12_10常系数线性微分方程组解法举例.pdf

《12_10常系数线性微分方程组解法举例.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12_10常系数线性微分方程组解法举例.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、微分方程组一、微分方程组 微分方程组微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组称为微分方程组 注意：注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数个具有同一自变量的函数 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组性微分方程组 步骤步骤:从方程组中消去一些未知函数及其各阶导从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性数，得到只含有一

2、个未知函数的高阶常系数线性微分方程微分方程 二、常系数线性微分方程组的解法二、常系数线性微分方程组的解法 解此高阶微分方程解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知求出满足该方程的未知函数函数.把已求得的函数带入原方程组把已求得的函数带入原方程组,一般说来，一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数不必经过积分就可求出其余的未知函数 例例1 1 解微分方程组解微分方程组=)2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21+=+=zdxdzy设法消去未知函数设法消去未知函数 ，y解解 两边求导得，两边求导得，)4(,2122+=+=dxdzdxzddxdy把把(3),(4

3、)代入代入(1)式并化简式并化简,得得 0222=+=+zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz+=+=)6(.)22(21221xexCCCy+=+=再把再把(5)代入代入(3)式式,得得 原方程组的通解为原方程组的通解为,)()22(2121221+=+=+=+=xxexCCzexCCCyP360 T1(1)用用 D表示对自变量表示对自变量 x求导的运算求导的运算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn=+=+例如，例如，D用记号用记号 可表示为可表示为)()(111xfyaDaDaDnnnn=+=+注意注意:nnnnaDaDaD+111是是 D的多项

4、式的多项式 可进行相加和相乘的运算可进行相加和相乘的运算 例例2 2 解微分方程组解微分方程组=+=+=+=+.02222ydtdxdtydexdtdydtxdt用记号用记号D表示表示dtd,则方程组可记作则方程组可记作解解 类似解代数方程组消去一个未知数类似解代数方程组消去一个未知数,消去消去 x=+=+=+=+0)1()1(22yDDxeDyxDt()():)2()1(D,3teyDx=():)3()2(D+.)1(24tDeyDD=+=+()teyDD=+=+)1(24()即即 非齐次线性方程非齐次线性方程 其特征方程为其特征方程为 0124=+=+rr解得特征根为解得特征根为,215,

5、2514,32,1=+=+=irr易求一个特解易求一个特解,tey=于是通解为于是通解为.sincos4321tttetCtCeCeCy+=+=()将将()代入代入()得得.2sincos43332313tttetCtCeCeCx+=+=方程组通解为方程组通解为+=+=+=+=ttttttetCtCeCeCyetCtCeCeCxsincos2sincos432143332313注意：注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另在求得一个未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分一个未知函数的通解时，一般不再积分 P360 T1(3)三、小结三、小结 注意求出其中一个解，再求另一个解时，注意求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法避免处理两次宜用代数法，不要用积分法避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系积分后出现的任意常数间的关系 注意微分算子注意微分算子D的使用；的使用；作业：作业：P360 T1(偶偶)