A1+A2+A3)已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)3 n个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立,则则 P(A

10、1+An)也相互独立也相互独立 也就是说，也就是说，n个独立事件至少有一个发生个独立事件至少有一个发生的概率等于的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.例例 3 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立，由于各元件独立工作，有工作，有其中其中P(C+D+E

11、)=1-P(F+G)=1-P(W)0.782代入得代入得 例例 4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一机被一人击中而击落的概率为人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的被两人击中而击落的概率为概率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中,i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|

12、A3)则则 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1可求得可求得:为求为求P(Ai),设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中,i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.这一讲，我们介绍这一讲，我们介绍了事件独立性的概了事件独立性的概念念.不难发现，当事件相互独立时，乘法不难发现，当事件相互独立时，乘法公式公式变得十分简单，因而也就特别重要和变得十分简单，因而也就特别重要和有用有用.如果事件是独立的，则许多概率的如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化计算就可大为简化.