江苏省苏州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质.pdf

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1、 江苏省苏州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题 6：函数的图像与性质 -1-2001-2012 年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编（12 专题）专题 6：函数的图象与性质 锦元数学工作室 编辑 一、选择题 1.（2001 江苏苏州 3 分）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长 ycm 与所挂物体质量 xkg 之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂 1kg 物体伸长的长度为 k甲cm，乙弹簧每挂 1kg 物体伸长的长度为 k乙cm，则 k 甲与 k 乙的关系是【】Ak甲k乙 Bk甲=k乙 Ck甲k乙 D不能确定【答案】A。【考点】一次函数的应用。【分析】直线的倾斜程度与它的斜率有直接关系

2、，斜率的绝对值越大，直线越倾斜，根据图示可知，L甲的倾斜程度大于 L乙的倾斜程度，所以 k甲k乙。故选 A。-2-2.（江苏省苏州市 2003 年 3 分）已知a1，点 123a1yaya1y，都在函数2y=x的图像上，则【】A.123yyy B.132yyy C.321yyy D.213yyy【答案】C。【考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据函数2y=x的图象的特点，函数2y=x图象的开口向上，对称轴是 y 轴，在 y 轴的左侧 y随 x 的增大而减小，在 y 轴的右侧 y 随 x 的增大而增大：a1，a1aa10，即点 123a1yaya1y，都在 y 轴左侧。2y=x的图象在对

3、称轴x=0的左侧，y 随 x的增大而减小，321yyy。故选 C。3.（江苏省苏州市 2004 年 3 分）已知正比例函数 y=(3k1)x，若 y 随 x 的增大而增大，则的取值范围是【】A k0 B k 0 C k 31 D k31 -3-【答案】D。【考点】正比例函数的性质。【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出 k的取值范围：根据 y 随 x 的增大而增大，知：3k10，即 k13。故选 D。4.（江苏省苏州市 2005 年 3 分）将直线xy2向上平移两个单位，所得的直线是【】A22 xy B22 xy C)2(2xy D)2(2xy【答案】A。【考点】一次函数图象与平移变换。【分

4、析】直线平移时 k 的值不变，只有 b 发生变化，因此，原直线的 k=2，b=0，向上平移两个单位得到了新直线，新直线的 k=2，b=0+2=2。新直线的解析式为22yx。故选 A。5.（江苏省苏州市 2010 年 3 分）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为 1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是【】A 2 B 1 -4-C222 D22 【答案】C。【考点】直角坐标系和坐标，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】ABE中BE边上的高AO 2，要使面积最小，只需BE最短，由图知DE为C切线时，

5、BE最短。如图，当DE为C切线时，连接CD。DE为C切线，090D。AEOAOD。OAOEDADC，即OA DCOEDA。又A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为 1，=1DC，OA=2，2222=312 2DACADC，2 1222 2OE。又2OB，222BE。11222222222ABESBE OA。当DE为C切线时，ABE面积的最小值 -5-为 222。故选 C。6.（江苏省苏州市 2011 年 3 分）如图，已知 A点坐标为（5，0），直线(0)yxb b与y轴交于点B，连接 AB，a=75，则 b 的值为【】A3 B5 33 C4 D5 34

6、 【答案】B。【考点】一次函数，特殊角三角函数值。【分析】根据三角函数求出点 B 的坐标，即可求得 b 的值：由(0)yxb b可知，k=1，故在OAB 中，OBA0000754560,5=180OA，OA5 3OBtanOBA3b。故选 B。7.（2012 江苏苏州 3 分）若点（m，n）在函数y=2x+1 的图象上，则 2m-n 的值是【】A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】D。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。-6-【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点（m，n）代入函数 y=2x+1，得到 m和 n 的关系式：n=2m+1，即 2mn=1。故选D。二、填空题 1.

7、（2001 江苏苏州 2 分）已知抛物线21yxm 1 x4的顶点的横坐标是 2，则 m 的值是 。【答案】m3。【考点】二次函数的顶点坐标。【分析】由抛物线21yxm 1 x4的顶点的横坐标是2，根据顶点公式b22a得m122 1，解得m3。2.（2001 江苏苏州 2 分）如图，A、B、C 是二次函数2yaxbxca0（）的图象上的三点根据图中给出的三点的位置情况，可得 a、c、（2b4ac）与零的大小关系是：a 0，c 0，0。（填入“”、“”或“=”）【答案】、。【考点】二次函数图象与系数的关系。-7-【分析】根据二次函数图象的开口方向来判断 a的符号；由图象与 y 轴的交点来判断 c

8、 的符号；根据图象与 x 轴交点的个数来判断根的判别式的符号：画草图得，此函数开口向下，所以 a0；与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，所以 c0；抛物线与 x 轴有两个交点，2b4ac 0。故答案是：、。3.（江苏省苏州市 2002 年 2 分）抛物线yx3122()的顶点坐标是 【答案】（1，2）。【考点】二次函数的性质。【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标：由23(1)2yx，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）。4.（江苏省苏州市 2002 年 2 分）设有反比例函数ykx1，(,)xy11、(,)xy22为其图象上的两点，若xx120时，yy12，则k的取值范

9、围是 【答案】k1。-8-【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】由给出的条件确定双曲线所在的象限，然后列出不等式解出k的范围：120 xx时，12yy，双曲线在第二，四象限，则k+10，解得k1。5.（江苏省苏州市 2003 年 2 分）已知点（1，2）在反比例函数ky=x的图像上，则k=。【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系：已知点（1，2）在反比例函数ky=x的图象上，则把（1，2），代入解析式就可以得到k 的值：k2=1，则 k=2。6.（江苏省苏州市 2004 年 3 分）已知（x1，y1），(x2，y

10、2)为反比例函数kyx图象上的点，当 x1x20 时，y1y2，则 k 的一个值可为 （只需写出符号条件的一个k 的值）【答案】1（答案不唯一）。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】当 x1x20 时，y1y2，点（x1，-9-y1），(x2，y2)都在第四象限，k0，例如 k=1 等（答案不唯一）。7.（江苏省苏州市 2005 年 3 分）已知反比例函数xky2，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 。（写出满足条件的一个k的值即可）【答案】3（答案不唯一，只要符合k2 即可）。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质解答：反比例函数2kyx，其图象在第一、第三象限

11、内，2k 0，即k2。故k的值可为 3（答案不唯一，只要符合k2 即可）。8.（江苏省苏州市 2006 年 3 分）抛物线2y2x4x5的对称轴是 x=_ 【答案】x1。【考点】二次函数的性质。【分析】根据求对称轴的公式，直接求解：a=2，b=4，抛物线2y2x4x5的对称轴是b4x12a22 。9.（江苏省苏州市 2007 年 3 分）已知点 P 在函数2yx(x0)的图象上，PAx 轴、PBy -10-轴，垂足分 别为 A、B，则矩形 OAPB 的面积为 【答案】2。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积 S 是个定值，即 S

12、=|k|。因此，由于点 P 在 函数 y=2x（x0）的图象上，矩形 OAPB 的面积S=|k|=2。10.（江苏省苏州市 2008 年 3 分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y=axbxc的图象时列了如下表格：x 2 1 0 1 2 y 162 4 122 2 122 根据表格上的信息同答问题：该二次函数2y=axbxc在x=3 时，y=【答案】4。【考点】二次函数的图象。【分析】由表格可知，（0，122），（2，122）-11-是抛物线上两对称点，可求对称轴 x=1，由利用对称性知横坐标为 3 的点关于 x=1 的对称点是（1，4）。根据对称性，x=3 与 x=1 时，函数值相等

13、，都是4。11.（江苏省 2009 年 3 分）反比例函数1yx 的图象在第 象限【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数=0kykx的性质：当0k时，图象分别位于第一、三象限；当0k时，图象分别位于第二、四象限：反比例函数1yx 的系数=10k0）的图象与线段OA、AB 分别交于点 C、D若 AB3BD，以点 C为圆心，CA 的54倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是 （填“相离”、“相切”或“相交”）-12-13.（2012 江苏苏州 3 分）已知点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数 y=（x1）2+1的图象上，若 x1x21，则 y1 y2.【答

14、案】。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。【分析】由二次函数 y=（x1）2+1 知，其对称 -13-轴为 x=1。x1x21，两点均在对称轴的右侧。此函数图象开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。x1x21，y1y2。14.（2012 江苏苏州 3 分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y=x图象的一个分支，第二象限 内的图象是反比例函数2y=x图象的一个分支，在轴上方有一条平行于 轴的直线 与它们分别交于点 A、B，过点 A、B 作 轴的垂线，垂足分别为 C、D.若四边形 ACDB 的周长为 8 且 ABAC，则点 A的坐标是 .-14-【答案】（13，

15、3）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。【分析】点 A 在反比例函数1y=x图象上，可设 A 点坐标为（1aa，）。AB 平行于 x 轴，点 B 的纵坐标为1a。点 B 在反比例函数2y=x图象上，B点的横坐标2x=2ay，即 B 点坐标为（12aa，）。AB=a（2a）=3a，AC=1a。四边形 ABCD 的周长为 8，而四边形ABCD 为矩形，ABAC=4，即 3a1a=4，整理得，3a24a1=0，即（3a1）（a1）=0。a1=13，a2=1。ABAC，a=13。A 点坐标为（13，3）。三、解答题 1.（2001 江苏苏州 5 分）已知如图

16、，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数myx的图象相交于A、B 两点。（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函 -15-数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围。2.（江苏省苏州市 2004 年 6 分）如图，平面直角坐标系中画出了函数 y=kx+b 的图象。（1）根据图象，求 k，b 的值；（2）在图中画出函数 y=2x+2 的图象；（3）求 x 的取值范围，使函数 y=kx+b 的函数值 -16-大于函数 y=2x+2 的函数值。【答案】解：（1）由图知，直线经过（2，0），（0，2），把（2，0），（0，2）代入解析式 y=kx+b 得：2kb

17、=0b=2，解得k=1b=2。（2）取（0，2），（1，0）连接，得 （3）由（1）得 y=kx+b 的解析式为 y=x+2，x+22x+2，解得 x0。使函数 y=kx+b 的函数值大于函数 y=2x+2 的函数值的 x 的取值范围为 -17-x0。【考点】待定系数法求一次函数解析式，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数的图象。【分析】（1）由一次函数的图象可看出函数经过（2，0）（0，2）两点，然后用待定系数法将两点代入一次函数的表达式中求出 k，b 的值。（2）可用两点法画函数 y=-2x+2 的图象，即先确定函数上的两点（一般是与 x，y 轴的交点），然后两点确定一条直线。（3）函数

18、y=kx+b 的函数值大于函数y=-2x+2 的函数值，kx+b-2x+2，由（1）中，k、b 的值即能求出 x 的范围。【也可以图象解】3.（江苏省苏州市 2002 年 5 分）已知反比例函数ymx 3和一次函数ykx1的图象都经过点P mm(,)3。（1）求点 P 的坐标和这个一次函数的解析式；（2）若点M a y(,)1和点N ay(,)12都在这个一次函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1大于y2。【答案】解：（1）双曲线3myx 过点(,3)P mm，-18-33mmm，即1m。(1,3)P。直 线1ykx过 点(1,3)P，31k，即 2k 。这个一次函数的解析式为

19、21yx。（2）1ykx中，20k ，根据一次函数的性质，y随x的增大而减少。又1aa，12yy。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）将点(,3)P mm代入反比例函数解析式可得1m，故(1,3)P。再将点(1,3)P代入一次函数解析式可得2k ，从而得到一次函数的解析式。（2）根据一次函数的性质，20k ，y随x的增大而减少，由1aa即可得12yy。4.（江苏省苏州市 2003 年 7 分）已知直线y=xb过点（3，4）。（1）求 b 的值；（2）当 x 取何值时，y0？【答案】解：（1）直线y=xb过点（3，4），4=3b，解得 b=1。-19-（2）由（1

20、）得y=x1，令 y0，即 x10，得 x1。当 x1 时，y0。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，一次函数与一元一次不等式。【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，直接把点（3，4）代入直线y=xb，就可求得 b。（2）y0，即 x10，解不等式即可解决。5.（江苏省苏州市 2003 年 6 分）已知抛物线22y=x12a xaa0与 x 轴交于两点1A x0，212B x0 xx，（1）求 a 的取值范围，并证明 A、B 两点都在原点 O 的左侧；（2）若抛物线与 y 轴交于点 C，且 OA+OB=OC2，求 a 的值。【答案】解：（1）抛物线与 x 轴交于1A x0，2B

21、 x0，且12xx，-20-2212a4a （）0，解得 a14。又a0，212xxa0，即12xx、必同号。又1211xx12a2a11022 （），12xx、必同为负数。点1A x0，2B x0，都在原点的左侧。（2）当x=0时，2y=a。12xx、同为负数，由 OAOB=OC2，得212xxa2。212aa2，即2a2a30，解得，12a1a3，。又a14，且 a0，a 的值为3。【考点】二次函数综合题，二次函数图象与x轴交点问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）首先令抛物线的值 y=0，可得出一个关于 x 的方程，那么212xxa0，因此12xx、同号，然后可根据

22、抛物线与 x 轴有两个坐标不同的交点即方程的0 以及12xx的值来得出点 A、B 均在原点 O 左侧。-21-（2）可先根据一元二次方程根与系数的关系用 a 表示出 OA、OB 的长，然后用 a 表示出OC 的长，然后根据题中给出的等量关系：OAOB=OC2 求出 a 的值。6.（江苏省苏州市 2005 年 6 分）已知二次函数22y2xmxm。（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且 A 点坐标为（1，0），求 B 点坐标。【答 案】解：（1）对 于222xmxm=0有222m42m9m ，又2m0，0。对于任意实数 m，

23、该二次函数图象与 x 轴总有公共点。（2）点 A（1，0）在二次函数图象上，把（1，0）代入二次函数关系式，得22mm=0，解得12m2m1，。当m2时，二次函数关系式为：2y2x2x4。-22-令 y=0，得：22x2x4=0，解得：x=1 或2。二次函数图象与 x 轴有两个公共点的坐标是：（1，0），（2，0）。又A 点坐标为（1，0），B（2，0）。当 m=1 时，同理可得：B（12，0）。【考点】抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）依题意可得=9m2得出0，可得出二次函数图象与 x 轴总有公共点。（2）把已知坐标代入可得 m 值，然后把m 的值及 y=0 代入

24、二次函数可求出点 B 的坐标。7.（江苏省苏州市 2006 年 6 分）已知函数2yx和ykxl k0 (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求 a 和 k 的值；(2)当 k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【答案】解；(1)两函数的图象都经过点(1，-23-a)，2a1ak1，a2k1。（2）将 y2x代人 y=kx+l，消去 y 得kx2+x 一 2=0 k0，要使得两函数的图象总有公共点，只要0 即可。18k，由 1+8k0 解得 k18 当 k18且 k0 时，这两个函数的图象总有公共点。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。【分析

25、】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a），所以 x=1，y=a 是方程组2yxykxl的解，代入可得 a 和 k 的值。（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组2yxykxl有解，即2x=kx+1 有解，根据判别式即可求出 k 的取值范围。8.（江苏省苏州市 2006 年 8 分）司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间 之后还会继续行驶一段距 -24-离 我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)已知汽车的刹车距离 s(单位：m)与车速v(单位：ms)之同有如下关系：s=tv+kv2其中 t为司机的反应时间(单位：s)

26、，k 为制动系数某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数 k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间 t=0.7s (1)若志愿者未饮酒，且车速为 11ms，则该汽车的刹车距离为m(精确到 0.1m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17ms 的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m假如该志愿者当初是以 11ms 的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到 O.1m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11ms至 17ms 的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40m至50m之间 若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”。

27、则你的反应时间应不超过多少秒?(精确到 0.01s)-25-【答案】解：（1）17.4m。（2）设志愿者饮酒后的反应时间为t1，则 t117+0.08172=46，解得 tl1.35 s。当v=11m s时，s=1.3511+0.08112=24.53。24.53 一 17.387.2(m)答：刹车距离将比未饮酒时增加 7.2m。(3)为防止“追尾”，当车速为17 ms 时，刹车距离必须小于 40m,t17+0.0817240，解得t0.993（s）。答：反应时间不超过 0.99s。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。【分析】（1）因为未饮酒时的反应时间 t=0.7s，所以s=tv+

28、kv2=0.7110.08112=17.3817.4（m）。（2）由 v=17ms，s=46m 求得饮酒时的反应时间 t1.35s；再求出 v=17ms，t1.35s -26-时的刹车距离，从而求出饮酒时刹车距离比未饮酒时增加的距离。（3）为防止“追尾”，车速为最大 17 ms 时，刹车距离必须小于最短 40m，据此列出不等式 t17+0.08172，即2 623mm。教练船没有最先赶到。【考点】反比例函数综合题。【分析】（1）A、B 两点直线y=x上和双曲线4y=x，列方程组y=x4y=x可求 A（2，2）、B（2，2）。-33-依题意可判断ABC 为等边三角形，OA=2 2，则OC=3OA

29、=2 6。过 C 点作 x 轴的垂线 CE，垂足为 E，利用 OC 在第四象限的角平分线上求 OE，CE，确定 C 点坐标（2 32 3，）。（2）分别求出 AC、OC 的长，分别表示教练船与 A、B 两船的速度与时间，比较时间的大小即可。11.（江苏省苏州市 2008 年 9 分）如图，抛物线y=a x1x5与x轴的交点为 M、N直线y=kxb 与x轴交于 P(2，0)与 y 轴交于 C，若 A、B两点在直线y=kxb上 且 AO=BO=2，AOBO D 为线段 MN 的中点。OH 为 RtOPC 斜边上的高 (1)OH的长度等于 ；k=，b=(2)是否存在实数 a，使得抛物线y=a x1x

30、5上有一点 E 满足以 D、N、E 为顶点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式 同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的 E 点(简要说明理由)并进一步探索对符合条件的每一个 E 点，直线 NE 与直线 AB 的交点 G 是否总满足PBPG102，写出探索过程 -34-【答案】解：（1）1；33；2 33。或 1；33；2 33。（2）存在。理由如下：假设存在实数 a，使得抛物线y=a x1x5上有一点 F满足以 D、N、E 为顶点的三角形与AOB 相似。AO=BO=2，AOBO，AOB 是等腰直角三角形。以 D、N、E 为顶点与AOB相似的三角形

31、是等腰直角三角形，有两种情况：以 DN为直角边，以 DN 为斜边。若 DN 为直角边，则 EDDN。由抛物线y=a x1x5与x轴的交点为 M、N，得 M（1，0）、N（5，0）。D（2，0）。ED=DN=3。E（2，3）。-35-将（2，3）代入y=a x1x5得1a=3。抛 物 线 的 解 析 式 为1y=x1 x53，即2145y=xx333。若 DN 为斜边，则 DEEN，DE=EN。过 点E作ESx轴于点 S，则 DS=ES=32，OS=72。E（32，72）。将（32，72）代入y=a x1x5得2a=9。抛 物 线 的 解 析 式 为2y=x1 x59，即22810y=xx999

32、。当1a=3时，若抛物线2145y=xx333上还有满足条件的 E 点，不妨设为E，那么只有可能DEN 是以 DN 为斜边的等腰直角三角形，此时E（32，72），代入22810y=xx999不成立，所以点E不在抛物线2145y=xx333上。因此，抛物线2145y=xx333上没有满足条件的其它 E 点。当2a=9时，若抛物线22810y=xx999上还有满足条件的 E 点，不妨设为E，那么只有可能DEN 是以 DN 为直角边的等腰直角三角 -36-形，此时E（2，3），代入22810y=xx999不成立，所以点E不在抛物线22810y=xx999上。因此，抛物线22810y=xx999上没有

33、满足条件的其它 E 点。当 E（2，3），对应的抛物线的解析式为2145y=xx333，EDN 和AOB 是等腰直角三角形，GMP=PBO=450。又NPG=BPO，NPGBPO。PGPNPOPB，即PG PB=PO PN。PO=2，PN=7，PG PB=PO PN=14。1410 21962000，1410 2，即 PBPG102。当 E（32，72），对应的抛物线的解析式为22810y=xx999，同理可证得 PBPG。22228PAPBPM总是成立。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，连续整数的性质。【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，求其解析

34、式，用待定系数法设这个抛物线的解析式为顶点式求解。（2）要求点的坐标与m有关系，对m的取值进行分类讨论。（3）证明22228PAPBPM，只要222PAPBPM关于点(3,)Pt纵坐标t的函数最小值大于 28 即可。16.（江苏省苏州市 2011 年 10 分）已知二次函 -46-数2680ya xxa的图象与x轴分别交于点 A、B，与y轴交于点 C点 D 是抛物线的顶点 (1)如图，连接 AC，将OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边 HG 位于边 EF

35、 的右侧小 林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，则四条线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点 P 是 边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标t是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正 数a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段 -47-能构成平行四 边形）？请说明理由 【答案】解：（1）由268ya xx，令0y，解

36、得，122,4xx。令0 x，解得，8ya。点 A、B、C 的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，8a）。该抛物线的对称轴为3x。如图，设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点 M，则由 OA=2 得 AM=1。由题意，得 OA=OA=2，OA=2AM，OAM=600。OAC=CAO=600。-48-OC=OA32 3，即82 3a。34a。（2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，结论仍然成立。如图，若点 P 是边 EF 上的任意一点（不与点 E 重合），连接 PM，点 E（4，4）、F（4，3）与点 B（4，0）在一直线上，点 C 在 y 轴上，PB4，PC4，PCPB。又PDP

37、MPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD。此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形。设点P是边FG上的任意一点（不与点 G 重合），点 F 的坐标是（4，3），点 G 的坐标是（5，3），FG=3，GB=10。3PB 10。PC4，PCPB。-49-又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD。此时线段 PA、PB、PC、PD 也不能构成平行四边形。（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD 能构成一个平行四边形，如图，点 A、B 是抛物线与 x轴交点，点 P 在抛物线对称轴上，PA=PB。当 PC=PD 时，线段 PA、PB、PC、PD 能构成

38、一个平行四边形。点 C 的坐标是（0，8a），点 D 的坐标是（3，a），点 P 的坐标是（3，t），22222PC38PDtata（），（）由PC=PD得PC2=PD2，22238tata（）（），整理得，27210ata，解得277tta。显然277tta满足题意。当t是一个大于 3 的常数时，存在一个正数277tta，使得线段 PA、PB、PC、PD -50-能构成一个平行四边形。【考点】二次函数综合题，,图形的翻转，含 300角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】(1)先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含 300角的直角三角形中 300角所对的直角边是斜

39、边一半的性质，求出点 A、B、C 的坐标，再求出a。(2)分点 P 在边 EF 或边 FG 上两种情况比较四线段的长短来得出结论。(3)因为点 A、B 是抛物线与 X 轴的交点，点 P 在抛物线对称轴上，所以 PA=PB。要 PA，PB，PC，PD 构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD,，从而推出a。17.（2012 江苏苏州 10 分）如图，已知抛物线211by=xb+1 x+444（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴 分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y轴的正半轴交于点 C.点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示）；-51-请你探索在第

40、一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角 顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形 均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.xyPOCBA【答案】解：（1）B（b，0），C（0，b4）。（2）假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形。设点 P 坐标（x，y），连接 OP，则 -52-PCOPOBPC

41、OB1 b1SSSx+b y=2b2 42 四形边 x+4y=16。过 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，PEO=EOD=ODP=90。四边形 PEOD 是矩形。EPD=90。PBC 是等腰直角三角形，PC=PB，BPC=90。EPC=BPD。PECPDB（AAS）。PE=PD，即 x=y。由xyx+4y=16 解得，16xy=5。由PECPDB 得 EC=DB，即16b16=b545，解得128b=225符合题意。点 P 坐标为（165，165）。（3）假设存在这样的点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似.QAB=AOQ+AQO，-53-QABAOQ

42、，QABAQO.要使得QOA 和QAB 相似，只能OAQ=QAB=90，即 QAx 轴。b2，ABOA.QOA QBA，QOA=AQB，此 时 OQB=90。由 QAx 轴知 QAy 轴，COQ=OQA。要使得QOA 和OQC 相似，只能OCQ=90或OQC=90。（）当 OCQ=90 时，QOAOQC，AQ=CO=b4。由2AQOA AB 得：2bb14，解得：b=84 3。b2，bb=8+4 3=2+34，。点 Q 坐标为（1，2+3）.（）当 OQC=90 时，QOAOCQ，OQAQCOQC，即2OQAQ CO。又2OQOA OB，AQ COOA OB，即bAQ1 b4，解得：AQ=4 此时 b=172 符合题意。-54-点 Q 坐标为（1，4）。综上可知：存在点 Q（1，2+3）或（1，4），使得QCO、QOA 和QAB 中的任 意两个三角形均相似。