概率论与数理统计浙大四版第二章2讲.ppt

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1、离散型随机变量离散型随机变量 设设X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，它它可可能能取取的值是的值是 x1,x2,.为了描述随机变量为了描述随机变量 X，我们不仅需，我们不仅需要知道随机变量要知道随机变量X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X取每个值的概率取每个值的概率.这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为例例1且且一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义

2、一般地，我们给出如下定义一般地，我们给出如下定义:其中其中 (k=1,2,)满足：满足：k=1,2,（1）（2）定定义义1：设设xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机变量机变量X所取的一切可能值，称所取的一切可能值，称 k=1,2,为为离离散散型型随随机机变变量量X的的概概率率函函数数或或分分布布律，也称概率分布律，也称概率分布.用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数解解:依据概率函数的性质依据概率函数的性质:P(X=k)0,a0从中解得从中解得欲使上述函数为概率函数欲使上述函数为概率函数应有应有这里用到了常见的这里用到了常见的幂级数展开式幂级数展开式

3、例例2.设随机变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.二、表示方法二、表示方法（1）列表法：）列表法：（2）图示法）图示法（3）公式法）公式法X再看例再看例1任取任取3 个球个球X为取到的白球数为取到的白球数X可能取的值可能取的值是是0,1,20.10.30.6kPK012三、举例三、举例例例3.某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求，求他两次独立投篮投中次数他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取可取0、1、2为值为值 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0

4、.18 P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示为：常常表示为：这就是这就是X的概率分布的概率分布.例例4.某某射射手手连连续续向向一一目目标标射射击击，直直到到命命中中为为止止，已已知知他他每每发发命命中中的的概概率率是是p，求求所所需需射射击击发数发数X 的概率函数的概率函数.解解:显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2,，P(X=1)=P(A1)=p,为计算为计算 P(X=k)，k=1,2,，Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是可见可见这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的概率函数的概率函数.P

5、(X=1)=P(A1)=p,Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是 若若随随机机变变量量X的的概概率率函函数数如如上上式式，则则称称X具有具有几何分布几何分布.不难验证不难验证:例例5.一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号灯灯显显示示的的时时间间相相等等.以以X表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数，求求X的的概概率率分分布布.解解:依题意依题

6、意,X可取值可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设路口路口1路口路口2路口路口3P(X=1)=P()=1/4 P(X=2)=P()=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口1路口路口2路口路口3路口路口1路口路口2路口路口3Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设=1/8P(X=3)=P()路口路口1路口路口2路口路口3即即不难看到不难看到X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红

7、灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设 解：每个分子的运动是解：每个分子的运动是相互独立的，在左边还相互独立的，在左边还是右边是等可能的是右边是等可能的,概概率都是率都是0.5.例例6.N个个可可以以辨辨认认的的分分子子，在在一一容容器器内内自自由由运运动动，如如今今从从中中隔隔开开，观观察察左左边边分分子子的的个个数数，试求其概率分布试求其概率分布.设左边分子的个数为设左边分子的个数为X，我们来求我们来求X取每个值的概率取每个值的概率.X可取可取0,1,N为值为值，设左边分子的个数为设左边分子的个数为X，P(X=k)=k=0,1,NX可取可取0,1,N为值为值，共共N个分子个分子某固定某固定k个

8、分子在左端，其余个分子在左端，其余N-k个分子在右端的概率是个分子在右端的概率是(0.5)k(0.5)N-k左端有左端有k个分子的所有情况数为个分子的所有情况数为从从N个不同元个不同元素中取素中取k个的组合，个的组合，即即 种种.于是于是 只要知道了随机变量的概率分布，就只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率可以计算与该随机变量有关的事件的概率.P(X=k)k=0,1,N可以验证：可以验证：例例7.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元元.因代营业务，每天加油

9、站要多付给职工因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费服务费60元元.设每天出租汽车数设每天出租汽车数 X是一个随是一个随机变量，它的概率分布如下：机变量，它的概率分布如下：求因代营业务得到的收入大于当天的额外求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率支出费用的概率.分析：加油站代营每出租一辆车，可得分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元元.每天出租汽车数为每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入，因代营业务得到的收入为为3 X元元.每天加油站要多付给职工服务费每天加油站要多付给职工服务费60元，即元，即当天的额外支出费用当天的额外支出费用.因代营业务得到的收入大于当天的额外因代营业务

10、得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：支出费用的概率为：P3X60即即 PX20注意到注意到 也就是说，加油站因代营业务得到的收也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.PX20=PX=30+PX=40=0.6 二 常见离散型随机变量 的分布律设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分它的分布律为布律为则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 例：从全国的新生儿中随机抽取一个，记录其性别值Y(0表示男，1表示女)，则Y服从01分布。PY=0表示男孩的概率。将试

11、验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立的相互独立的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1)重复独立试验重复独立试验2.二项分布二项分布(2)n 重重伯努利试验伯努利试验 实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点

12、点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3)二项概率公式二项概率公式且两两互不相容且两两互不相容.称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形例8 已知一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率。解：不放回抽样，因元件数量大，抽取数目小，可以作放回抽样处理。设20只元件的一级品数为X,则X b(20,0.2)图示概率分布图示概率分布3 泊松分布(PoissonDistribution)泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及

13、应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次

14、数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布小结 对于离散型随机变量，如果知道了它的对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律.在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说 这一讲，我们介绍了离散型随机变量及这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布其概率分布

15、.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.下一讲，我们将向大家介绍另一种类下一讲，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量型的随机变量-连续型随机变量的描述连续型随机变量的描述方法方法.有趣的幻方幻方起源于我国，相传，远古时有神龟浮现于洛水，背上有按规律排布的花点，谓之洛书，后世人称九宫图，杨辉称九宫图以及由此而演生的类似数表为纵横图。此后，我国陆续有一些数学家，编制出了行列更多的纵横图。传至欧洲后，也引起了人们极大的兴趣，进而又不局限于方阵排列，出现了排列于圆、三角形等图形上的数字排布图。但这些都是作为一种益智游戏而进行研究的。近代，一些学者深入研究了幻方的编造

16、原理和其中蕴涵的数学关系，当在电子计算机、图论等方面有了一些应用之后，更引起了人们的注意，成为组合数学的研究内容。有趣的幻方1341179114761566183612061701143116111521174612961386165612511881发现我的奇妙了吗?6174练习：练习：为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人(工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题所需解决的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8练习题答案123 设三边长x,y,l-x-y,则能构成三角形的充要条件为-x-y，