概率论与数理统计课件第10章.ppt

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1、 MINITAB软件的使用简介软件的使用简介 MINITAB软件包概述软件包概述 MINITAB数据的输入、输出和编辑数据的输入、输出和编辑 MINITAB 基本统计命令基本统计命令 MINITAB 概率计算概率计算 MINITAB 参数区间估计参数区间估计 MINITAB 假设检验假设检验 MINITAB 方差分析方差分析 MINITAB 线性回归分析线性回归分析 MINITAB软件的使用简介软件的使用简介 MINITAB软件包概述软件包概述 MINITAB数据的输入、输出和编辑数据的输入、输出和编辑 MINITAB 基本统计命令基本统计命令 MINITAB 概率计算概率计算 MINITAB

2、 参数区间估计参数区间估计 MINITAB 假设检验假设检验 MINITAB 方差分析方差分析 MINITAB 线性回归分析线性回归分析u单个正态总体方差单个正态总体方差已知，对均值已知，对均值的检验的检验 MINITAB中中“Z”“U”u单个正态总体方差未单个正态总体方差未知，对均值知，对均值的检验的检验u两个正态总体均两个正态总体均值检验与两均值差值检验与两均值差的区间估计的区间估计 n MINITAB 假设检验假设检验 u标准差的检验标准差的检验需要编算式计算需要编算式计算有关有关统计量的值统计量的值和和临界值临界值.MINITAB 假设检验举例假设检验举例 P138 例例2 没有提供原

3、始数据，提供了一些中间结果，需编没有提供原始数据，提供了一些中间结果，需编算式求相应的统计量，计算出临界值算式求相应的统计量，计算出临界值(两种方法两种方法)，比较，比较再得结论再得结论.P141 例例4本题做单侧检验本题做单侧检验.操作步骤如下：操作步骤如下：输入原始数据输入原始数据,并命名为并命名为bbbb；选择命令选择命令StatBasic Statistics1-Sample t出现如下对话框：出现如下对话框：(说明以下步骤及需注意问题说明以下步骤及需注意问题)MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)续续P141 例例4在每个对话框填好在每个对话框填好相应的选项后，点相应的选项

4、后，点击击OKOK即可即可.运行结果要相应地改动运行结果要相应地改动.MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)P146 P147例例8 两正态总体方差相等，两正态总体方差相等，对均值的检验对均值的检验.输入原始数据两种方法：输入原始数据两种方法：方法方法1 1两总体下的两总体下的数据输在同数据输在同一列，另用一列，另用一列指明各一列指明各数据分别是数据分别是哪个总体的哪个总体的.方法方法2 2两总体的两总体的数据各输数据各输在一列在一列.MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)选择命令选择命令StatBasic Statistics2-Sample t出现如下对出现如下对话框话

5、框:(说明说明以下步骤及以下步骤及注意问题注意问题)续续P146 P147例例8 MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)P149 P150例例9 未知均值对方差的检验未知均值对方差的检验 数据可直接在数据可直接在Worksheet中输入；中输入；编算式算出编算式算出 求出求出F(8,9)F(8,9)的双侧的双侧0.10.1分位数分位数(两方法）两方法）.作结论作结论.说明：说明：MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)P149 P150例例9 未知均值对方差的检验未知均值对方差的检验 数据可直接在数据可直接在Worksheet中输入；中输入；编算式算出编算式算出 求出求出F(

6、8,9)F(8,9)的双侧的双侧0.10.1分位数分位数(两方法）两方法）.作结论作结论.说明：说明：MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)P245 P246例例4 做单侧检验做单侧检验.类似于类似于P141 例例4.注意：不选该项注意：不选该项，因为方差不等因为方差不等运行结果要相应地改动运行结果要相应地改动.MINITAB 假设检验举例假设检验举例(续续)P247例例5 (配对试验条件下两总体均值的检验配对试验条件下两总体均值的检验)的的 简单操作方法：简单操作方法：输入数据输入数据,并分别命名为并分别命名为a,b(见教材见教材P247)；选择选择StatBasic Statis

7、ticsPaired t 在在Fisrt Sample 栏：键入栏：键入a在在Second Sample 栏：键入栏：键入b 点击点击OK.n MINITAB 方差分析方差分析 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析或或StatANOVAOne-way(Unstacked)(单因素各水平下的试验数据各放一列，而不在同一列时）单因素各水平下的试验数据各放一列，而不在同一列时）双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 无交互作用双因素试验的方差分析无交互作用双因素试验的方差分析StatANOVATwo-way 有交互作用双因素试验的方差分析有交互作用双因素试验的方差分析StatANOVABala

8、nced ANOVAStatANOVAOne-way(单因素各水平下的试验数据放在同一列时）单因素各水平下的试验数据放在同一列时）MINITAB 方差分析举例方差分析举例P171 P172例例3：单单因素试验方差分析因素试验方差分析 输入原始数据，见图输入原始数据，见图；在出现的对话框中的在出现的对话框中的Responses(in separate columns)栏中，键入栏中，键入A1 A2 A3;选择命令选择命令 StatANOVAOne-way(Unstacked)点击点击OK.方法方法1 1 MINITAB 方差分析举例方差分析举例(续续)P171 P172例例3：输入原始数据：将各

9、水平下的数据全输在一列，各输入原始数据：将各水平下的数据全输在一列，各数据对应的水平数输在另一列，并取名，如数据对应的水平数输在另一列，并取名，如e1,e2;在出现的对话框中的在出现的对话框中的Response 栏中，键入数据栏中，键入数据所在列名所在列名e1，Factor 栏中键入数据水平数所在栏中键入数据水平数所在列名列名e2;选择命令选择命令 StatANOVAOne-way 点击点击OK.方法方法2 2 MINITAB 方差分析举例方差分析举例(续续)P177 P178例例1：无交互作用单因素试验方差分析无交互作用单因素试验方差分析 输入原始数据：把全部试输入原始数据：把全部试验数据输

10、在第一列，把各数验数据输在第一列，把各数据所在行因素的水平数对应据所在行因素的水平数对应地输在第二列，所在列因素地输在第二列，所在列因素的水平数对应地输在第三列，的水平数对应地输在第三列，并命名，如并命名，如A1,A2,A3,见图；见图；在出现的对话框中的在出现的对话框中的Response 栏中，键入栏中，键入A1，在在 Row Factor栏中键入栏中键入A2,在在 Column Factor栏中栏中键入键入A3;选择命令选择命令 StatANOVATwo-way 点击点击OK.MINITAB方差分析举例方差分析举例(续续)P183 P185例例2：有有交互作用单因素试验交互作用单因素试验方

11、差分析方差分析 输入原始数据：方法输入原始数据：方法同同P177 P178例例1.在出现的对话框中的在出现的对话框中的Response 栏中，键入栏中，键入a1;在在Model栏中键入栏中键入a2|a3;选择选择Results.出出现对话框：现对话框：选择命令选择命令StatANOVABalanced ANOVA选中选中“Univariate analysis of variance”项，在项，在“Display means corresponding to the terms”栏中键栏中键入入a2|a3;在每个对话框在每个对话框中点击中点击OK.n MINITAB 方差分析方差分析(续续)正

12、交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析ANCOVA命令格式：命令格式：ANCOVA model;子命令：子命令：COVARIATESFITSRESIDUALSTESTMEAN 等等等等.其中模型其中模型(model)的选择格式与的选择格式与(ANOVA)的模的模型的选择格式类似型的选择格式类似.详细用法可用详细用法可用help菜单或命令：菜单或命令：help ancova 查询查询.方法方法1MINITAB正交试验设计方差分析举例正交试验设计方差分析举例P192 P197例例2.MINITAB 操作步骤如下：操作步骤如下：输入数据，见下图输入数据，见下图.MINITAB正交试验设计方差分析

13、举例正交试验设计方差分析举例(续续)切换到命令提示符状态；切换到命令提示符状态；输入命令：输入命令：MTBANCOVA C7=C1 C2 C1*C2 C4 C1*C4 C6?(?(MTBANCOVA C7=C1|C2 C1|C4 C6)或或MTBANCOVA C7=C1 C2 C1*C2 C4 C1*C4 C6；SUBCMEAN C1 C2 C1*C2 C4 C1*C4 C6.“*”与与“|”：显示结果：显示结果：或或?MTBANCOVA C7=C1|C2 C1|C4 C6；SUBCMEAN C1|C2 C1|C4 C6.MINITAB正交试验设计方差分析举例正交试验设计方差分析举例(续续)输

14、出结果解析：输出结果解析：去掉去掉FANCOVA C7=C1|C4 C2;SUBCMEAN C1|C4 C2.等价于等价于MTB ANCO C7=C1 C4 C1*C4 C2;SUBCMEAN C1 C4 C1*C4 C2.也可以不带子命令也可以不带子命令.显示结果：显示结果：输出结果解析输出结果解析.方法方法2 方差分析法方差分析法 基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方和，构造和，构造F统计量，对各因素是否对试验指标具有统计量，对各因素是否对试验指标具有显著影响

15、，作显著影响，作F检验。检验。要求：能利用要求：能利用MINITAB完成正交试验的方差分析。完成正交试验的方差分析。P192-197 例例2的上机操作的上机操作按正交表及试验结果输入数据。按正交表及试验结果输入数据。注意注意:(1)这里这里A*B和和A*C不能双击列出不能双击列出,否则不显示其交互作用否则不显示其交互作用.(2)多个因素的方差分析中交互作用多个因素的方差分析中交互作用 用用”*”,不用不用”|”.要直接输入要直接输入,与刚才一样与刚才一样.说明说明FA*B及及FD的值均小于的值均小于1,表示这两个因素对指标的影表示这两个因素对指标的影响比试验误差还小响比试验误差还小,故把它归故

16、把它归入试验误差入试验误差,则可突显其它因则可突显其它因子的影响。子的影响。去掉因子去掉因子A*B 和和D再分析再分析从从P值可知值可知,A因素的影响力最大因素的影响力最大,B次之次之,再次是交互作用再次是交互作用A*C,按此顺序按此顺序,根据各相关因子各水根据各相关因子各水平的均值确定最优策略平的均值确定最优策略.从均值看来从均值看来A中选中选A1,B中中B2,C根据根据A*C选选C1,D无统计意义无统计意义可任选可任选.于是最优方案为于是最优方案为A1B2C1D1或或A1B2C1D2.n MINITAB线性回归分析线性回归分析l散点图的画法：散点图的画法：从从MINITAB菜菜单中选择命令

17、：单中选择命令：GraphPlot如图如图.输入原始数据后，输入原始数据后，自变量数据列名自变量数据列名因因变变量量数数据据列列名名 显示数据对显示数据对的散点图的散点图.(此为默认设置此为默认设置)其他选项或设置其他选项或设置可据需要完成的功能可据需要完成的功能选用或改变选用或改变.n MINITAB线性回归分析线性回归分析 要建立一元或多重线性回归方程，从要建立一元或多重线性回归方程，从MINITAB菜单中选择命令：菜单中选择命令：StatRegressionRegression在出现的对话框中填入所需信息即可在出现的对话框中填入所需信息即可.l 一元或多重线性回归方程的建立一元或多重线性

18、回归方程的建立StatRegressionRegression下有两个画图命令：下有两个画图命令：Fitted Line Plot、Residual Plots 试用之试用之.l 可线性化的一元非线性回归可线性化的一元非线性回归通过适当的变换，化为线性回归通过适当的变换，化为线性回归.(一元时：在一元时：在Predictors栏中键入栏中键入一个一个自变量数据列名自变量数据列名；多元时：在多元时：在Predictors栏中键入栏中键入多个多个自变量数据列名自变量数据列名)MINITAB线性回归分析举例线性回归分析举例P210P212 例例3.的的 MINITAB 操作步骤如下：操作步骤如下：输

19、入原始数据；输入原始数据；(方法：方法：)选择命令：选择命令：StatRegressionRegression 在在Response栏中键栏中键入入y(因变量数据列名因变量数据列名)；如图如图.点击点击Options;在在Predictors栏中键栏中键入入x(自变量数据列名自变量数据列名)；在出现的对话框的在出现的对话框的Prediction intervals for new observations栏中，键入栏中，键入22；在每个对话框中点击在每个对话框中点击OK.MINITAB线性回归分析举例线性回归分析举例(续续)P210P212 例例3.的的MINITAB 操作：操作：上述操作的显

20、示结果包括：上述操作的显示结果包括：回归方程；回归方程；回归系数的统计检验；回归系数的统计检验；方差分析、回归方程的统计检验；方差分析、回归方程的统计检验；对给定的自变量对给定的自变量(22)，因变量，因变量Y的预测值、的预测值、Y的预测的预测值标准差、值标准差、95%的置信区间的置信区间C.I、95%的预测区间的预测区间P.I.结果解析：结果解析：MINITAB线性回归分析举例线性回归分析举例(续续)可线性化的一元非线性回归举例可线性化的一元非线性回归举例MINITAB计算器的使用：计算器的使用：选择命令：选择命令：CalcCalculator，出现以下对话框：出现以下对话框：例如，在例如，

21、在Expression栏中键栏中键入入1/C3，在在Store result in variable栏中键入栏中键入C4，运行结果为：运行结果为：把把C3中中各数据的倒数计算出各数据的倒数计算出来，存放在来，存放在C4列中列中.MINITAB线性回归分析举例线性回归分析举例(续续)MINITAB的几个常用函数：的几个常用函数：自然对数函数：自然对数函数：log(自变量自变量)常用对数函数：常用对数函数：logT(自变量自变量)以以e为底的指数函数：为底的指数函数：expo(自变量自变量)其他的需要用时可再查其他的需要用时可再查.MINITAB线性回归分析举例线性回归分析举例(续续)P213P2

22、16 例例.可线性化的一元非线性回归的可线性化的一元非线性回归的MINITAB 操作：操作：输入原始数据；输入原始数据；(把自变量、因变量的值各输在把自变量、因变量的值各输在 一列，分别命名为一列，分别命名为t，t1)选择命令：选择命令：CalcCalculator；在在Store result variable栏中，键入栏中，键入w1；在在Expression栏中栏中，键入键入log(t1/1108/(1-t1/1108)；选择命令：选择命令：StatRegressionRegression；在在Response栏中，键入栏中，键入w1；在在Predictors栏中，键入栏中，键入t；点击点

23、击OK.结果解析：结果解析：变量回代：变量回代：P213P216 例例.的的MINITAB 操作操作(续续)：注意：注意：以上得到的是以上得到的是与与t之间的线性回归方程之间的线性回归方程不是要求的不是要求的 与与t的回归方程的回归方程.还必须进行变量回代！还必须进行变量回代！由由lnA=5.65得，得，A=e5.65=284.291利用利用CalcCalculator计算计算=0.0950变量回代：变量回代：所以所求回归方程为所以所求回归方程为MATLAB简介MATLABMATLAB是是MATrixMATrix LABoratoryLABoratory 的缩写，是由美国的缩写，是由美国Mat

24、hWorksMathWorks公司开发的工程计算软件，迄今公司开发的工程计算软件，迄今MATLABMATLAB已已推出了推出了6.56.5版版.1984.1984年年MathWorksMathWorks公司正式将公司正式将MATLABMATLAB推推向市场，从这时起，向市场，从这时起，MATLABMATLAB的内核采用的内核采用C C语言编写，语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能能.在国际学术界，在国际学术界，MATLABMATLAB已经被确认为准确、可靠已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件的科学计算标准软件.在设计研究单

25、位和工业部门，在设计研究单位和工业部门，MATLABMATLAB被认作进行高效研究、开发的首选软件工具被认作进行高效研究、开发的首选软件工具.MATLAB的功能MATLABMATLAB产品组是从支持概念设计、算法开发、建模仿真，产品组是从支持概念设计、算法开发、建模仿真，到实时实现的集成环境，可用来进行：到实时实现的集成环境，可用来进行：数据分析数据分析数值与符号计算数值与符号计算工程与科学绘图工程与科学绘图控制系统设计控制系统设计数字图像信号处理数字图像信号处理建模、仿真、原型开发建模、仿真、原型开发财务工程、应用开发、图形用户界面设计财务工程、应用开发、图形用户界面设计MATLAB语言特点

26、编程效率高，允许用数学的语言来编写程序编程效率高，允许用数学的语言来编写程序用户使用方便，把程序的编辑、编译、连接和执行融为一体用户使用方便，把程序的编辑、编译、连接和执行融为一体高效方便的矩阵和数组运算高效方便的矩阵和数组运算语句简单，内涵丰富语句简单，内涵丰富扩充能力强，交互性，开放性扩充能力强，交互性，开放性方便的绘图功能方便的绘图功能该软件由该软件由c c语言编写，移植性好语言编写，移植性好MATLAB的环境菜单项；菜单项；工具栏；工具栏；【Command WindowCommand Window】命令窗口；命令窗口；【Launch PadLaunch Pad】分类帮助窗口；分类帮助窗

27、口；【WorkspaceWorkspace】工作区窗口；工作区窗口；【Command HistoryCommand History】指令历史记录窗口；指令历史记录窗口；【Current DirectoryCurrent Directory】当前目录选择窗口；当前目录选择窗口；l MATLAB操作窗口操作窗口双击桌面快捷键，启动软件。双击桌面快捷键，启动软件。接受命令的窗口接受命令的窗口M文件的编写与应用文件的编写与应用 MATLAB的的M文件就是用户把要实现的命令写在文件就是用户把要实现的命令写在一个以一个以m作为文件扩展名的文件中，然后由作为文件扩展名的文件中，然后由MATLAB系统进行解释

28、，运行出结果。即为实现某种功能的系统进行解释，运行出结果。即为实现某种功能的命命令集令集。从而使得。从而使得MATLAB具有强大的可开发性与可扩具有强大的可开发性与可扩展性。展性。MATLAB是由是由C语言开发而成，因此，语言开发而成，因此，M文件的文件的语法规则与语法规则与C语言几乎完全一样。语言几乎完全一样。M文件可在命令窗口直接调用，只需键入文件名。文件可在命令窗口直接调用，只需键入文件名。不在命令窗口显示结果不在命令窗口显示结果调用调用M文件文件shili.m MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 1、求函数值、求函数值 例例1 在命令窗口中键入表达式在命令窗口中键入表达式并求

29、并求 时的函数值。时的函数值。x=2,y=4z=x2+exp(x+y)-y*log(x)-3x=2y=4z=401.6562命令窗口显示结果：命令窗口显示结果：例例2 用循环语句编写用循环语句编写M文件计算文件计算ex的值，其中的值，其中x,n为输入为输入变量，变量，ex的近似表达式为的近似表达式为function y=e(x,n)y=1;s=1;for i=1:n s=s*i;y=y+xi/s;endy y=e(1,100)ans=y y=2.7183调用函数调用函数M文件文件MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 2、求极限、求极限 例例3 求极限求极限 syms n;limit(s

30、qrt(n+sqrt(n)-sqrt(n),n,inf)ans=1/2LIMIT Limit of an expression.LIMIT(F,x,a)takes the limit of the symbolic expression F as x-a.LIMIT(F,x,a,right)or LIMIT(F,x,a,left)specify the direction of a one-sided limit.定义符号变量定义符号变量MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 3、求导数、求导数 例例4 设设，求，求 syms x y=10 x+x10+log(x)y=x10+10 x+

31、log(x)diff(y)ans=10*x9+10 x*log(10)+1/x定义定义X为符号变量为符号变量 求求 Difference：差分：差分 Differential：微分的：微分的 例例5 设设 求求 syms x;y=log(1+x);a=diff(y,x,2)a=-1/(1+x)2 x=1;eval(a)ans=-0.2500求求 求求 将符号表达式将符号表达式转换成数值表达式转换成数值表达式例例6 设设 ，求，求 syms x y;z=exp(2*x)*(x+y2+2*y);a=diff(z,x)b=diff(z,y)c=diff(z,x,2)d=diff(z,y,2)e=di

32、ff(a,y)a=2*exp(2*x)*(x+y2+2*y)+exp(2*x)b=exp(2*x)*(2*y+2)c=4*exp(2*x)*(x+y2+2*y)+4*exp(2*x)d=2*exp(2*x)e=2*exp(2*x)*(2*y+2)MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 4、求极值和零点、求极值和零点 例例7 已知已知，求，求 （1）函数的零点；（）函数的零点；（2）函数在）函数在-1，2上的最小值上的最小值 fzero(3*x5-x4+2*x3+x2+3,0)ans=-0.8952 起始点起始点 函数函数 命令函数命令函数 fminbnd(3*x5-x4+2*x3+x2+

33、3,-1,2)ans=-1.1791e-005MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 4、求极值和零点、求极值和零点 ，求，求 例例8 已知已知 函数在点（函数在点（1，-1，0）附近的最小值）附近的最小值 X,FVAL=FMINSEARCH(x(1)2+2.5*sin(x(2)-x(3)*x(1)*x(2)2,1-1 0)X=0.0010 -1.5708 0.0008FVAL=-2.5000MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 5、求积分、求积分 例例9 求不定积分求不定积分 int(cos(2*x)*cos(3*x)ans=1/2*sin(x)+1/10*sin(5*x)例例

34、10 求定积分求定积分 Integrate：积分：积分 eval(int(x2*log(x),1,exp(1)ans=4.5746 x=1:0.01:exp(1);y=x.2.*log(x);trapz(x,y)ans=4.5137例例10 求定积分求定积分 int(exp(-x2/2),0,1)ans=1/2*erf(1/2*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)x=0:0.01:1;y=exp(-x.2/2);trapz(x,y)ans=0.8556 y=exp(-x.2/2);quadl(y,0,1)ans=0.8556变步长数值积分变步长数值积分 梯形法数值积分梯形法数值积分 MA

35、TLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 5、求积分、求积分 例例11 求二重积分求二重积分 syms x y;f=y2/x2;int(int(f,x,1/2,2),y,1,2)ans=7/2符号积分符号积分 f=(y.2)./(x.2);dblquad(f,1/2,2,1,2)ans=3.5000数值计算数值计算 MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 6、解微分方程、解微分方程 例例12 计计算初算初值问题值问题：dsolve(Dy=x+y,y(0)=1,x)ans=-x-1+2*exp(x)一定要大写一定要大写 MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用 7、级数问题、级数问题

36、例例13 求函数求函数 的泰勒展开式，并计算该的泰勒展开式，并计算该函数在函数在x=3.42时的近似值。时的近似值。syms x;taylor(sin(x)/x,x,10)ans=1-1/6*x2+1/120*x4-1/5040*x6+1/362880*x8 x=3.42;eval(ans)ans=-0.0753MATLAB在线性代数中的应用在线性代数中的应用 1、矩阵的基本运算、矩阵的基本运算 例例1 已知已知 a=4-2 2;-3 0 5;1 5 3;b=1 3 4;-2 0-3;2-1 1;a*b12 10 24 7 -14 -7-3 0 -8ans=AB MATLAB在线性代数中的应用

37、在线性代数中的应用 1、矩阵的基本运算、矩阵的基本运算 例例1 已知已知 inv(a)ans=0.1582 -0.1013 0.0633 -0.0886 -0.0633 0.1646 0.0949 0.1392 0.0380MATLAB在线性代数中的应用在线性代数中的应用 1、矩阵的基本运算、矩阵的基本运算 例例1 已知已知 rank(a)ans=3MATLAB在线性代数中的应用在线性代数中的应用 1、矩阵的基本运算、矩阵的基本运算 例例1 已知已知 a/bans=0 0 2.0000 -2.7143 -8.0000 -8.1429 2.4286 3.0000 2.2857MATLAB在线性代

38、数中的应用在线性代数中的应用 1、矩阵的基本运算、矩阵的基本运算 例例1 已知已知 abans=0.4873 0.4114 1.0000 0.3671 -0.4304 0 -0.1076 0.2468 0MATLAB在线性代数中的应用在线性代数中的应用 2、解线性方程组、解线性方程组 a=1-1 4-2;1-1-1 2;3 1 7-2;1-3-12 6;rref(a)ans=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1将矩阵将矩阵A化为最简阶梯形化为最简阶梯形R（A）=4=n；所以方程组只有零解。所以方程组只有零解。RREF Reduced row echelon formMATL

39、AB在线性代数中的应用在线性代数中的应用 2、解线性方程组、解线性方程组 求齐次方程组求齐次方程组的基础解系的基础解系 a=2 3 1;1-2 4;3 8-2;4-1 9;b=4;-5;13;-6;c=null(a,r)c=-2 1 1 求非齐次方程组求非齐次方程组的一个特解的一个特解 l u=lu(a);x0=u(lb)x0=-3124/135 3529/270 2989/270 所以方程组的一般解为所以方程组的一般解为 3、将矩阵对角化、将矩阵对角化 a=-1 2 0;-2 3 0;3 0 2;v,d=eig(a)v=0 379/1257 379/1257 0 379/1257 379/1

40、257 1 -379/419 -379/419 d=2 0 0 0 1 0 0 0 1 A的特征值为的特征值为2，1，1 4、用正交变换化二次型为标准形、用正交变换化二次型为标准形 a=1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1;format u t=schur(a)u=0.0846 0.4928 0.7071 0.5000 0.0846 0.4928 -0.7071 0.5000 -0.7815 -0.3732 0 0.5000 0.6124 -0.6124 0 0.5000t=-0.0000 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.0000 a

41、=1 1 1 1；1 1 1 1；1 1 1 1；1 1 1 1;format ratu t=schur(a)u=596/7049 1095/2222 985/1393 1/2 596/7049 1095/2222 -985/1393 1/2 -1198/1533 -789/2114 0 1/2 1079/1762 -1079/1762 0 1/2 t=*0 0 0 0 *0 0 “*”表示表示 0 0 0 0 近似于零近似于零 0 0 0 4 FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers.4、用正交变换化二次型为标准形、用正交变换化二次型为标准形 结论：作正交变换结论：作正交变换 则有则有