微积分II课件——11-2 对坐标的曲线积分.pdf

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1、oxyABL一、问题的提出一、问题的提出 1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(+=+=常力所作的功常力所作的功 分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn=.)()(1jyixMMiiii+=+=.ABFW=求和求和.),(),(1=+niiiiiiiyQxP取极限取极限.),(),(lim10=+=+=niiiiiiiyQxPW 近似值近似值 精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii+=取+=取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQ

2、xPW+即+即=niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;,2,1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设=时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设=iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxo

3、yL1.定义定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP=记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ=,),(),(叫做被积函数其中叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式组合形式+=+=+LLLdy

4、yxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF+=+=其中+=+=其中.=LdsF4.4.推广推广 空间有向曲线弧 空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP=.+RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ=.),(lim),(10iiiniizRdzzyxR=5.5.性质性质 .,)1(2121+=+=+LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线

5、的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.+=+=+LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设+=+=LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理

6、定理 dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(+=+=+且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为=，终点为起点为=.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL+=+则+=+则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为=，终点为起点为=.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL+=+则+=+则.,)()()(:)3(终点起点推广终点起点推广ttztytx=dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(+=+=+例例1.)1,1()1,

7、1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL=解解 的定积分，化为对 的定积分，化为对x)1(.xy=+=+=OBAOLxydxxydxxydx+=+=1001)(dxxxdxxx=10232dxx.54=xy=2)1,1(A)1,1(B的定积分，化为对 的定积分，化为对y)2(,2yx=ABLxydxxydx =1122)(dyyyy.11到从 到从y =1142dyy.54=xy=2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算的直线段轴到点沿从点的上半圆周

8、针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL 例例2 解解,sincos:)1(=ayaxL，变到从，变到从0)0,(aA)0,(aB =0原式原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB .343a=,0:)2(=yL，变到从，变到从aax =aadx0原式原式.0=问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.=03a)(cos)cos1(2d 例例3).1,1(),0,1()0,0(,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点，这里有向折线的

9、一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL=+=+2xy=)0,1(A)1,1(B解解.)1(的积分化为对的积分化为对 x,10,:2变到从 变到从xxyL=+=+=1022)22(dxxxxx原式原式=1034dxx.1=)0,1(A)1,1(B2yx=.)2(的积分化为对的积分化为对 y,10,:2变到从变到从yyxL=+=+=1042)22(dyyyyy原式原式=1045dxy.1=)0,1(A)1,1(B)3(+=+=ABOAdyxxydxdyxxydx2222原

10、式原式,上在上在 OA,10,0变到从变到从xy=+=+=+1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0=,上在上在 AB,10,1变到从变到从yx=+=+=+102)102(2dyydyxxydxAB.1=10+=原式+=原式.1=)0,1(A)1,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.P 203 T3(1)(3)(5)(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()(=tytxL：设有向平面曲线弧为：设有向平面曲线弧为,),(为处的切线向量的方向角上点为处的切线向量的方向角上点

11、yxL+=+=+LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt+=+=,)()()(cos22ttt+=+=（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）,),(为处的切线向量的方向角上点为处的切线向量的方向角上点zyx+=+=+dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 =dstA =rdA,=dsAt可用向量表示可用向量表示(,)AP Q R=其中，(cos,cos,cos),t=(,)drtdsdx dy dz=有向曲线元；有向曲线元；.上的投影在向量为向量上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点处的单位切向量上点),(zyx 四、

12、小结四、小结 1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系 思考题思考题 当曲线当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如之后（例如L：taxcos=，taysin=，2,0t，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示L的方的方向（如向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如L：taxcos=，taysin=，2,0t中中当当t从从 0 变到变到 2时，时，L取逆时针方向取逆时针方向;反之当反之当t从从 2变到变到 0 时，时，L取顺时针方向取顺时针方向.作业作业:P203 T3(2)(4)(7)T6