概率论与数理统计课件第4章.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u数学期望数学期望u方差方差u*协方差与相关系数协方差与相关系数u大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理数学期望的引例数学期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expectation例如例如：某：某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 数学期望数学期望E(X)Mathematical ExpectationMathematical Expectation定义定义 设离散型随机变

2、量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 u离散型随机变量离散型随机变量随机变量随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作E（X），即），即 XP41/451/261/4数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的分布律的分布律：例例 求数学期望求数学期望E（X）解解 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望E(X)E(X)u连续型随机变量连续型随机变量定义定义设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x),则则即即 数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为例例 求数学期望。求数学期望。解解 数学期望的意义 试验

3、次数较大时，试验次数较大时，X的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值 在在E(X)附近摆动附近摆动数学期望又可以称为数学期望又可以称为期望值期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了随机变量反映了随机变量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是是X的的可能值以其相应概率的加权平均。可能值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量设设(X,Y)(X,Y)的联合密度为的联合密度为例例

4、(1)求求k(2)求求X和和Y的边缘密度的边缘密度(3)求求E(X),E(Y).(1)由由解解所以所以所以所以得得1 11 13 3时时时时(2)(2)（）（）时时时时1131 11 13 3（）另解（）另解无需求无需求边缘分布密度函数边缘分布密度函数 随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理 1：一维情形：一维情形设设设设是随机变量是随机变量 X的函数的函数,离散型离散型离散型离散型连续型连续型连续型连续型概率密度为概率密度为服从服从 已知已知上的均匀分布，求上的均匀分布，求的数学期望。的数学期望。因为因为 所以所以 例例 解解随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望

5、定理定理 2：二维情形：二维情形联合概率密度为联合概率密度为设设设设 是随机变量是随机变量 X，Y的函数的函数,连续型连续型连续型连续型离散型离散型 1 15 5例例 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量X X，Y Y的密度函数分别为的密度函数分别为 求求E（XY）解解 数学期望的性质数学期望的性质相互独立时相互独立时u当随机变量当随机变量 u.C C 为为常数常数 u.u.设（设（X,YX,Y）在由）在由4 4个点（个点（0 0，0 0）（）（3 3，0 0），（），（3 3，2),2),(0,2)(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X

6、E(X+Y),E(X2 2)E(YE(Y2 2),E(XY).),E(XY).3 30 02 2答案：答案：0-1分布的数学期望分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布，则则E(X)=p分布律分布律数学期望数学期望If XB(n,p),then E(X)=np二项分布的数学期望二项分布的数学期望分布律分布律X X服从服从二项分布，二项分布，其概率分布为其概率分布为数学期望数学期望二项分布可表示为二项分布可表示为个分布的和个分布的和其中其中 则则 泊松分布的数学

7、期望泊松分布的数学期望If ,then 分布律分布律数学期望数学期望均匀分布的期望均匀分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望 X N(，2）正态分布的期望正态分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望指数分布的期望指数分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。如果个人的血液样本

8、混合起来进行化验。如果结果为阴性，则结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病的患病次。假定人群中这种病的患病率是率是10%10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的

9、数学期望，然后与10比较比较 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求注意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！1、概率、概率p对是否分组的影响对是否分组的影响问题的进一步讨论问题的进一步讨论若若p=0.2，则，则当当p0.2057时，时，E(X)10 2、概率、概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才能保证，才能保证E

10、X10.当当p=0.1时，为使时，为使 例例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为为p p1 1和和p p2 2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p p1 1+p p2 2设产生故障的仪器数目为设产生故障的仪器数目为X X则则X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1解解所以所以 方方 差差 的的 引引 入入E(X1)=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E(X2)=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形

11、产品，其直径的取值规律如下：两种产品的直径均值是相同的，但产品两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直径为如果需要使用直径为5的产品，则产品的产品，则产品1较产品较产品2理想。理想。方差（方差（Variance）的定义）的定义u 定义定义 u均方差（标准差）均方差（标准差）与与 有相同的量纲有相同的量纲 设设 是一随机变量，如果是一随机变量，如果 存在，则称存在，则称为为 的方差，记作的方差，记作 或或 即即 方差的计算公式方差的计算公式Proof.一维随机变量的方差一维随机变量的方差设设离散型离散型随机变量随机变量X的概率分布为的概率分布为u离散型离散型u连续型

12、连续型设设连续型连续型随机变量随机变量X的分布密度为的分布密度为 f(x)其中其中 方方 差差 的的 计算计算E(X1)=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E(X2)=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：求求D(X1),D(X2)解解 0-1分布的方差分布的方差XP0 11-p pu分布律分布律u方差方差其中其中 二项分布的方差二项分布的方差If X B(n,p),then D(X)=n p(1-p)u分布律分布律u方差方差X B(n,p)其中其中 推导？推导？泊松分

13、布的方差泊松分布的方差If then u分布律分布律u方差方差推导？推导？均匀分布的方差均匀分布的方差u分布密度分布密度u方差方差正态分布的方差正态分布的方差u分布密度分布密度u方差方差指数分布的方差指数分布的方差u分布密度分布密度u方差方差常见分布及其期望和方差列表常见分布及其期望和方差列表P84 分布名称分布名称 数学期望数学期望E（X）方差方差D（X）0-1分布分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布 正态分布正态分布 指数分布指数分布 方差的计算步骤方差的计算步骤Step 1:计算期望计算期望 E(X)Step 2:计算计算 E(X2)Step 3:计算计算 D(X)

14、离散型离散型 连续型连续型 离散型离散型 连续型连续型 方差的性质方差的性质相互独立时相互独立时 u 当随机变量当随机变量C C 为为常数常数u u a为为常数常数证明证明 二维随机变量的方差二维随机变量的方差u(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量 二维随机变量的方差二维随机变量的方差 u(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量 是两个相互独立的随机变量，其概率密度是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为分别为求求.解解 因为因为 相互独立，所以相互独立，所以 而而 所以所以 例例 某地出产的某品种的苹果的总量某地出产的某品种的苹果的总量X X服从正态分布。服从正态分

15、布。若若E(X)=148,D(X)=16E(X)=148,D(X)=162 2.写出写出X X的分布律和概率密的分布律和概率密度，并用积分表示度，并用积分表示解解 若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为2，方差为，方差为2的正态的正态分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX0。所以所以 解解 若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为2，方差为，方差为2的正态的正态分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX0。所以所以 得得 所以所以 例例 已知一批玉米种子的发芽率是已知一批玉米种子的发芽率是7575，播种时每穴，播种时每穴种三粒，求每穴发芽种子粒数的数学期望、方差及种三粒，求每穴发芽种

16、子粒数的数学期望、方差及均方差均方差.,.设发芽种子数为设发芽种子数为 X X，则，则 X X 服从二项分布，且服从二项分布，且解解 设设X表示表示10次独立重复射击命中目标的次数，次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中的概率为每次射击命中的概率为0.4，求，求 X 的数学期望。的数学期望。所以所以 例例 某动物的寿命某动物的寿命 X（年）（年）服从指数分布，其中参数服从指数分布，其中参数0.1，求这种动物的平均寿命及标准差，求这种动物的平均寿命及标准差.所以这种动物的平均寿命为所以这种动物的平均寿命为1010年，标准差为年，标准差为1010年年.解解因为因为服从指数分布，且服从指数分布，

17、且 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的指数分布，求的指数分布，求解解 X的密度函数为的密度函数为 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的指数分布，求的指数分布，求所以所以 而而 所以所以 解解 X的密度函数为的密度函数为 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的指数分布，求的指数分布，求所以所以 证毕证毕 证明证明 证毕证毕 证明证明 大大 数数 定定 律律 在大量的随机现象中，随机事件的在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性频率具有稳定性 大量的随机现象的大量的随机现象的平均结果具有稳定性平均结果具有稳定性 概率论中用来阐明大量随机现象概率论中用来阐明大量随机

18、现象平均结果的平均结果的稳定性稳定性的一系列定理，称为的一系列定理，称为大数定律大数定律（law of large number)切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev)Chebyshev)不等式不等式 设随机变量设随机变量X具有有限数学期望具有有限数学期望EX和方差和方差DX，则，则对于任意正数对于任意正数 ，如下不等式成立。，如下不等式成立。切比雪夫不等式切比雪夫不等式 证明证明 设设X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为 则则 证毕证毕 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev)Chebyshev)不等式的应用不等式的应用 在随机变量在随机变量X的的分布未知分布未知

19、的情况下，只利用的情况下，只利用X的期望的期望和方差，即可对和方差，即可对X的概率分布进行估值。的概率分布进行估值。例例 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是值是7300，均方差是，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。解解 设设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则表示每毫升血液中含白细胞个数，则 则则 而而 所以所以 设随机变量设随机变量X的方差为的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率利用切比雪夫不等式估计概率 练习练习 设随机

20、变量设随机变量X的方差为的方差为2.5，利用切比，利用切比雪夫不等式估计概率雪夫不等式估计概率解解 样本平均数稳定性定理样本平均数稳定性定理 定理定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn，相互独立，相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望且服从同一分布，并具有数学期望 及方差及方差 ，则对于，则对于任意正数任意正数 ，恒有，恒有观测量观测量X在相同的条件下重复观测在相同的条件下重复观测n次，次，当当n充分大时充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望观测值的算术平均值接近于期望”是一是一大概率事件大概率事件。即即 依概率收敛于依概率收敛于 即即n充分大时，充分大时，辛钦大数定理辛钦大数定理 伯

21、努利大数定理（频率的稳定性）伯努利大数定理（频率的稳定性）定理定理 设设 是是n次独立试验中事件次独立试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有恒有 定理的应用定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定：可通过多次重复一个试验，确定事件事件A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率中心极限定理（中心极限定理（Central limit theoem)Central limit theoem)客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所

22、形成，每一个微小相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。正态分布。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn相互独立相互独立，服从同一分服从同一分布布，且有有限的数学期望，且有有限的数学期

23、望 和方差和方差 ，则随机变量，则随机变量 的分布函数的分布函数 满足如下极限式满足如下极限式定理的应用定理的应用：对于独立的随机变量序列：对于独立的随机变量序列 ，不管，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这充分大时，这些随机变量之和些随机变量之和 近似地服从正态分布近似地服从正态分布例例 一部件包括一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是均方差是

24、0.05mm，规定总长度为，规定总长度为200.1mm时产时产品合品合格，格，试试求求产产品合格的概率。品合格的概率。解解 设部件的总长度为设部件的总长度为X，每部分的长度为，每部分的长度为 Xi（i=1,2,10)，则，则由定理由定理4.5可知：可知：X近似地服从正态分布近似地服从正态分布 即即 续解续解 则产品合格的概率为则产品合格的概率为 棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)(De Moivre-Laplace)定理定理 设随机变量设随机变量 服从二项分布服从二项分布 ，则对，则对于任意区间于任意区间 ，恒有，恒有二项分布的极限分布

25、是正态分布二项分布的极限分布是正态分布 即如果即如果，则，则 一般地，一般地，如果如果，则，则例例 现有一大批种子，其中良种占现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差之差小于小于1%的概率是多少？的概率是多少？解解 设取出的种子中的良种粒数为设取出的种子中的良种粒数为X，则，则 所求概率为所求概率为 续例续例 种子中良种占种子中良种占1/6，我们有，我们有99%的把握断定在的把握断定在6000粒种子中良种所占的比例与粒种子中良种所占的比例与1/6之差是多少？这时相应的之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围？良种数落在哪个范围？解解 设良种数为设良种数为X，则，则 设良种所占比例与设良种所占比例与1/6的差值为的差值为 ，则依题意有，则依题意有 查表得查表得 此时有此时有 即即 解解 设设100根木材中长度不短于根木材中长度不短于3米的根数为米的根数为X，则，则 有一大批建筑房屋用的木柱，其中有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不的长度不小于小于3米，现从这批木材中任取米，现从这批木材中任取100根，试求其中至少根，试求其中至少有有30根短于根短于3米的概率。米的概率。所求概率为所求概率为 作业作业 习题四习题四 21、29、30预习预习 第五章之第五章之1、2节节