河海大学《几何与代数》5-4实对称矩阵的对角化.ppt

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1、定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵定理定理1 1的意义的意义证明证明于是于是根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.1.例例 对下列实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列实对称矩阵，分别

2、求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.1 1求其特征值求其特征值从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化