微积分II课件——1-3 n阶行列式的定义.pdf

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1、一、概念的引入一、概念的引入 三阶行列式三阶行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa+=+=332112322311312213aaaaaaaaa说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项 6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列 例如例如 322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为()(),211312=

2、+=+=t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为()(),101132=+=+=t偶排列偶排列 奇排列奇排列 正号+正号+,负号负号.)1(321321333231232221131211=ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义 nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21=记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义定义).det(ija简记作简记作的元素称为行列式数的元素称为行列式数)det

3、(ijijaa为这个排列的逆序数的一个排列，为自然数其中为这个排列的逆序数的一个排列，为自然数其中tnpppn2121()()()()nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111=说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、一阶

4、行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa=5、的符号为的符号为 nnpppaaa2121()().1t 例例1 1 计算对角行列式计算对角行列式 0004003002001000分析分析:展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 43214321ppppaaaa41 p若若,011=pa从而这个项为零从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,1p4同理可得同理可得 1,2,3432=ppp解解 0004003002001000()()()()432114321=t.24=即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2 计算上

5、计算上三角行列式三角行列式 nnnnaaaaaa00022211211分析分析:展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn=,11=npn,1,2,3123=ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211()()()()nnntaaa2211121=.2211nnaaa=解解 例例3?8000650012404321=D443322118000650012404321aaaaD=.1608541=同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 nnnnnaaaaaaa32122211100000.221

6、1nnaaa=n21()()()().12121nnn=;21n=n21例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式 n21()()()()11,212111nnnnntaaa=()()()().12121nnn=证明证明 第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1,+=iniia 则依行列式定义则依行列式定义 11,21nnnaaa=证毕证毕 例例5 5 设设 nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111=nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112=证明证明.21DD=证证 由行列式定义有由行列式定义有()()

7、()()nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111=nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112=()()()()()()()()nnnnpppnnppppppppptbaaa+=2121212121211由于由于,2121npppn+=+=+所以所以()()()().12211212121DaaaDnnnnpppppppppt=()()()()()()()()nnnnpppnnppppppppptbaaaD+=21212121212121()()()()nnnnpppppppppt

8、aaa212121211=故故 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.nn!n三、小结三、小结 思考题思考题 已知已知()()1211123111211xxxxxf=.3的系数求的系数求 x思考题解答思考题解答 解解 含含 的项有两项的项有两项,即即 3x()()1211123111211xxxxxf=对应于对应于()()()()4334221112341aaaat+()()443322111aaaat()(),1344332211xaaaat=()()()()343342211123421xaaaat=.13的系数为故的系数为故 x作业作业:P21 T4(1)(5)T5(1)