概率论的基本概念人文科技.ppt

《概率论的基本概念人文科技.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论的基本概念人文科技.ppt（125页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型第三节第三节 条件概率、全概率公式条件概率、全概率公式第四节第四节 独立性独立性小结小结上一页上一页下一页下一页返返 回回第一节样本空间、随机事件一随机现象一随机现象两类现象两类现象（）确定性现象（）确定性现象在一定条件下必然发生或必不发生的现象在一定条件下必然发生或必不发生的现象.特点：根据所给条件可以预言它的结果特点：根据所给条件可以预言它的结果.如：向上抛一石子必然下落；如：向上抛一石子必然下落；同性电荷必不互相吸引，等等同性电荷必不互相吸引，等等（）

2、随机现象（）随机现象在一定条件下结果无法确定的现象在一定条件下结果无法确定的现象特点：可能的结果不止一个；会出现哪一结果特点：可能的结果不止一个；会出现哪一结果事先无法预知事先无法预知上一页上一页下一页下一页返返 回回如如:在相同条件下抛掷一枚硬币在相同条件下抛掷一枚硬币,其结果可能是其结果可能是数字面数字面(正面正面)朝上朝上,也可能是徽花面也可能是徽花面(反面反面)朝上朝上.在每次抛掷之前在每次抛掷之前,无法肯定抛掷的结果是什么无法肯定抛掷的结果是什么.一个跳伞运动员作定点跳伞练习一个跳伞运动员作定点跳伞练习,他的落地点离他的落地点离预定中心的距离实际是多少预定中心的距离实际是多少,在跳伞

3、在跳伞 之前也无法之前也无法确定确定.正面朝上的次数正面朝上的次数总的抛掷次数总的抛掷次数在在0.5附近摆动附近摆动2.统计规律性统计规律性在大量重复试验或观察中在大量重复试验或观察中,呈现的固有规律性呈现的固有规律性.上一页上一页下一页下一页返返 回回概率统计的研究对象概率统计的研究对象随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性.随机试验随机试验(1).每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,所有可能的结果是所有可能的结果是可可知的知的.(2).在每次试验之前在每次试验之前,无法豫言究竟会出现哪一结果无法豫言究竟会出现哪一结果.(3).试验可以重复试验可以重复.上述三条缺一不可上

4、述三条缺一不可.随机试验又简称为试验随机试验又简称为试验.如如:抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币:正面朝上正面朝上,反面朝上反面朝上.从一副扑克牌从一副扑克牌(不含大小王不含大小王)中任摸一张中任摸一张(观观察其花色察其花色):红桃红桃,黑桃黑桃,草花草花,方片方片.上一页上一页下一页下一页返返 回回二二.样本空间样本空间 试验的每一个可能基本结果称为样本点试验的每一个可能基本结果称为样本点.记作记作 或或 样本点的全体称为样本空间样本点的全体称为样本空间.记作记作例例:(1)掷一枚硬币掷一枚硬币:=“正面朝上正面朝上”,=“反面朝上反面朝上”样本空间样本空间 =,(2)掷两枚硬币掷两枚硬币:(正正,

5、正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反)(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反)=样本空间样本空间(3)一射手对一目标进行射击一射手对一目标进行射击,直到命中为止直到命中为止.若用若用1表表 示示“击中击中”，0表示表示“未击中未击中”，则可能结果是：，则可能结果是：1，01，001，0001，样本空间样本空间 =1，01，001，0001，上一页上一页下一页下一页返返 回回（4）向圆）向圆内均匀投点，所有可能的结果为内均匀投点，所有可能的结果为:样本空间为样本空间为只含有限个或无限可列个样本点的样本空间，叫只含有限个或无限可列个样本点的样本空间，叫离散样本

6、空间；而含无限不可列个样本点的样本空间离散样本空间；而含无限不可列个样本点的样本空间叫连续样本空间叫连续样本空间(1),(2),(3)是离散样本空间是离散样本空间;(4)是连续样本空是连续样本空间间上一页上一页下一页下一页返返 回回三三.随机事件随机事件试验的某些样本点组成的集合试验的某些样本点组成的集合,称为称为(随机随机)事事件件；通常用大写字母；通常用大写字母A，B，C，来表示。特别，来表示。特别，由单个样本点组成的集合是事件，称为由单个样本点组成的集合是事件，称为基本事件基本事件。一般事件是由若干个基本事件复合而成的。一般事件是由若干个基本事件复合而成的。例：掷一颗骰子：例：掷一颗骰子

7、：“出现出现i点点”（i=1,2,3,4,5,6）是六个基本事件；而是六个基本事件；而“出现偶数点出现偶数点”是由三是由三个基本事件个基本事件复合而成的。复合而成的。注：注：(1)随机事件是样本空间的子集，随机事件是样本空间的子集，当该子集中某个样本点出现时，就说当该子集中某个样本点出现时，就说该随机事件发生了。该随机事件发生了。.A（2）是是 的最大子集，称为必然事件；的最大子集，称为必然事件；空集空集 是是 的最小子集，称为不可能事的最小子集，称为不可能事件。件。上一页上一页下一页下一页返返 回回 必然事件在每次试验中一定发生；不可能事必然事件在每次试验中一定发生；不可能事件在每次试验中一

8、定不发生；而随机事件在一件在每次试验中一定不发生；而随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生。次试验中可能发生也可能不发生。例：从例：从10个同类产品（其中个同类产品（其中8个正品，个正品，2个次品）中个次品）中 任取任取3个，那么个，那么“3个都是正品个都是正品”、“3个中至少有个中至少有1个次品个次品”都是随机事件；都是随机事件；“次品不多于次品不多于2个个”是必然是必然事件；事件；“次品多于次品多于2个个”是不可能事件。是不可能事件。必然事件必然事件不可能事件不可能事件 当作特殊的随机事件当作特殊的随机事件上一页上一页下一页下一页返返 回回四四.事件的关系与运算事件的关系与运算1.包含关

9、系包含关系若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，发生，则称事件则称事件B包含事件包含事件A或事件或事件A包含于事件包含于事件B.记作记作B A或或AB例：例：“抽到抽到4号考签号考签”“抽到偶数号考签抽到偶数号考签”若若AB且且BA,则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等记作记作A=B例：掷一颗骰子例：掷一颗骰子设设A=“出现点或点或点出现点或点或点”B=“出现偶数点出现偶数点”,2.相等关系相等关系则则A=B.上一页上一页下一页下一页返返 回回3.事件的和事件的和“事件事件A与事件与事件B中至少有一个发生中至少有一个发生”，这一事，这一事件叫件叫A与与B的和（并），记作的和

10、（并），记作A B.例：检查圆柱形产品时，直径与例：检查圆柱形产品时，直径与长度有一项不合格就算产品不合长度有一项不合格就算产品不合格，格，设设A=“直径不合格直径不合格”，B=“长度不合格长度不合格”，C=“产品不合格产品不合格”则，则，C=A B事件的和可推广到有限个或可列个事件：事件的和可推广到有限个或可列个事件：例例:设设=“接到接到k次呼唤次呼唤”（k=0,1,2,）=“接到不超过接到不超过3次呼唤次呼唤”=“接到不少于接到不少于3次呼唤次呼唤”，D=“接到呼唤接到呼唤”则，则，C=D=上一页上一页下一页下一页返返 回回4.事件的积事件的积“事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生”

11、，这一事件叫这一事件叫A与与的积（交）的积（交）记作记作AB或或AB.例：设例：设A=“出现点或点或点出现点或点或点”，B=“出现偶数点出现偶数点”则，则，AB=“出现点或点出现点或点”事件的积也可推广到有限个或可列个事件：事件的积也可推广到有限个或可列个事件：例：一串联电路例：一串联电路设设 =“第第k个开关接通个开关接通”(k=1,2,3)B=“灯亮灯亮”则，则，B=123w上一页上一页下一页下一页返返 回回5.互不相容互不相容若事件若事件A与与B不能同时发生，即不能同时发生，即AB=则称则称A与与B互不相容（或互斥）。互不相容（或互斥）。例：例：A=“产品合格产品合格”B=“直径不合格直

12、径不合格”，则，则A,B互斥。互斥。若若n个事件个事件中任意两个都不能同时发中任意两个都不能同时发生，即生，即则称这则称这n个事件互不相容（或互斥）。个事件互不相容（或互斥）。例：一批产品中有一级品、二级品和等外品，从中任取例：一批产品中有一级品、二级品和等外品，从中任取一件，设一件，设A=“取出的是一级品取出的是一级品”B=“取出的是二级品取出的是二级品”，C=“取出的是等外品取出的是等外品”则则A,B,C互斥。互斥。上一页上一页下一页下一页返返 回回对立事件对立事件“事件事件A不发生不发生”这一事件叫这一事件叫A的对立事件，记的对立事件，记作作，显然，显然的对立事件是的对立事件是A即即=A

13、.例：例：“产品合格产品合格”与与“产品不合格产品不合格”是对立事件；是对立事件；“都及格都及格”与与“不都及格不都及格”是对立事件是对立事件。A与与满足：满足：一个事件发生，另一个事件一定不发生一个事件发生，另一个事件一定不发生一个不发生时，另一个一定发生一个不发生时，另一个一定发生注：对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立。注：对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立。“都及格都及格”与与“都不及格都不及格”互斥，但不对立。因互斥，但不对立。因“都及格都及格”不发生时，不发生时，“都不及格都不及格”不一不一定发生。定发生。上一页上一页下一页下一页返返 回回7.7.事件的差事件的差“事件事件发生而

14、事件发生而事件不发生不发生”，这个事件叫，这个事件叫与与差。记作差。记作.例：例：“呼唤不超过次呼唤不超过次”，“呼唤不少于次呼唤不少于次”AABBAB上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.用用A,B,C的事件式表示下列事件的事件式表示下列事件(1)“A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生”可表为可表为ABC或或ABC(2)“A,B,C都发生都发生”可表为可表为ABC(3)“A,B,C中至少有一个发生中至少有一个发生”ABC(4)“A,B,C中恰有一个发生中恰有一个发生”可表为可表为或或可表为可表为上一页上一页下一页下一页返返 回回(5)“A,B,C中至多有一个发生中至多有一个发生”可表

15、为可表为(6)“A,B,C中至少有两个发生中至少有两个发生”可表为可表为(7)“A,B,C中至多有两个发生中至多有两个发生”可表为可表为或或(8)“A,B,C都不发生都不发生”可表为可表为上一页上一页下一页下一页返返 回回五事件运算的运算律五事件运算的运算律交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律：否定律：否定律：幂等律：幂等律：上一页上一页下一页下一页返返 回回吸收律：吸收律：互逆律：互逆律：德莫根公式（对偶原则）：德莫根公式（对偶原则）：推广：推广：上一页上一页下一页下一页返返 回回证明证明上一页上一页下一页下一页返返 回回上述运算律是事件运算的基本规律，其他规律可由这些上述运算律是

16、事件运算的基本规律，其他规律可由这些规律推导出来规律推导出来上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3.3.在数学系的学生中任在数学系的学生中任选选一名学生一名学生.若事件若事件A A表示表示被被选选学生是男生，事件学生是男生，事件B B表示表示该该生是三年生是三年级级学生，事件学生，事件C C表示表示该该生是运生是运动员动员.（1 1）叙述叙述AB AB 的意义.（2 2）在什么条件下在什么条件下ABCABC=C C成立？成立？（3 3）在什么条件下在什么条件下成立？成立？解解 （1）该生是三年级男生，但不是运动员该生是三年级男生，但不是运动员.（2）全系运动

17、员都是三年级男生全系运动员都是三年级男生.（3）全系女生都在三年级全系女生都在三年级.上一页上一页下一页下一页返返 回回例例4.4.设设事件事件A A表示表示“甲种甲种产产品品畅销畅销，乙种，乙种产产品滞品滞 销销”，求其，求其对对立事件立事件.解解 设设B=“甲种产品畅销甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销乙种产品滞销”，则则A=BC，故，故=“甲种产品滞销或乙种产品畅销甲种产品滞销或乙种产品畅销”.第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型1、频率、频率定义定义1:在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值

18、次，则比值 称为事件称为事件A在在n次实次实验中发生的频率，记为验中发生的频率，记为频率具有下列频率具有下列性质性质：(1)对于任一事件对于任一事件A，有，有 (2)上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回 历史上著名的统计学家蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示所示.实验者实验者nkf德德摩根摩根204810610.5181蒲丰蒲丰404020480.5069K皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊皮尔逊24000120120.5

19、006可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随着试验次数随着试验次数的增加的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0.5.上一页上一页下一页下一页返返 回回定义定义2:设事件设事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了k次次,n很大时很大时,频率频率 在某一数值在某一数值p的附近摆动的附近摆动,而随着试验次数而随着试验次数n的的 增加，摆动的幅度越来越小，则称增加，摆动的幅度越来越小，则称p为事件为事件A发生的概率，发生的概率，记为记为上一页上一页下一页下一页返返 回回定义定义3：2、概率的公理化定义、概率的公理化定义上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一

20、页下一页下一页返返 回回概率的性质：概率的性质：注注:不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,反之概率为反之概率为0的事件不一的事件不一定是不可能事件定是不可能事件.证证:由可列可加性由可列可加性,得得于是于是上一页上一页下一页下一页返返 回回证证 令An+1=An+2=，则AiAj=.当ij，i,j=1,2,时，由可列可加性，得上一页上一页下一页下一页返返 回回证证 由BA,知A=B(A-B）且B（A-B）=.再由概率的有限可加性有P（A）=P（B(A-B)=P(B)+P(A-B),如,掷一颗骰子，设B=“出现点”，A=“出现奇数点”，则上一页上一页下一页下一页返返 回回推论推论:对任一事件

21、A，有0P（A）1.证：证：上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回推广：推广：上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1 1 设设A A，B B为两事件，为两事件，P P（A A）=0.5,=0.5,P P(B B)=0.3)=0.3P P(ABAB)=0.1)=0.1求：求：（1 1）A A发生但发生但B B不发生的概率；不发生的概率；（2 2）A A不发生但不发生但B B发生的概率；发生的概率；（3 3）至少有一个事件发生的概率；）至少有一个事件发生的概率；（4 4）A A，B B都不发生的概率；都不发生的概率；（5 5）至少有一个事件不发生的概率）至少有一个事

22、件不发生的概率.解（解（1 1）P P（A A-B B）=P P（A A）-P P（ABAB）=0.4=0.4；（2 2）P P（B B）=P P（B B-A A）=P P（B B）-P P（ABAB）=0.2=0.2；(3)(3)P P(A AB B)=0.5+0.3-0.1=0.7)=0.5+0.3-0.1=0.7；(4)(4)P P()=)=P P()=1-)=1-P P(A AB B)=1-0.7=0.3)=1-0.7=0.3；(5)(5)P P(）=P(）=1-=1-P P(ABAB)=1-0.1=0.9)=1-0.1=0.9.3、古典概型、古典概型定义定义4：设随机试验设随机试验E

23、满足如下满足如下条件条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。古典概型古典概型 中事件中事件A的概率计算公式为的概率计算公式为上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例2 2 将一枚硬币抛掷三次，求：将一枚硬币抛掷三次，求：（1 1）恰有一次出现正面的概率；恰有一次出现正面的概率；（2 2）至少有一次出现正面的概率至少有一次出现正面的概率.解解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间将一枚硬币抛掷三

24、次的样本空间 =HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事 件发生的可能性相同件发生的可能性相同.（1）设设A表示表示“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，则则 A=HTT，THT，TTH，故有故有P（A）=3/8.（2 2）设设B B表示表示“至少有一次出至少有一次出现现正面正面”，由由=TTTTTT，得，得P P（B B）=1-=1-P P（）=1-1/8=7/8=1-1/8=7/8上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例3、一口袋装有、一口袋装有6只球，其中只球，其中4只白球，只白球，2

25、只红球只红球.从袋中取球两次，随机地取一只从袋中取球两次，随机地取一只.考虑两种取球方式：考虑两种取球方式：（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀 后再任取一球后再任取一球.这种取球方式叫做有放回抽取这种取球方式叫做有放回抽取.（b）第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球）第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽取这种取球方式叫做不放回抽取.试分别就上面两种情形求：试分别就上面两种情形求：（1）取到的两只球都是白球的概率；）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；）取

26、到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率）取到的两只球中至少有一只是白球的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解解.设设A A=“=“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”，B B=“=“取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球”，C C=“=“取到的两只球中至少有一只是白球取到的两只球中至少有一只是白球”则则A AB B=“=“取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同”，（a a）有放回抽取的情形）有放回抽取的情形 由于AB=，故 P（AB）=P（A）+P（B）=5/9，P（C）=1-P（B）=8/9.上一页上一页下一页下一页返返 回回 (b)(b)不放回

27、抽取的情形：不放回抽取的情形：.由于AB=，故 P（AB）=P（A）+P（B）=7/15，P（C）=1-P（B）=14/15.上一页上一页下一页下一页返返 回回在不放回抽取中，一次取一个，一共取在不放回抽取中，一次取一个，一共取m m次也可看作次也可看作一次取出一次取出m m个，故本例中也可用个，故本例中也可用组组合的方法，得合的方法，得 =2/5，=1/15.P P（A A）=P P（B B）=上一页上一页下一页下一页返返 回回例例4 4 箱中装有箱中装有a a只白球，只白球，b b只黑球，现作不放回抽取，只黑球，现作不放回抽取，每次一只每次一只.（1 1）任取）任取m m+n n只，恰有只

28、，恰有m m只白球，只白球，n n只黑球的概率只黑球的概率 （m ma a,n nb b）;(2)(2)第第k k次才取到白球的概率（次才取到白球的概率（k kb b+1+1）;（3 3）第）第k k次恰取到白球的概率次恰取到白球的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解（解（1 1）可看作一次取出）可看作一次取出m m+n n只球，与次序无关，是只球，与次序无关，是组组合合 问题问题.从从a a+b b只球中任取只球中任取m m+n n只，所有可能的取法共有只，所有可能的取法共有 种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同

29、个基本事件发生的可能性相同.从从a a只白球中取只白球中取m m只，共有只，共有从从b b只黑球中取只黑球中取n n只，共有只，共有由乘法原理知，取到由乘法原理知，取到m m只白球，只白球，n n只黑球的取法共有只黑球的取法共有种，于是所求概率种，于是所求概率为为.种不同的取法，种不同的取法，种不同的取法种不同的取法.p p1 1=上一页上一页下一页下一页返返 回回(2)(2)抽取与次序有关抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，每次取一只，取后不放回，一共取一共取k k次，每种取法即是从次，每种取法即是从a+ba+b个不同元素中任取个不同元素中任取k k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基

30、本事件，个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有共有个基本事件，且由于对称性知每个基本事件个基本事件，且由于对称性知每个基本事件白球可白球可为为a a只白球中任一只，有只白球中任一只，有由乘法原理，前由乘法原理，前k k-1-1次都取到黑球，第次都取到黑球，第k k次取到白球的次取到白球的种，于是所求概率种，于是所求概率为为.发生的可能性相同发生的可能性相同.前前k-1次都取到黑球，从次都取到黑球，从b只黑只黑球中任取球中任取k-1只的排法种数，有只的排法种数，有种，第种，第k次抽取的次抽取的种不同的取法种不同的取法.取法共有取法共有p p2 2=上一页上一页下一页下一页返返 回回(

31、3)(3)基本事件基本事件总总数仍数仍为为.第第k k次必取到白球，可次必取到白球，可种不同的取法，其余被种不同的取法，其余被种不同的取法，由乘法原理，第种不同的取法，由乘法原理，第k k次恰取到次恰取到种，故所求概率为种，故所求概率为.为为a只白球中任一只，有只白球中任一只，有取的取的k-1只球可以是其余只球可以是其余a+b-1只球中的任意只球中的任意k-1只，只，共有共有白球的取法有白球的取法有p3=上一页上一页下一页下一页返返 回回注：注：p p3 3与与k k无关，也就是无关，也就是说说其中任一次抽球，抽到白其中任一次抽球，抽到白球的概率都跟第一次抽到白球的概率相同，球的概率都跟第一次

32、抽到白球的概率相同，为为，而跟抽球的先后次序无关（例如，而跟抽球的先后次序无关（例如购买购买福利彩福利彩 票时，尽管购买的先后次序不同，但各人得奖的机会票时，尽管购买的先后次序不同，但各人得奖的机会是一样的）是一样的）.上一页上一页下一页下一页返返 回回例例5 5 有有n n个人，每个人都以同样的概率个人，每个人都以同样的概率1/1/N N被分配在被分配在N N（nNnN）间房中的任一间中，求恰好有）间房中的任一间中，求恰好有n n个房间，其中个房间，其中各住一人的概率各住一人的概率.解解 每个人都有每个人都有N N种分法，种分法，这这是可重复排列是可重复排列问题问题，n n个人个人共有共有N

33、 Nn n种不同分法种不同分法.因因为为没有指定是哪几没有指定是哪几间间房，所以首房，所以首先先选选出出n n间间房，有房，有种种选选法法.对对于其中每一种于其中每一种选选法，每法，每.间房各住一人共有间房各住一人共有n!种分法，故所求概率为种分法，故所求概率为p p=上一页上一页下一页下一页返返 回回下一页下一页因而因而n n个人中至少有两个人生日相同的概率个人中至少有两个人生日相同的概率为为注：许多直观背景很不相同的实际问题，都和本例具有注：许多直观背景很不相同的实际问题，都和本例具有相同的数学模型相同的数学模型.比如生日问题：假设每人的生日在一年比如生日问题：假设每人的生日在一年365天

34、天中的任一中的任一天是等可能的，那么随机选取天是等可能的，那么随机选取n(n365)个人，他们的个人，他们的生日各不相同的概率为生日各不相同的概率为p p1 1=p p2 2=1-=1-上一页上一页下一页下一页返返 回回例例6 126 12名新生中有名新生中有3 3名优秀生，将他们随机地平均分配名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：到三个班中去，试求：（1 1）每班各分配到一名优秀生的概率；）每班各分配到一名优秀生的概率；（2 2）3 3名优秀生分配到同一个班的概率名优秀生分配到同一个班的概率.解解 12 12名新生平均分配到三个班的可能分法名新生平均分配到三个班的可能分法总总数数

35、为为（1 1）设设A A表示表示“每班各分配到一名每班各分配到一名优优秀生秀生”3 3名名优优秀生每一个班分配一名共有秀生每一个班分配一名共有3 3！种分法，！种分法，而其他而其他9 9名学生平均分配到名学生平均分配到3 3个班共有个班共有种分法，由乘法原理，种分法，由乘法原理，A A包含基本事件数包含基本事件数为为 上一页上一页下一页下一页返返 回回33=故有故有P P（A A）=/=16/55=16/55，故由乘法原理，故由乘法原理，P P（B B）=/=3/55（2 2）设）设B B表示表示“3“3名优秀生分到同一班名优秀生分到同一班”，故故3 3名优秀生分到同一班共有名优秀生分到同一班

36、共有3 3种分法，种分法，其他其他9 9名学生分法总数为名学生分法总数为B B包含样本总数为包含样本总数为33.故有故有例例7：从：从0,1,2,9共共10个数字中随机地有放回地接连取个数字中随机地有放回地接连取4个数字个数字,并按其出现的先后排成一行并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概试求下列事件的概率率上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例8：(一个古老的问题一个古老的问题)一对骰子连掷一对骰子连掷25次次.问出现双问出现双6与不出现双与不出现双6的概率哪个大的概率哪个大?上一页上一页下一页下一页返返 回回4、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若试

37、验具有如下特征:上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例9 9 在区间（在区间（0 0，1 1）内任取两个数，求这两个数的积）内任取两个数，求这两个数的积小于小于1/4的概率的概率.解解 设在（设在（0 0，1 1）内任取两个数为）内任取两个数为x x,y y，则则0 0 x x1,01,0y y1 1即样本空间是由点（即样本空间是由点（x，y）构成的）构成的边长为边长为1的正方形的正方形，其面积为，其面积为1.令令A=“两个数乘积小于两个数乘积小于1/4”，则，则A=（x,y）0 xy1/4,0 x1,0y1事件事件A所围成的区域见图，则所求概率为所围成的区域

38、见图，则所求概率为上一页上一页下一页下一页返返 回回P P(A A)=)=上一页上一页下一页下一页返返 回回例例10(约会问题约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间甲、乙两人相约在某一段时间T内在内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t0.则在事件则在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A发生的条件概率发生的条件概率P(A|B)定义为定义为上一页上一页下一页下一页返返 回回计算条件概率的两种方法计算条件概率的两种方法:1.在样本空间在样本空间 中中,先计算先计算P(B),P(AB).然后用然后用P(AB)除以除以 P(B).其商即为其商即为P

39、(A|B).2.在样本空间在样本空间 的缩减样本空间的缩减样本空间 =B中计算中计算A发生的概发生的概率率,即为即为P(A|B).注注:对某些问题对某些问题,可能还有其他解法可能还有其他解法.上一页上一页下一页下一页返返 回回法二法二.法三法三.例例1.1.一只盒子装有一只盒子装有1010只晶体管只晶体管,其中其中7 7只好的只好的,3,3只坏的只坏的.从从中任取两次中任取两次,每次取一只每次取一只,取后不放回取后不放回.发现第一只是好的发现第一只是好的,问另一只也是好的概率是多少问另一只也是好的概率是多少.解解:设设A=“第一只是好的第一只是好的”,B=“第二只是好的第二只是好的”.法一法一

40、.上一页上一页下一页下一页返返 回回例例2 2 某科动物出生之后活到某科动物出生之后活到2020岁的概率为岁的概率为0.70.7，活到，活到2525岁的概率为岁的概率为0.56,0.56,求现年为求现年为2020岁的动物活到岁的动物活到2525岁的岁的概率概率.A.A.解解 设设A=“=“活到活到20岁以上岁以上”，B=“=“活到活到25岁以上岁以上”则有则有P P（A A）=0.7,=0.7,P P(B B)=0.56)=0.56 且且BP P（B BA A）=P P(ABAB)/)/P P(A A)=)=P P(B B)/)/P P(A A)得得=0.56/0.7=0.8.=0.56/0.

41、7=0.8.上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回P（|B）=1-P（A|B）.故故对对概率已概率已证证明的明的结结果都适用于条件概率果都适用于条件概率.例如，例如，对对于任意事件于任意事件A1，A2，有有P（A1A2|B）=P（A1|B）+P（A2|B）-P（A1A2|B）又如，又如，对对于任意事件于任意事件A，有，有设设P(A)0,则有则有 P(AB)=P(A)P(BA)同样同样,当当P(B)0时时,有：有：P(AB)=P(B)P(AB)2、乘法定理、乘法定理乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:上一页上一页下一页下一页返返

42、 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3 3 一批彩电，共一批彩电，共100100台，其中有台，其中有1010台次品，采用台次品，采用 不放回抽样依次抽取不放回抽样依次抽取3 3次，每次抽一台，求第次，每次抽一台，求第 3 3次才抽到合格品的概率次才抽到合格品的概率.解解 设设Ai(i=1,2,3)为第为第i次抽到合格品的事件，则有次抽到合格品的事件，则有=10/1009/9990/980.0083.例例4：设袋中有设袋中有a只白球只白球,b只黑球只黑球.任意取出一球后放任意取出一球后放回回,并再放入与取出的球同色的球并再放入与取出的球同色的球c只只,再取第二次再取第二次,如如此继续此继

43、续,共取了共取了n次次,问前问前n1次取出黑球次取出黑球,后后n2=n -n1 次次取白球的概率是多少取白球的概率是多少?上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例5 5 袋中有袋中有n n个球，其中个球，其中n n-1-1个红球，个红球，1 1个白球个白球.n n个人依个人依 次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第求第i i（i i=1,2,=1,2,n n）人取到白球的概率）人取到白球的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下

44、一页下一页返返 回回3.全概率公式、贝叶斯公式全概率公式、贝叶斯公式例：袋内有例：袋内有5 5只球（只球（3 3红红2 2白），无放回抽取，每次取一只，白），无放回抽取，每次取一只，求第二次取得红球的概率。求第二次取得红球的概率。解：解：设设A A=“=“第二次取到红球第二次取到红球”，B=“B=“第一次取到红球第一次取到红球”则则 一般来说，当一个事件一般来说，当一个事件A的概率较难求出，而条件概的概率较难求出，而条件概率较易求出时，可先将率较易求出时，可先将A分解为分解为 几个互不相容事件的和，几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式求之。再利用加法公式和乘法公式求之。上一页上一页下

45、一页下一页返返 回回定义：若事件组定义：若事件组 满足：满足：（1 1）完全性：）完全性：（2 2）互不相容性：）互不相容性：互斥互斥则称这个事件组为完备事件组或称这个事件组为样则称这个事件组为完备事件组或称这个事件组为样本空间本空间 的一个划分（或分割）。的一个划分（或分割）。定理定理1：设：设 是样本空间是样本空间 的一个划分，且的一个划分，且此公式叫全概率公式此公式叫全概率公式，则对任一事件，则对任一事件A A有有上一页上一页下一页下一页返返 回回证：证：而而 互斥互斥注注:当当 这时全概率公式为这时全概率公式为上一页上一页下一页下一页返返 回回例例6.某厂生产的产品以某厂生产的产品以1

46、00个为一批个为一批,在进行抽样检查时在进行抽样检查时,只从每批中抽取只从每批中抽取10个来检查个来检查.如果发现其中有次品如果发现其中有次品,则认为则认为这批产品不合格这批产品不合格.假定每批产品中的次品最多不超过假定每批产品中的次品最多不超过4个个,并有如下的概率分布并有如下的概率分布一批产品中的次品数一批产品中的次品数概率概率0 1 2 3 40.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求一批产品通过检查的概率求一批产品通过检查的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解解:=,上一页上一页下一页下一页返返 回回注注:（1）运用全概率公式解题，关键在于构造一个）运用全概率公式解题，关键在于构

47、造一个 样本空间的划分样本空间的划分.（2）及及 都为已知的，方可运用全概都为已知的，方可运用全概 率公式率公式.上一页上一页下一页下一页返返 回回定理2.设 是样本空间 的一个分割,又设 ,则 此公式叫逆概公式或贝叶斯公式此公式叫逆概公式或贝叶斯公式其中其中 是试验前产生的概率是试验前产生的概率,称为先验概率称为先验概率 是试验后确定的概率是试验后确定的概率,称为后验概率称为后验概率证明证明:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例7.某厂生产的产品以某厂生产的产品以100个为一批个为一批,在进行抽样检查时在进行抽样检查时,只从每批中抽取只从每批中抽取10个来检查个来检查.如果发现其中有次品如

48、果发现其中有次品,则认为则认为这批产品不合格这批产品不合格.假定每批产品中的次品最多不超过假定每批产品中的次品最多不超过4个个,并有如下的概率分布并有如下的概率分布一批产品中的次品数一批产品中的次品数概率概率0 1 2 3 40.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求通过检查的一批产品中恰有求通过检查的一批产品中恰有j件次品的概率件次品的概率.（j=0，1，2，3，4）上一页上一页下一页下一页返返 回回解解:设设A,意义同例意义同例6,已得已得 是样本空间的是样本空间的一个划分一个划分,且且 ,由贝叶斯公式由贝叶斯公式得得:后后验验概概率率先先验验概概率率上一页上一页下一页下一页返返 回回后后

49、验验概概率率先先验验概概率率 上述结果说明上述结果说明,各批产品通过检查后各批产品通过检查后,没有次品及次品没有次品及次品较少的可能性增大了较少的可能性增大了,而次品较多的可能性减小了而次品较多的可能性减小了.例例8：对以往的数据分析结果表明对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时当机器调整良好时,产品的合格率为产品的合格率为90%,而机器未调整良好时而机器未调整良好时,其合格率为其合格率为30%.每天机器开动时每天机器开动时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为75%.试试求已知某日生产的第一件产品是合格品求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好机器调整良好的概率是多少的概率是

50、多少?解解:设设A=“机器调整良好机器调整良好”,B=“生产的第一件产品生产的第一件产品为合格品为合格品”.已知已知上一页上一页下一页下一页返返 回回第四节第四节 独立性独立性1、事件的独立性、事件的独立性上一页上一页下一页下一页返返 回回例例 某公司有工作人员某公司有工作人员100名，其中名，其中35岁以下的青年人岁以下的青年人 40名，该公司每天在所有工作人员中随机选出一人名，该公司每天在所有工作人员中随机选出一人 为当天的值班员，而不论其是否在前一天刚好值过为当天的值班员，而不论其是否在前一天刚好值过班班.求：求：（1）已知第一天选出是青年人，试求第二天选出青已知第一天选出是青年人，试求