概率论和数理统计正交试验设计.ppt

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1、正交试验设计正交试验设计正交试验设计:处理多因素、多水平试验的一种有效的方法它处理多因素、多水平试验的一种有效的方法它利用利用一种规格化的数表一种规格化的数表正交表正交表，从全面试验中，从全面试验中挑选出部分有代表性挑选出部分有代表性的点进行试验的点进行试验，这些有代表性的点具备，这些有代表性的点具备“均匀分散、齐整可比均匀分散、齐整可比”的的特点，不仅使特点，不仅使试验次数大大减少试验次数大大减少，还，还便于便于进行进一步的进行进一步的统计分析统计分析在试验中在试验中,根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标指标.如：产品的质量参数（如重量

2、、尺寸、速度、温度、寿命等），如：产品的质量参数（如重量、尺寸、速度、温度、寿命等），也可以是成本、效率等，也可以是成本、效率等，按其性质来分可分为按其性质来分可分为定性指标和定量指标两类定性指标和定量指标两类通常我们研究的通常我们研究的是是定量指标定量指标.影响试验指标的试验条件影响试验指标的试验条件(要素或原因要素或原因)称为称为因素因素(或因子或因子)，因素在，因素在试验中所处的各种状态称为试验中所处的各种状态称为因素的水平因素的水平在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为可控因素可控因素由于由于自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控

3、制和调节自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节的因素（如气温、降雨量等）称为的因素（如气温、降雨量等）称为不可控因素不可控因素6.3正交试验设计正交试验设计注注:(1)在在正交试验正交试验中所考察的因素都是指中所考察的因素都是指可控因素可控因素，通常用，通常用大写英文字母大写英文字母A、B、C表示表示(2)在试验中在试验中,考虑几个状态，就称该因素为考虑几个状态，就称该因素为几水平因素几水平因素.例例6.8 为提高某化工产品的转化率，选取了三个有关因素做试验：为提高某化工产品的转化率，选取了三个有关因素做试验：反应温度，反应时间，两种原料的配比根据以往的经验，对每反应温度，反

4、应时间，两种原料的配比根据以往的经验，对每个因素分别取了三个不同的水平，如表所示问：应如何安排试个因素分别取了三个不同的水平，如表所示问：应如何安排试验？验？水平水平因素因素123A:反应温度反应温度(0C)607080B:反映时间反映时间(h)2.53.03.5C:C:原料配比原料配比1.111.1511.21试验试验:三个因素，每个因素均有三个水平三个因素，每个因素均有三个水平.如果采取全面试验法，总共就至少要做如果采取全面试验法，总共就至少要做27次试验而采用正交次试验而采用正交试验设计法，如果不考虑试验设计法，如果不考虑交互作用交互作用则最少只需要做则最少只需要做9次试验次试验.6.3

5、.2 正交表正交表正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格 正交表用符号正交表用符号 其中字母其中字母L表示正交表，其它表示正交表，其它3个字母表示个字母表示3个正整数个正整数.n 表示试验的次数，也是正交表的行数；表示试验的次数，也是正交表的行数；m 表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数；表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数；r 表示各因素的水平数表示各因素的水平数.列号列号试验号试验号1234567 111111112111222231221122412222115212121262122121722112

6、2182212112 列号列号试验号试验号1234111112122231333421235223162312731328321393321正交表正交表 正交表正交表 正交表具有如下正交表具有如下基本特点基本特点：（1）表中）表中任一列中任一列中，不同，不同数字数字出现的出现的次数相同次数相同如在表如在表L8(27)中，数字中，数字1,2在每列中均出现在每列中均出现4次次.（2）表中任）表中任两列两列，其，其横向横向形成的形成的有序数对有序数对出现的出现的次数相同次数相同如如表表L8(27)中任意两列，数字中任意两列，数字1,2间的搭配是均衡的间的搭配是均衡的.凡满足上述两个性质的表都称为凡满

7、足上述两个性质的表都称为正交表正交表.3水平以上的有水平以上的有常用的正交表，常用的正交表，2水平的有水平的有3水平的有水平的有一般正交表一般正交表 注：注：在多因素试验中，如果需要考虑因素间的在多因素试验中，如果需要考虑因素间的交互作用交互作用，还应当，还应当在正交表中安置交互作用列，每两个因素的交互作用需要安置在在正交表中安置交互作用列，每两个因素的交互作用需要安置在恰当的位置上，为此，每一个正交表都配有自己的恰当的位置上，为此，每一个正交表都配有自己的交互作用表交互作用表，以明确交互作用列的相应位置以明确交互作用列的相应位置 列列列列12345671(1)3254762(2)167453

8、(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)第第(2)、(5)两列的交互作用可查此表，先在对角线上查出列号两列的交互作用可查此表，先在对角线上查出列号(2)及及(5)，然后从，然后从(2)向右横看与从向右横看与从(5)向上竖看向上竖看交叉处是数字交叉处是数字“7”，就是说，第就是说，第(2)、(5)两列的交互作用列为第两列的交互作用列为第7列列.6.3.3 正交试验设计的基本方法正交试验设计的基本方法1）使用正交表安排试验）使用正交表安排试验选表选表:(1)根据根据因素的水平数因素的水平数，确定正交表的，确定正交表的类型类型（用几水平的（用几水平的表）；表）；(2)再根据再根据因

9、素因素（含交互作用）（含交互作用）数数，决定，决定选用多大的表选用多大的表 注：注：一般来说，要选用其一般来说，要选用其列数大于或等于因素个数列数大于或等于因素个数，而试验次，而试验次数又较少的正交表数又较少的正交表 在例在例6.8中，因诸因素的水平数都是中，因诸因素的水平数都是3，所以要选用，所以要选用Ln(3m)型表型表，这时，有这时，有L9(34)和和L27(313)可以备选；可以备选；又因共有又因共有3个因素个因素，所以若不考虑交互作用，可选用，所以若不考虑交互作用，可选用L9(34)；若考；若考虑所有因素间的虑所有因素间的交互作用交互作用，则应选用，则应选用L27(313)表头设计表

10、头设计:指的是将因素分别安排在所选的正交表的适当指的是将因素分别安排在所选的正交表的适当的列号上方其基本原则是同一列上至多只安排一个因素的列号上方其基本原则是同一列上至多只安排一个因素当不考虑交互作用时，诸因素可以当不考虑交互作用时，诸因素可以随机被安排在任一列上随机被安排在任一列上的；但的；但若考虑某两个因素的若考虑某两个因素的交互作用交互作用时，安排好这两个因素后，必须紧时，安排好这两个因素后，必须紧接着按照相应的接着按照相应的交互作用表交互作用表安排好它们的安排好它们的交互作用列交互作用列.安排试验安排试验:就是按照正交表中所列的水平号的组合安排实施试验就是按照正交表中所列的水平号的组合

11、安排实施试验注：注：在实际应用中，为了减少试验中由于先后掌握不匀所带来的在实际应用中，为了减少试验中由于先后掌握不匀所带来的干扰以及外界条件所引起的系统误差，试验干扰以及外界条件所引起的系统误差，试验可以不按照表上的试可以不按照表上的试验序号顺序进行验序号顺序进行，而是任意打乱顺序，而是任意打乱顺序，随机地安排先后次序随机地安排先后次序.例例6.9 在例在例6.8中，不考虑交互作用，试利用正交表为之安排试验中，不考虑交互作用，试利用正交表为之安排试验.解解 由于各因素的水平都是由于各因素的水平都是3，故考虑型，故考虑型Ln(3m)表；又共有三个因素表；又共有三个因素A、B、C，共需，共需3个列

12、，故选用正交表个列，故选用正交表L9(34).所以表头设计方案为所以表头设计方案为 列号列号1234因素因素ABC这样，依据这样，依据L9(34).，试验方案可安排如表，试验方案可安排如表6-18所示所示.因素因素试验号试验号反应温度反应温度A反应时间反应时间B原料配比原料配比C试验结果试验结果（%）11（600）1（2.5h）1(1.1:1)3821（60）2（3.0h）2(1.15:1)3731（60）3（3.5h）3(1.2:1)7642（70）1（2.5h）2(1.15:1)5152（70）2（3.0h）3(1.2:1)5062（70）3（3.5h）1(1.1:1)8273（80）1（

13、2.5h）3(1.2:1)4483（80）2（3.0h）1(1.1:1)5593（80）3（3.5h）2(1.15:1)862）正交试验结果的直观分析）正交试验结果的直观分析正交试验设计的正交试验设计的直观分析直观分析:要结合简单计算，将各因素、水平对试要结合简单计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过验结果指标的影响大小，通过极差分析极差分析，综合比较，确定出，综合比较，确定出最优最优的水平组合的水平组合有时也成为有时也成为极差分析法极差分析法.例例6.9中的试验结果转化率列在表中的试验结果转化率列在表6-18中的最右边一列中直接观中的最右边一列中直接观察知，在察知，在9次试验中，

14、以次试验中，以第第9次试验次试验的指标的指标86为最高，其生产条件为最高，其生产条件是是A3,B3,C3,但它是否就是我们要选的最优水平搭配呢？可以做如下但它是否就是我们要选的最优水平搭配呢？可以做如下进一步分析进一步分析.用用ki(i=1,2,r)表示表示各列中水平各列中水平i对应的各次试验结果之和对应的各次试验结果之和，如上例，如上例中的第一列的中的第一列的ki的大小的大小大致反映了该列所对应因素的第大致反映了该列所对应因素的第i水平水平对试验指标的对试验指标的“贡献贡献”大小再用大小再用R表示各列中最大的表示各列中最大的ki减去最小的减去最小的ki得到的差，称之为得到的差，称之为极差极差

15、，它反映了该列，它反映了该列因素的水平变化因素的水平变化对对试验结果的影响大小试验结果的影响大小，R越越大，说明这一因素对试验结果的影响越大大，说明这一因素对试验结果的影响越大.k1151133175=159k2183142174k3185244170R341115按照极差的大小顺序，可以排出因素的按照极差的大小顺序，可以排出因素的主次顺序为主次顺序为BA C（主（主次）次）由此说明，因素由此说明，因素B也即反应时间在三个因素中也即反应时间在三个因素中尤为重要尤为重要.注：注：选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关若试验选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关若试验指标要求越大越好指标要求越

16、大越好，则，则应选取指标大的水平应选取指标大的水平；反之，若希望；反之，若希望试验指标越小越好试验指标越小越好，应选取，应选取指标小的水平指标小的水平 在例在例6.9中，希望转化率越高越好，所以应在第中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的列选最大的k3=185所对应的水平，即取所对应的水平，即取水平水平A3；同理可选；同理可选B3C1故此，较故此，较好的水平搭配应是好的水平搭配应是A3 B3C1.注：注：如果我们分析得到的如果我们分析得到的较优水平组合不包括在较优水平组合不包括在已做的已做的9次试验中次试验中，通常还需要做通常还需要做验证试验验证试验，也即将所得的较优水平组合的条件与已

17、有，也即将所得的较优水平组合的条件与已有做的做的9次试验中结果较好的条件同时验证，以确定优劣次试验中结果较好的条件同时验证，以确定优劣 例例6.10 某橡胶配方考虑因素水平表如下某橡胶配方考虑因素水平表如下 因素因素水平水平促进剂总量促进剂总量A炭、墨品种炭、墨品种B硫磺粉量硫磺粉量C11.5甲甲2.522.5乙乙2.0试验指标为橡胶的抗弯曲次数（越多越好），要求考虑三因素试验指标为橡胶的抗弯曲次数（越多越好），要求考虑三因素间的交互作用，问至少需要做多少次试验，并安排好试验方案间的交互作用，问至少需要做多少次试验，并安排好试验方案.解解 由于各因素的由于各因素的水平都是水平都是2，故考虑型表

18、，故考虑型表Ln(2m)；又共有；又共有三个三个因素因素，加，加3个交互作用个交互作用共个因子需要至少共个因子需要至少6列，故选用正交表列，故选用正交表L8(27).参照相应的交互作用表，表头设计方案为参照相应的交互作用表，表头设计方案为列号列号1234567因子因子ABA BCA CB C故按照这一设计，至少需要做故按照这一设计，至少需要做8次试验，试验方案如表次试验，试验方案如表6-20所示所示 因素因素试验号试验号促进剂总促进剂总量量A炭、墨品炭、墨品种种B硫磺粉量硫磺粉量C试验结试验结果果（%）11（1.5）1（甲）（甲）1(2.5)21（1.5）1（甲）（甲）2(2.0)31（1.5

19、）2（乙）（乙）1(2.5)41（1.5）2（乙）（乙）2(2.0)52（2.5）1（甲）（甲）1(2.5)62（2.5）1（甲）（甲）2(2.0)72（2.5）2（乙）（乙）1(2.5)82（2.5）2（乙）（乙）2(2.0)例例6.11 如果按例如果按例6.10所给方案实施试验，所得试验结果（弯曲次数所给方案实施试验，所得试验结果（弯曲次数yi）按试验号顺序对应依次为）按试验号顺序对应依次为(单位：万次单位：万次)：1.5 2.0 2.0 1.5 2.0 3.0 2.5 2.0；试用极差分析法对该结果做出分析，并确定最佳工艺条件；试用极差分析法对该结果做出分析，并确定最佳工艺条件 因素因素

20、试验号试验号促进剂促进剂总量总量A炭、墨炭、墨品种品种B交互交互作用作用A B硫磺粉量硫磺粉量C交互交互作用作用A C交互作用交互作用B C试验结果试验结果（万次）（万次）11（1.5）1（甲）（甲）11(2.5)111.521（1.5）1（甲）（甲）12(2.0)222.031（1.5）2（乙）（乙）21(2.5)122.041（1.5）2（乙）（乙）22(2.0)211.552（2.5）1（甲）（甲）21(2.5)212.062（2.5）1（甲）（甲）22(2.0)123.072（2.5）2（乙）（乙）11(2.5)222.582（2.5）2（乙）（乙）12(2.0)112.0k178.5

21、888.57 yi=16.5k29.588.58.589k1-k2-2.50.5-0.5-0.50.5-2.5可见可见因素因素A与与交互作用交互作用B C的的极差极差|k1-k2|明显最大明显最大，说明它们对试，说明它们对试验指标的影响最为显著；由于因素验指标的影响最为显著；由于因素A的的k2大于大于k1，故应选，故应选第第2水平水平A2由于由于B C重要，此时重要，此时不能分别单独考虑因素不能分别单独考虑因素B与与C的情况的情况，而应把，而应把它们的不同水平组合的试验结果进行比较，看哪一组合最好它们的不同水平组合的试验结果进行比较，看哪一组合最好B与与C的不同水平共有四个组合，如在第一组合的

22、不同水平共有四个组合，如在第一组合B1C1下，共对应第号和下，共对应第号和第号试验两个试验结果，分别是第号试验两个试验结果，分别是1.5和和2.0，它们的，它们的平均值为平均值为1.75；同理，可得到其它三个组合试验结果的平均值分别为：同理，可得到其它三个组合试验结果的平均值分别为：B1C2：2.5，B2C1:2.25，B2C2:1.75比较可知，比较可知，组合最佳组合最佳B1C2综上分析，我们得到最佳工艺条件应为综上分析，我们得到最佳工艺条件应为 A2B1C2注：注：表表6-21中交互作用所在列的水平数虽然对试验方案不产生任中交互作用所在列的水平数虽然对试验方案不产生任何影响，但对试验结果的

23、分析却尤为重要，这一点在下面的方差何影响，但对试验结果的分析却尤为重要，这一点在下面的方差分析中也很明显分析中也很明显.3）正交试验结果的方差分析）正交试验结果的方差分析直观分析法优点：直观分析法优点：简单易懂，应用方便简单易懂，应用方便.通常，应用这种简便的通常，应用这种简便的方法，生产实际中的一般问题能得到处理方法，生产实际中的一般问题能得到处理.直观分析法缺点：直观分析法缺点：不能估计试验过程中以及试验结果测定中所存不能估计试验过程中以及试验结果测定中所存在的在的误差的大小误差的大小，因而不能区分某因素个水平所对应的试验结果，因而不能区分某因素个水平所对应的试验结果间的差异究竟是真正由间

24、的差异究竟是真正由因素水平不同因素水平不同所引起的，还是由所引起的，还是由试验误差试验误差所引起的所引起的，因此不能知道，因此不能知道分析的精度分析的精度.解决方案：解决方案：可以采用可以采用方差分析方差分析的方法进行深入的统计分析，具体的方法进行深入的统计分析，具体就是通过对试验结果的就是通过对试验结果的总离差平方和的分解与分析总离差平方和的分解与分析，检验各因素、，检验各因素、各交互作用对试验指标的影响是否显著各交互作用对试验指标的影响是否显著总离差平方和总离差平方和 总离差平方和总离差平方和 分解分解其中为其中为Sj因子因子j(包括交互作用包括交互作用)相应的离差平方和若记相应的离差平方

25、和若记kij为因为因子子j的第的第i水平的所有试验结果之和，水平的所有试验结果之和，r为各因子的水平数为各因子的水平数 当当r=2时有时有 就是前面我们定义的就是前面我们定义的第第j列的极差列的极差，也称为，也称为因子因子j的效应的效应 现在对应的是多因素（当现在对应的是多因素（当r=2时，就是双因素）的问题，问题时，就是双因素）的问题，问题的假设类同式的假设类同式(6-14)，而检验得理论依据则类同于式，而检验得理论依据则类同于式(6-20)fj和和fe分别为分别为Sj和和Se的自由度，的自由度，fj=r-1，则，则fe等于等于ST的自由度（总的自由度（总试验次数试验次数-1）例例6.12（

26、续例（续例6.11）利用方差分析法对例）利用方差分析法对例6.11给出的试验结给出的试验结果做出分析，并确定最佳工艺条件果做出分析，并确定最佳工艺条件 解解 在表在表6-21的基础上继续加行运算，如表的基础上继续加行运算，如表6-22所示所示因素因素试验试验号号促进剂促进剂总量总量A炭、墨品炭、墨品种种B交互作交互作用用A B硫磺粉硫磺粉量量C交互作交互作用用A C交互交互作用作用B C试验结果试验结果（万次）（万次）11（1.5）1（甲）（甲）11(2.5)111.521（1.5）1（甲）（甲）12(2.0)222.031（1.5）2（乙）（乙）21(2.5)122.041（1.5）2（乙）

27、（乙）22(2.0)211.552（2.5）1（甲）（甲）21(2.5)212.062（2.5）1（甲）（甲）22(2.0)123.072（2.5）2（乙）（乙）11(2.5)222.582（2.5）2（乙）（乙）12(2.0)112.0k1j78.5888.57 yi=16.5k2j9.588.58.589k1j-k2j-2.50.5-0.5-0.50.5-2.50.781250.031250.031250.031250.031250.78125 yi2=5.75为了避免因方差分解过细而导致为了避免因方差分解过细而导致F值相对偏小的情况以提高精值相对偏小的情况以提高精度，我们可以把其中度，我

28、们可以把其中F值明显偏小的因子，如值明显偏小的因子，如SA B、SA C合并合并到到Se中再进行分析做方差分析表如下中再进行分析做方差分析表如下方差来方差来源源平方和平方和自由自由度度均方均方F比比显著显著性性ASA=0.781251 10.7812525*BSB=0.031251 10.031251CSC=0.031251 10.031251B CSBC=0.781251 10.7812525*误差误差Se=0.093753 30.03125总和总和QT=1.718757 7所以认为炭、墨品种和硫磺粉量两个因素对橡胶抗弯曲次数所以认为炭、墨品种和硫磺粉量两个因素对橡胶抗弯曲次数的影响不显著，而促进剂总量的影响比较显著，炭、墨品种的影响不显著，而促进剂总量的影响比较显著，炭、墨品种和硫磺粉量的和硫磺粉量的交互作用的影响也比较显著交互作用的影响也比较显著.