交大硕士研究生必修基础数学-数值分析-插值与拟合方法.pdf

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1、第第 5 5 章章插值与拟合方法插值与拟合方法插值与拟合方法插值与拟合方法 是用有限个函数值是用有限个函数值f(xi),(i 0,1,n)去推断或表示函数去推断或表示函数f(x)的方的方法，它在理论数学中提到的不多。法，它在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。插值及曲线拟合等。对应的方法有对应的方法有 LagrangeLagrange插值插值，NewtonNewton 插值插值，HermiteHermite 插值插值，分段分段多项式插值多项式插值和和线

2、性最小二乘拟合线性最小二乘拟合。651 1 实际案例实际案例2 2 问题的描述与基本概念问题的描述与基本概念先获得函数先获得函数（已知或未知已知或未知）y f(x)在有在有限个点限个点x0,x1,xn上的值上的值xx0 x1xnyy0yny1由表中数据构造一个函数由表中数据构造一个函数 P P(x x)作为作为 f f(x x)的的近似函数，去参与有关近似函数，去参与有关 f f(x x)的运算。的运算。科学计算中，科学计算中，解决不易求出的未知函数的解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。问题主要采用插值和拟合两种方法。661 1）插值问题的描述）插值问题的描述已知函数已知函

3、数y f(x)在在 a,ba,b 上的上的 n n+1+1 个个互互异点异点处的函数值处的函数值yi f(xi)，求求 f f(x x)x0,x1,xn的一个近似函数的一个近似函数 P P(x x)，满足满足P(xi)f(xi)(i 0,1,n)（5.15.1）P P(x x)称为称为 f f(x x)的一个的一个插值函数插值函数;f f(x x)称为称为被插函数被插函数;点点xi为为插值节点插值节点;P(xi)f(xi)(i0,1,n)称为称为插值条件插值条件;R(x)fxP(x)称为称为插值余项。插值余项。67当插值函数当插值函数 P P(x x)是多项式时称为是多项式时称为代数代数插值插

4、值（或多项式插值）（或多项式插值）。一个代数插值函数一个代数插值函数 P P(x x)可写为可写为P(x)Pm(x)akxkk0m(akR)若它满足插值条件（若它满足插值条件（5.15.1），则有线性方程组，则有线性方程组a0a1x0a2x02amx0m y02ma a x a x a x01 12 1m 1 y1（5.2）2ma0a1xna2xnamxn yn68当当 m=nm=n，它的系数行列式为范德蒙行列式，它的系数行列式为范德蒙行列式11D1x0 x1xnx02x12xn2x0nx1 (xixj)0jinnxnn因为插值节点互异，因为插值节点互异，D 0，故线性方程组，故线性方程组（5

5、.25.2）有唯一解，于是有）有唯一解，于是有定理定理 5.15.1当插值节点当插值节点互异互异时，时，存在存在一个满一个满足插值条件足插值条件P(xi)f(xi)(i 0,1,n)的的 n n 次插次插值多项式。值多项式。69定理定理满足插值条件满足插值条件(5.1)(5.1)的的 n n 次插值多次插值多项式是项式是唯一唯一的。的。证明证明 设设P(x),Q(x)是两个满足插值条件是两个满足插值条件(5.1)(5.1)的的 n n 次插值多项式，于是有次插值多项式，于是有P(xi)Qxi f(xi)(i 0,1,n)令令显然有显然有Hx是次数是次数n n 的多项式，且的多项式，且Hx P(

6、x)Q(x)说明说明Hx有有 n n+1+1 个零点，个零点，由代数基本定理有由代数基本定理有H H(x x)0 0，由此得，由此得P(x)Q(x)。70Hxi P(xi)Qxi f(xi)f(xi)0(i 0,1,n)插值的一个目的是对函数作近似计算。插值的一个目的是对函数作近似计算。假设假设 a,a,b b 是包含插值点是包含插值点x0,x1,xn的最的最小闭区间，小闭区间，当用插值函数当用插值函数 P P(x x)来近似计算来近似计算 x x在在 a,a,b b 的函数值时，称为的函数值时，称为内插计算内插计算，否则，否则称为称为外插外插或或外推外推计算。计算。712 2）拟合问题的描述

7、）拟合问题的描述已知已知y f(x)在在 a,ba,b 上的上的 n n+1+1 个个(互异或互异或求求不互异不互异)点点处的函数值处的函数值yi f(xi)，f f(x x)的一个近似函数的一个近似函数(x)，满足满足拟合条件拟合条件x0,x1,xn min这里这里是是 n n+1+1 维向量维向量，是某种范数，是某种范数，(0,1,n)T，i f(xi)(xi)。求出的求出的(x)称为称为拟合函数拟合函数。723 3）插值函数和拟合函数的几何解释）插值函数和拟合函数的几何解释1)插值函数图示2）拟合函数图示735.35.3 插值法插值法1.Lagrange1.Lagrange 插值插值La

8、grangeLagrange 插值是插值是 n n 次多项式插值。次多项式插值。基本思想基本思想将待求的将待求的 n n 次多项式插值函数次多项式插值函数Pn(x)改写改写成用已知函数值为系数的成用已知函数值为系数的 n n+1+1个待定个待定n n次多次多项式的线性组合型式，项式的线性组合型式，再利用插值条件和函再利用插值条件和函数分解技术确定数分解技术确定n n+1+1个待定个待定n n次多项式形式次多项式形式求出插值多项式。求出插值多项式。741)1)构造原理构造原理已知数表已知数表xyx0 x1xny0y1yn ynlnn(x)yilin(x)（5.35.3）i0n设设 n n 次插值

9、多项式次插值多项式Ln(x)y0l0n(x)y1l1n(x)式中式中lin(x)(i0,1,n)是与是与yi无关的无关的 n n 次多项式。次多项式。由插值条件（由插值条件（5.15.1），有，有Ln(xk)yklkn(xk)yilin(xk)yki 0i kn(k0,1,n)75由于由于yk与与linx(i 0,1,2,1i klinxkik0i k,n)无关，可得无关，可得,ni,k 0,1,2,（5.45.4）为确定为确定linx，注意到，注意到linx是是 n n 次多项式，由次多项式，由式（式（5.45.4）可知）可知linx a x xkk0kin式中式中 a a 为待定常数，为待

10、定常数，由由linxi1确定，确定，于是有于是有 x xklinx k0 x xikkini 0,1,2,n（5.55.5）代入式（代入式（5 5.3.3），有，有76Lnxi0n xxkyik0 x x（5.65.6）ikkin由由 n n 次插值多项式的唯一性，次插值多项式的唯一性，可知可知Lnx就是所求的就是所求的 n n 次插值多项式。次插值多项式。式（式（5.65.6）称为）称为 n n 次次 LagrangeLagrange 插值多项插值多项式式，而，而linx称为称为 LagrangeLagrange 插值基函数插值基函数。772)2)分析分析定理定理 3.3.设函数设函数y f

11、(x)在在 a,ba,b 上有上有 n n+1+1 阶阶导数，导数，Pn(x)是满足插值条件的是满足插值条件的 n n 次插值多项次插值多项式，则有对任何式，则有对任何xa,b成立成立fxPfn1Rxnnxn1!n1x,(a,b)式中式中nn1(x)k0 x xk,xka,b。78证明证明 因为因为Pn(xk)Rnxk 0,f(xk)，故有，故有k 0,1,n于是于是 R Rn n（x x）可分解为）可分解为Rnx kxn1x（5.85.8）为求出为求出 k k(x x)，做辅助函数，做辅助函数gt ftPntkxn1t（5.95.9）则有在则有在t x0,x1,xn,x时，时，g(t)=0g

12、(t)=0，即，即 g(t)g(t)在在 a,ba,b 上有上有 n n+2+2 个零点。个零点。79显然显然 g(t)g(t)在由在由x0,x1,xn,x组成的组成的 n n+1+1个小闭区间上满足个小闭区间上满足 RolleRolle 中值定理，故中值定理，故 g(t)g(t)在在 a,ba,b 上有上有 n n+1+1 个零点。个零点。类似的有类似的有 g g(t)(t)在在 a,ba,b 上有上有 n n 个零点，个零点，n1gt在在 a,ba,b 反复运用反复运用 RolleRolle 中值定理，有中值定理，有n1上有上有 1 1 个零点，设为个零点，设为，则有，则有g 0。在式（在

13、式（5.95.9）两边对）两边对t t 求求 n n+1+1 阶导数，有阶导数，有gn1t fn1将将 t t=代入上式，解得代入上式，解得kx fn1t0n1!kx/n1!代入式（代入式（5.85.8），即得定理结果。，即得定理结果。80定理定理 3 3中若能算出中若能算出在在 a,ba,b 上的最上的最M max fx，则有余项估计式，则有余项估计式大值大值n1n1axbfn1xMn1Rnxn1x,xa,bn1!（在在一点一点的误差估计的误差估计）若想估计函数在插值若想估计函数在插值区间区间 a,ba,b 上上的误的误n1x，差，差，要计算出要计算出Tn1 max此时有区间此时有区间 a,

14、ba,b axb上的误差估计为上的误差估计为Mn1RnxTn1,xa,bn1!81由由 n n 次插值多项式的唯一性及式次插值多项式的唯一性及式（5.75.7），得到有如下重要结果得到有如下重要结果定理定理 4 4若函数若函数 f f(x x)在在 a,ba,b 上有上有 n n+1+1 阶阶导数，则导数，则 f f(x x)可表示为可表示为f(n1)()fx （f xi）lin(x)n1(x)xa,bi0(n1)!n对对 n=1n=1 的插值多项式，称为的插值多项式，称为线性插值线性插值；n=2n=2 的插值多项式称为的插值多项式称为 抛物线插值抛物线插值或辛或辛普森插值普森插值.82例例

15、1 1 已知已知f(x)ln x的函数表为的函数表为x xy=f(xy=f(x)3.03.01.098611.098612 23.13.11.131401.131402 23.23.21.163151.163151 13.33.31.193921.193922 23.43.41.223771.223775 5试用线性插值和抛物线插值分别计算试用线性插值和抛物线插值分别计算f(3.27)的近似的近似值，并估计相应的误差。值，并估计相应的误差。解解 线性插值需要两个节点，线性插值需要两个节点，内插比外推好，内插比外推好，因为因为3.27(3.2,3.3)，故故选选x0 3.2,x1 3.3，由由n

16、 1的的LagrangeLagrange 插值公式，有插值公式，有x3.3x3.2L1(x)1.1631511.1939223.23.33.33.20.307710 x0.178479所以有所以有ln3.27 L1(3.27)1.184690783为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点为为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点为x0 3.2,x1 3.3,x2 3.4,由由 n=2n=2 的的 LagrangeLagrange 插值公插值公式，有式，有(x3.3)(x3.4)L2(x)1.1631511.193922(3.23.3)(3.23.4)(x3.2)(x3.4)(x3.2)(x3.3)

17、1.223775(3.33.2)(3.33.4)(3.43.2)(3.43.3)0.0459x 0.60606x0.306225故有故有ln3.27 L2(3.27)1.18478709284考虑误差考虑误差.当当x3.2,3.3时，有时，有f(x)线性插值计算线性插值计算ln3.27的误差估计为的误差估计为13R1(3.27)(3.27 3.2)(3.27 3.3)0.103102!3.2213.22，所以，所以而当而当x3.2,3.4时，时，f(x)2，故抛物线插值计算，故抛物线插值计算3.23ln3.27的误差估计为的误差估计为25R2(3.27)(3.273.2)(3.273.3)(3

18、.273.4)0.9103!3.2385例例 2 2 在在4,4上给出上给出e的等距节点函数的等距节点函数表，表，若想用二次插值来计算若想用二次插值来计算e的近似值，的近似值，并并610要求截断误差不超过要求截断误差不超过，问此函数表的步，问此函数表的步长长 h h 应为多少？应为多少？解解设设xk(k 0,1,n)为为4,4上的等距节上的等距节点。点。二次插值需要三个节点，二次插值需要三个节点，为满足一般性，为满足一般性，这里取三个相邻的节点构造二次插值函数。这里取三个相邻的节点构造二次插值函数。设设xi,xi1,xi2是是4,4上的任何三个相邻节上的任何三个相邻节点，则当点，则当xxi,x

19、i2时，有时，有86xxx xith(0 t 2)注意到注意到xi1 xih,xi2 xi2h。利用利用 n n=2=2 的的 LagrangeLagrange 余项定理，有函数余项定理，有函数e在在xi,xi2的插值余项为的插值余项为eR2(x)t(t 1)(t 2)h33!t0,2,x4,4因为因为x442 3M max e e 3T3 max t(t 1)(t 2),34x40t29所以所以M3332 33R2(x)T3()h 3 3h33!29要要210R2(x)106，只需只需3 3h3106，得得h 36 0.005783 387取取 h=0.0057h=0.0057 可满足要求可

20、满足要求.由由h 8/n得得n 1405，故造，故造表时取表时取 14051405 个等距节点来计算函数值个等距节点来计算函数值f(xk)即可。即可。2.2.NewtonNewton 插值插值NewtonNewton 插值也是插值也是 n n 次多项式插值。次多项式插值。1)1)构造原理构造原理88已知数表已知数表xnx0 x1ynyy0y1x设设 n n 次插值多项式为次插值多项式为Nn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)(xx1)an(xx0)(xx1)(xxn1)为求出为求出Nn(x)的系数，借助插值条件有的系数，借助插值条件有89当当x x0时，有时，有Nn(x0)a0 y0，得出，

21、得出a0 y0;当当x x1时，有时，有Nn(x1)a0 a1(x1 x0)y1,得得a1(y1 y0)(x1 x0)依次取依次取x2,x3,xn并利用插值条件就可并利用插值条件就可依次解出依次解出a2,a3,an，从而求出，从而求出Nn(x)的具体形的具体形式。式。为将解出的系数为将解出的系数a0,a1,a2,an用公式表示用公式表示出来，引进差商的概念。出来，引进差商的概念。90定义定义 已知函数已知函数 f(x)f(x)在互异节点在互异节点x0,x1,xn上的值上的值分别为分别为f(x0),f(x1),f(xn)，记，记fxi1,xi2,xik fxi0,xi1,xik1fxi0,xi1

22、,xikxik xi0式中式中xi0,xi1,xik是是x0,x1,xn中互不相同的中互不相同的 k+k+1 1 个节个节点点，k 1,2,n，称称fxi0,xi1,xik为为 f(x)f(x)关关于于节节点点xi0,xi1,xik的的 k k 阶差商阶差商。规定零阶差商是函数值本身规定零阶差商是函数值本身fxi f(xi)，于是一阶于是一阶差商可写为差商可写为fxi,xjf(xi)f(xj)xi xj91表表.1.1差商表差商表xf(x)一阶差商二阶差商n 阶差商x0y0fx0,x1fx0,x1,x2fx0,x1,xnx1y1fx1,x2.fx1,x2,x3.xn2yn2fxn2,xn1fx

23、n2,xn1,xnxn1yn1fxn1,xnxnynNn(x)fx0 fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)fx0,x1,xn(xx0)(xx1)(xxn1)922)2)分析分析定理定理 5 5 满足插值条件的满足插值条件的 n n 次次 NewtonNewton 插值多项插值多项式式Nn(x)的余项为的余项为Rn(x)f(x)Nn(x)fx0,x1,xn,xn1(x)（5.145.14）证明证明 设设 x x a,ba,b，且是异于，且是异于x0,x1,xn的任一点，的任一点，则有以则有以x0,x1,xn,x为插值节点的为插值节点的n n+1+1次次NewtonNewt

24、on插插值多项式值多项式Nn1(t)Nn(t)fx0,x1,xn,xn1(t)注意到，上式当注意到，上式当 t t=x x 时，有时，有Nn1(x)f(x)。将。将 t t=x x 代代入上式有入上式有f(x)Nn(x)fx0,x1,xn,xn1(x)显然（显然（5.145.14）式对）式对x x0,x1,xn时也成立。时也成立。93利用插值的唯一性，由利用插值的唯一性，由f(x)Nn(x)f(x)Ln(x)可以得到差商与微商之间的关系可以得到差商与微商之间的关系xfn1fx()0,1,xn,x(n1)!。94例例 3 3 给定数表xf(x)102248512618828试用二次和四次 New

25、ton 插值多项式计算解解作差商表x1245f(5.8)的近似值。f(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0281223461/31/31-1/301/6-1/31/30-1/12-1/60956818285用二阶用二阶 NewtonNewton 插值近似计算插值近似计算f(5.8)，应选与，应选与 5.85.8 最最近的近的 3 3 个节点个节点x0 4,x1 5,x2 6。由表中。由表中x0 4行数据有行数据有N2(x)8 4(x 4)1(x 4)(x 5)12 5x x2所以有所以有f(5.8)N2(5.8)16.64。要用要用N4(x)来计算来计算f(5.8)，取与，取与 5.

26、85.8 最近的最近的 5 5 个节点个节点x0 2,x1 4,x2 5,x3 6,x4 8由表中由表中x0 2行数据有行数据有9611N4(x)23(x2)(x2)(x4)(x2)(x4)(x5)361(x2)(x4)(x5)(x6)12336356x122x219x3 x412所以所以f(5.8)N4(5.8)11.0272。3.3.HermiteHermite 插值插值例例 4 4 设设f(x)有四阶导数，且有四阶导数，且f(1)0,f(1)1,f(2)0.693147,f(2)0.5，1 1）求函数求函数f(x)的一个插值多项式的一个插值多项式H(x)，并用此近并用此近似函数来计算似函

27、数来计算f(1.5)的近似值的近似值972 2）给出你所得插值多项式的误差关系式，给出你所得插值多项式的误差关系式，估计近估计近似计算似计算f(1.5)的误差。的误差。解解 仿照仿照 LagrangeLagrange 插值函数的构造方法来做之。插值函数的构造方法来做之。给定给定 4 4 个数据信息，个数据信息，选择选择 3 3 次多项式作为次多项式作为f(x)的插的插值多项式。令值多项式。令f(x)的的 3 3 次插值多项式为次插值多项式为H(x)f11(x)f22(x)f 13(x)f 24(x)式中式中k(x),k 1,2,3,4都是与都是与f1,f 1,f2,f 2无关的无关的 3 3次

28、多项式。次多项式。插值的特点是插值函数插值的特点是插值函数H(x)要与给定的关于要与给定的关于f(x)的所的所有数据相等，即满足插值条件有数据相等，即满足插值条件H1 f(1),H1 f(1),H2 f(2),H2 f(2)98由此可得有关由此可得有关k(x),k 1,2,3,4的一组值的一组值1(1)1,2(1)0,3(1)0,4(1)0(2)0,(2)1,(2)0,(2)01234(1)0,(1)0,(1)1,(1)01234(2)0,3(2)0,4(2)11(2)0,2利用这组数据，利用这组数据，可得可得k(x),k 1,2,3,4函数分解形式并求函数分解形式并求出出k(x)。为求。为求

29、1(x)，找到与之有关的数据，找到与之有关的数据1(1)1,1(2)0,1(1)0,1(2)0由该数据可知由该数据可知x x=2=2 是是1(x)的二重根，且的二重根，且1(x)是是 3 3 次次多项式，故可设多项式，故可设1(x)的分解形式为的分解形式为1(x)ax1bx2299由由1(1)1,1(1)0，可以求出式中的，可以求出式中的 a,ba,b，最后求得，最后求得1(x)2x1x22类似地可以求出其它类似地可以求出其它 3 3 个待定函数个待定函数2(x)(52x)(x 1)2,3(x)(x 1)(x 2)2,4(x)(x 2)(x 1)2故有所求插值函数故有所求插值函数H(x)01(

30、x)0.6931472(x)13(x)0.54(x)0.693147(52x)(x1)2(x1)(x2)20.5(x2)(x1)2从而有从而有f(1.5)H(1.5)0.409074，为求其余项，令，为求其余项，令Rx fxHx22由由R(1)R(2)R(1)R(2)0，有，有R(x)可分解为可分解为Rx kxx,xx1 x2100为求出为求出 k k（x x），做辅助函数，做辅助函数（5.185.18）则有在则有在 t t=1=1，2 2，x x 时，时，g(t)=0g(t)=0，g(t)g(t)在在 a,ba,b 上有上有 3 3 个个零点。零点。g(t)g(t)在由在由 1 1，2 2，

31、x x 组成的组成的 2 2 个闭区间上满足个闭区间上满足 RolleRolle中值定理，中值定理，故故 g(t)g(t)在在1,21,2上有上有 2 2 个零点，个零点，另一方面，另一方面，有有 g(1)=g(2)=0g(1)=g(2)=0，故，故 g(t)g(t)在在1,21,2上有上有 4 4 个零点，类个零点，类似的原因，有似的原因，有 g g(t)(t)在在1,21,2上有上有 3 3 个零点，反复运用个零点，反复运用4g t在在1,21,2上有上有 1 1 个零点个零点,设设RolleRolle中值定理，就有中值定理，就有为为，则有，则有g数，有数，有g44gt ftHtkxt 0

32、。在式（。在式（4.184.18）两边对）两边对 t t 求求 4 4 阶导阶导将将t t=代入上式，解得代入上式，解得t f4t04!kxkx f4/4!101于是得出余项公式于是得出余项公式R(x)f(4)()(x1)2(x2)24!1,2近似计算近似计算f(1.5)的误差为的误差为R(1.5)f(4)()(4)4!(1.51)2(1.52)2f()433!1,2上面的例子反映了上面的例子反映了 HermiteHermite 插值的做法。插值的做法。102HermiteHermite 插值提法提法为：插值提法提法为：给定给定 n+1n+1 个互异的节点个互异的节点x0,x1,xn上的上的函

33、数值和导数值函数值和导数值xx0y0 x1x2xnynyy1y2yy0y1y2yn求一个求一个 2n+12n+1 次多项式次多项式H2n1(x)满足插值条件满足插值条件H2n1(xk)ykn1(xk)ykH2k 0,1,2,n（5.195.19）如上求出的如上求出的H2n1(x)称为称为 2n+12n+1 次次 HermiteHermite 插插值函数，它与被插函数一般有更好的密合值函数，它与被插函数一般有更好的密合度。度。103基本思想基本思想仿照仿照 LagrangeLagrange 插值函数的构造方法，插值函数的构造方法，先设定函数形式，先设定函数形式，再利用插值条件求出插值再利用插值条

34、件求出插值函数。函数。104例例 5 5 已知函数已知函数f(x)的的 4 4 个数值为个数值为f(1),f(1),f(1),f(2)试求试求f(x)的一个插值多项式的一个插值多项式P(x)，这里，这里P(x)满满足插值条件足插值条件P(1)f(1),P(1)f(1),P(1)f(1),P(2)f(2)。写出写出f(x)P(x)的误差估计式。的误差估计式。解解因为有因为有 4 4 个值，故取个值，故取 P P（x x）为三次多项式，）为三次多项式，令令P(x)f(1)h1(x)f(1)h2(x)f(1)h3(x)f(2)h4(x)式中式中hi(x)(i 1,2,3,4)都是三次多项式。由插值条

35、件有都是三次多项式。由插值条件有当当x 1时，得时，得105h1(1)1,h2(1)0,h3(1)0,h4(1)0(1)1,h3(1)0,h4(1)0h1(1)0,h2(1)0,h3(1)1,h4(1)0h1(1)0,h2当当 x=2x=2 时，可得时，可得h1(2)0,h2(2)0,h3(2)0,h4(2)1利用利用h1(x)的的 4 4 个值，个值，h1(1)1,h1(1)0,h1(1)0,h1(2)0及及h1(x)是三次多项式，可设是三次多项式，可设h1(x)a(x 1)2b(x 1)c(x 2)由由h1(1)1，得得 c c=-1=-1；由由h1(1)0，得得 b b=-1=-1；由由

36、h1(1)0，得得 a a=-1,=-1,于是有于是有h1(x)(x 1)2(x 1)1(x 2)(x2 x 1)(2 x)106同理可设同理可设h2(x)a(x1)b(x1)(x2)h3(x)a(x1)2(x2)h4(x)a(x1)3由由h2(x),h3(x),h4(x)在在 x x=1,=1,x x=2=2 的值可得的值可得1h2(x)x(x1)(x2),h3(x)(x1)2(x2),h4(x)(x1)32于是所求于是所求P(x)f(1)(x2 x1)(2 x)f(1)x(x1)(x2)f(1)(x1)2(x2)f(2)(x1)32观察余项在观察余项在 x x=1=1，x x=2=2 的信

37、息，可写出误差关系的信息，可写出误差关系为为f(4)()f(x)P(x)(x1)3(x2)4!(1,2)1074.4.分段多项式插值分段多项式插值被插函数被插函数1fx1 x2在在-5,5-5,5的的 n+1n+1 个等距节点个等距节点10knxk 5k 0,1,n计计算算出出f(xk)获获得得实实验验数数据据后后，可可以以得得到到f(x)的的LagrangeLagrange 插值多项式插值多项式Ln(x)。考虑。考虑-5,5-5,5上的一点上的一点5x 5，分别取，分别取 n=2n=2，6 6，1010，1414，1818 计算计算f(x)及相及相nR(应的误差应的误差nx)，得下表，得下表

38、2 26 6101014141818f(x)0.1379310.1379310.0544630.0544630.0470590.0470590.0443340.0443340.0429200.042920Ln(x)0.7596150.7596150.6078790.6078791.5787211.5787215.3327435.33274320.12367120.123671Rn(x)-0.621684-0.621684-0.533416-0.533416-1.531662-1.531662-5.288409-5.288409-20.080751-20.080751n n易见随易见随 n n

39、增加，增加，R(x)没减小，却增大。没减小，却增大。RungeRunge 现象现象n108定义定义 2 2 取取 a a，b b 上上 n+1n+1 个节点个节点xka x0 x1 xn b及函数值及函数值f(xk)yk,k 0,1,n。若函数。若函数(x)满足满足(x)在在 a a，b b 上连续；上连续；(xk)yk（k=0k=0，1 1，n n）；(x)在每个小区间在每个小区间 xk,xk1 是是 m m 次多项式次多项式则称则称(x)为为f(x)在在 a a，b b 上的上的分段分段 m m 次插值多项式次插值多项式。基本思想基本思想将被插函数将被插函数f(x)的插值节点由小到大排序，

40、以每的插值节点由小到大排序，以每对相邻的两个节点为端点获得若干个小区间，然后在对相邻的两个节点为端点获得若干个小区间，然后在每个小区间上都用每个小区间上都用f(x)的的 mm 次插值多项式作为次插值多项式作为f(x)的近似函数。的近似函数。1091)1)构造原理构造原理(1(1）分段线性插值分段线性插值的构造原理的构造原理分段线性插值是定义分段线性插值是定义 2 2 中的中的 m=1m=1 情形。情形。设设xk,xk1为为任何连个相邻插值点，任何连个相邻插值点，于是在于是在 xk,xk1 上分段线性插值上分段线性插值函数函数(x)是一次多项式。利用是一次多项式。利用 xk,xk1 上的插值数据

41、上的插值数据xyxkykxk1yk1x xk1x xkykyk1xk xk1xk1 xk用用 n=1n=1 的的 LagrangeLagrange 插值构造插值构造(x)，于是有，于是有(x)k(x)ykl01(x)yk1l11(x)xxk,xk1,k 0,1,n1易验证，易验证，(x)满足定义满足定义 2 2，故，故(x)是所求的分段线性是所求的分段线性多项式插值。多项式插值。110(2(2）分段三次）分段三次 HermiteHermite 插值插值设设 xk,xk1 是任何两个相邻节点构成的区间，在是任何两个相邻节点构成的区间，在 xk,xk1 上的插值数据为上的插值数据为要使分段插值函数

42、要使分段插值函数(x)满足满足,(xk1)yk1(x)yk,k(xk1)yk1,(xk)yk且且(x)在在 xk,xk1 是是三三次次多多项项式式，自自然然想想到到两两点点HermiteHermite 插值公式。插值公式。111xyxkxk1yk1yky yk1yk取对应的两点取对应的两点 HermiteHermite 插值作为所求插值作为所求(x)在在 xk,xk1 上的插值多项式，有上的插值多项式，有03(x)yk113(x)(x)k(x)yk03(x)yk113(x)ykxxk,xk1,k 0,1,n1x xk12x xk22203(x)1(x xk)(),13(x)1(x xk1)()

43、,hkhkhkhkx xk1203(x)(x xk)(),hkx xk213(x)(x xk1)()hk式中式中hk xk1 xk.此此(x)满足定义满足定义 4.24.2，且在每点，且在每点xk导数连续，在整导数连续，在整个区间个区间a,b上还有连续导数，称为上还有连续导数，称为分段三次分段三次 HermiteHermite插值函数插值函数。1122 2）分析）分析定理定理 8 8假设出现在如下不等式中的函数的高阶假设出现在如下不等式中的函数的高阶max(xk1 xk)，则有，则有导数存在，记导数存在，记h 0 k n11.1.分段线性插值的误差估计为分段线性插值的误差估计为h2R1(x)f

44、(x)(x)max f(x)8axbxa,b2.2.分段三次分段三次 HermiteHermite 插值函数的误差估计为插值函数的误差估计为h4(4)R3(x)f(x)(x)max f(x)4axb4!2xa,b证明证明只对结果只对结果 2 2 给出证明，结果给出证明，结果 1 1 可类似证明。可类似证明。由两点的由两点的 HermiteHermite 插值余项可知，在区间插值余项可知，在区间xk,xk1上，分段三次上，分段三次 HermiteHermite 插值函数插值函数(x)与被插值函数与被插值函数f(x)的误差关系式的误差关系式113f(4)()R3(x)f(x)(x)(xxk)2(x

45、xk1)24!1max(xxk)2(xxk1)2max f(4)(x)axb4!xk x xk1xxk,xk1又因为又因为44hh1max(xxk)2(xxk1)24(xk1xk)4k44xkxxk1222故对故对 k=0，1，n 有h4(4)R3(x)f(x)(x)max f(x)4axb4!2xa,b注意到上式右端与注意到上式右端与 x x 属于哪个小区间无关，这就证明属于哪个小区间无关，这就证明了结果了结果 2 2。分段插值的编程计算简单，分段插值的编程计算简单，只要先编写一个在任一只要先编写一个在任一段上的低次插值通用子程序，然后根据要计算的自变段上的低次插值通用子程序，然后根据要计算

46、的自变x的值选定的值选定x所属的子区间，所属的子区间，再调用子程序计算即可。再调用子程序计算即可。1145.5.三次样条插值三次样条插值分段线性插值在连接点处常有“尖点”出现；分段三次 Hermite 插值在连接点处不一定曲率连续，且要求知道所有节点处的一阶导数值。能否找到只用节点的函数值和一些较少的信息就可以构造出具有更好几何特性的分段插值函数呢？三次样条插值给出了肯定的回答。样条（Spline）是一种细长有弹性的软木条，常用来做工程设计中的绘图工具绘出一条光滑曲线。将它进行数学描述，就得到如下三次样条函数的定义。115定义定义3 3 设函数S(x)定义在区间a,b上，对给定a,b的一个分划

47、:a x0 x1 xn b若S(x)满足下列条件S(x)在a,b上有二阶连续导数；S(x)在每个小区间xk,xk1都是一个三次多项式。则称函数S(x)是关于分划关于分划的一个三次样条函数三次样条函数，若同时还满足S(xk)f(xk)(k 0,1,n)则称S(x)是f(x)在a,b上关于划分关于划分 的三次样条插三次样条插值函数值函数。116基本思想基本思想利用三次样条插值函数定义的条件及利用三次样条插值函数定义的条件及在内节点在内节点x1,x2,117,xn 1的函数和导数的连续性的函数和导数的连续性质，建立关系式来确定样条插值函数。质，建立关系式来确定样条插值函数。1)1)构造原理构造原理要

48、知道的事情：要知道的事情：1.三次样条插值函数S(x)在每个xk,xk1上都是三次多项式，故在每个xk,xk1上有 4 个待定系数；2.因为共有 n 个小区间，故S(x)共有 4n 个待定系数要确定；3.S(x)在 n-1 个内结点有直到二阶的连续导数，可以得到3(n1)个条件；4.由插值条件可有 n+1 个条件故共有故共有 4n-24n-2 个条件，要想唯一确定个条件，要想唯一确定S(x)还应另还应另加两个条件才行加两个条件才行。三次样条函数插值常引入边界条件来作为所需的两个条件。118常用的边界条件有如下三类常用的边界条件有如下三类）给定两个端点二阶导数值f(x0),f(xn)，并令S(x

49、0)f(x0),S(xn)f(xn)当f(x0)f(xn)0时，称为自然边界条件自然边界条件。）给定两个端点一阶导数值f(x0),f(xn)，并令S(x0)f(x0),S(xn)f(xn)）给定S(x0)S(xn),S(x0)S(xn),S(x0)S(xn)第类边界条件称为周期性边界条件，专用于f(x)是以xn x0为周期的函数的样条插值。119构造三次样条插值函数构造三次样条插值函数S(x)的的 MM 方法推导过程：方法推导过程：设设hk xk1 xk，Mk S(xk)(k 0,1,n)，考虑在考虑在任一个小区间任一个小区间xk,xk1上上S(x)的表示形式。的表示形式。由定义，由定义，S(

50、x)是三次多项式，是三次多项式，故故S(x)在在xk,xk1是是一次多项式，可以表示为一次多项式，可以表示为S(x)Mkxk1 xx xkMk1hkhkxxk,xk1做两次积分，并利用做两次积分，并利用S(xk)f(xk),S(xk1)f(xk1)，有有(xk1 x)3(x xk)3Mkhk2xk1 xS(x)Mk Mk1(f(xk)6hk6hk6hkMk1hk2x xk(f(xk1)6hkxxk,xk1于是只要求出于是只要求出Mk(k 0,1,n)，就求得了，就求得了S(x)。120求求Mk的处理方法的处理方法利用在内节点处一阶导数连续的条件来做利用在内节点处一阶导数连续的条件来做由式由式S