圆的培优专题含解答.pdf

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1、 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 1 题 第 2 题 第 3 题 圆的培优专题 1与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，ABC 内有一点 D，DADBDC，若DAB20，DAC30，则BDC .（BDC 1 2 BAC100）2、如图，AEBEDEBCDC，若C100，则BAD .（50）3、如图，四边形 ABCD 中，ABACAD，CBD20，BDC30，则 BAD .（BADBACCAD4060100）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图，ABCD 中，点 E 为 AB、BC 的垂直平分线的交点，若D60，则AEC

2、.（AEC2B2D120）5、如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OAOBOC，ABCADC70，则DAODCO .（所求360ADCAOC150）6、如图，四边形 ABCD 中，ACBADB90，ADC25，则ABC .（ABCADC25）解题策略：第 6 题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 ACBD 共圆.第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为O 的直径，C 为AB的中点，D 为半圆AB上一点，则ADC .8、如图，AB 为O 的直径，CD 过 OA 的中点 E 并垂直于

3、OA，则ABC .9、如图，AB 为O 的直径，3BCAC，则ABC .答案：7、45；8、30；9、；10、40；11、150；12、110 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上，BAC50，则ADC .11、如图，O 的半径为 1，弦 AB2，弦 AC3，则BOC .12、如图，PAB、PCD 是O 的两条割线，PAB 过圆心 O，若ACCD，P30，则BDC .（设ADCx，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个

4、关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！第 1 题 第 2 题 第 3 题 圆的培优专题 2与垂径定理有关的计算 1、如图，AB 是O 的弦，ODAB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上，若BED 30，O 的半径为 4，则弦 AB 的长是 .略解：ODAB，AB2AC，且ACO90，BED30，AOC2BED60 OAC30，OC 1 2 OA2，则 AC2 3，因此 AB4 3.2、如图，弦 AB 垂直于O 的直径 CD，OA5，AB6，则 BC .略解：直径 CD弦 AB，AEBE12 AB=3 OE22534，则 CE549 BC22933 10

5、 3、如图，O 的半径为2 5，弦 ABCD，垂足为 P，AB8，CD6，则 OP .略解：如图，过点 O 作 OEAB，OFCD，连接 OB，OD.则 BE12 AB4，DF12 CD3，且 OBOD2 5 OE 22(2 5)42，OF22(2 5)311 又 ABCD，则四边形 OEPF 是矩形，则 OP222(11)15 第 4 题 第 5 题 第 6 题 4、如图，在O 内，如果 OA8，AB12，AB60，则O 的半径为 .略解：如图，过点 O 作 ODAB，连接 OB，则 AD12 AB4，因此，BD8，OD4 3 OB22(4 3)84 7.5、如图，正ABC内接于O，D 是O

6、 上一点，DCA15，CD10，则 BC 略解：如图，连接 OC，OD，则ODCOCD ABC 为等边三角形，则OCAOCE30，ODCOCD45 OCD 是等腰三角形，则 OC5 2 过点 O 作 OEBC，则 BC2CE5 6 6、如图，O 的直径 AB4，C 为AB的中点，E 为 OB 上一点，AEC60，CE 的延 长线交O 于点 D，则 CD 略解：如图，连接 OC，则 OC2 C 为AB的中点，则OCAB，又AEC60，OCE30 如图，过点 O 作 OFCD，则 OF12 OC1，CF3，CD2CF2 3 7、如图，A 地测得台风中心在城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小

7、时10 7千米的速度沿北偏东60的 BF 方向移 动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域.问：A 地是否受到这次台风的影响若受到影响，请求 出受影响的时间 解：如图，过点 A 作 ACBF 交于点 C，ABF30，则 AC12 AB150200，因此 A 地会受到这次台风影响；如图，以 A 为圆心 200 千米为半径作A 交 BF 于 D、E 两点，连接 AD，则 DE2CD222200150100 7，所以受影响的时间为100 710 710（时）圆的培优专题 3圆与全等三角形 1、如图，O 的直径 AB10，弦 AC6，ACB 的平分线交O 于 D，求 CD 的长.解：如图，

8、连接 AB，BD，在 CB 的延长线上截取 BEAC，连接 DE ACDBCD，ADBD 又CADEBD，ACBE CADEBD（SAS）CDDE，ADCBDE AB 为O 的直径，则ACBADB90 BC221068；ADCCDBCDBBDE90，即CDE90 CDE 是等腰直角三角形且 CE14，CD7 2 2、如图，AB 是O 的直径，C 是半圆的中点，M、D 分别是 CB 及 AB 延长线上一点，且 MAMD，若 CM2，求 BD 的长.解：如图，连接 AC，则 ACBC，C90，即ABC 是等腰直角三角形 过点 M 作 MNAD，则NMAMAD 则CMN 也是等腰直角三角形，则 MN

9、2CM2 ANCMBD135，又 MAMD，DNMAMAD AMNBMD（AAS）BDMN2 3、如图，AB 为O 的直径，点 N 是半圆的中点，点 C 为AN上一点，NC3.求 BCAC 的值.解：如图，连接AN，BN，则ABN 是等腰直角三角形 在 BC 上截取 BDAC，连接 DN ANBN，CANDBN，ACBD ACNBDN（SAS）CNDN，CNADNB，CNDCNAANDADNDNB90，即CND 是等腰直角三角形 CD2NC6，BCACBCBDCD6 4、如图，点 A、B、C 为O 上三点，ACBC，点 M 为BC上一点，CEAM 于 E，AE5，ME3，求 BM 的长.解：如

10、图，在 AM 上截取 ANBM，连接 CN，CM.ACBC，ACBC，又AB ACNBCM（SAS）CNCM，又 CEAM NEME3，BMANAENE2 5、如图，在 O 中，P 为BAC的中点，PDCD，CD 交O 于 A，若 AC3，AD1，求 AB 的长.解：如图，连接 BP、CP，则 BPCP，BC 过点 P 作 PEAB 于点 E，又 PDCD BEPCDP BEPCDP（AAS）BECD3+14，PEPD 连接 AP，则 RtAEPRtADP（HL），则 AEAD1 ABAE+BE5 6、如图，AB 是 O 的直径，MN 是弦，AEMN 于 E，BFMN 于 F，AB10，MN8

11、.求 BFAE 的值.解：AEMN，BFMN，则 AEBF，AB 如图，延长 EO 交 BF 于点 G，则AOEBOG，AOBO AOEBOG（AAS），则 OEOG 过点 O 作 OHMN，FG2OH，HN4 连接 ON，则 ON5，OH22543，则 BGAEFG6.圆的培优专题 4圆与勾股定理 1、如图，O 是BCN 的外接圆，弦 ACBC，点 N 是AB的中点，BNC60，求 BNBC 的值.解：如图，连接 AB，则 AB 为直径，BNA90 连接 AN，则 BNAN，则ABN 是等腰直角三角形 BN22AB；又BACBNC60，BC32AB，BNBC 63 （方法 2，过点 B 作

12、BDCN，即可求解）2、如图，O 的弦 ACBD，且 ACBD，若 AD2 2，求O 半径.解：如图，作直径 AE，连接 DE，则ADE90 又 ACBD，则ADBDACADBEDB90 DACEDB，则CDBE，DEBC，ACBD，ACCD，则ADBCDE ADDE，即ADE 是等腰直角三角形 AE2AD4，即O 的半径为 2 3、如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 CB 延长线上一点，且CAD45，CEAB 于点 E，DFAB 于点 F.（1）求证：CEEF；（2）若 DF2，EF4，求 AC.（1）证：AB 为O 的直径，CAD45，则ACD 是等腰直角三角形，即 ACD

13、C 又 CEAB，则CAEECB 如图，过点 C 作 CG 垂直 DF 的延长线于点 G 又 CEAB，DFAB，则四边形 CEFG 是矩形，AECDGC90 EFCG，CEDG，则ECBCDGCAE ACEDCG（AAS），则 CECGEF（2）略解：ACCD22462 13.4、如图，AB 为O 的直径，CDAB 于点 D，CD 交 AE 于点 F，ACCE.（1）求证：AFCF；（2）若O 的半径为 5，AE8，求 EF 的长（1）证：如图，延长 CD 交O 于点 G，连接 AC 直径 ABCG，则AGACCE CAEACG，则 AFCF（2）解：如图，连接 OC 交 AE 于点 H，则

14、 OCAE，EHAH12 AE=4 OH22543，则 CH532 设 HFx，则 CFAF4x 则2222(4)xx，32x，即 HF32 EF112 5、如图，在O 中，直径 CD弦 AB 于 E，AMBC 于 M，交 CD 于 N，连接 AD.（1）求证：ADAN；（2）若 AB4 2，ON1，求O 的半径.（1）证：CDAB，AMBC CCNMCB90 BCNM，又BD，ANDCNM DAND，即 ADAN（2）解：直径 CD弦 AB，则 AE2 2 又 ANAD，则 NEED 如图，连接 OA，设 OEx，则 NEED1x OAOD21x 222(2 2)(21)xx，则1x O 的

15、半径 OA3 圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题 1、在 O 中，弦 ABCD 于 E，求证：AOD BOC 180.证：如图，连接 AC，ABCD，则CABACD90 又AOD2ACD，BOC2BAC AODBOC180.2、在O 中，弦 ABCD 于点 E，若O 的半径为 R，求证：AC2BD24R2.证：ABCD，则CABACD90 如图，作直径 AM，连接 CM 则ACMACDDCM90 CABDCM，BCDM CMBD，CMBD AC2CM2AM2 AC2BD24R2.3、在O 中，弦 ABCD 于点 E，若点 M 为 AC 的中点，求证 MEBD.证：如图，连接 ME，并延长交 BD

16、 于点 F ABCD，且点 M 为 AC 的中点 ME 为 RtAEC 斜边上的中线 AMME AAEMBEF 又BC，AC90 BEFB90，即BFE90 MEBD.4、在O 中，弦 ABCD 于点 E，若 ONBD 于 N，求证：ON12AC.证：如图，作直径 BF，连接 DF，则 DFBD，又 ONBD，ONFD，又 OBOF ON12DF 连接 AF，则 AFAB，又 CDAB AFCD ACFD，则 ACFD ON12AC 5、在O 中，弦 ABCD 于点 E，若 ACBD，ONBD 于 N，OMAC 于 M.（1）求证：ME/ON；（2）求证：四边形OMEN 为菱形.证：（1）如图

17、，延长ME 交 OD 于点 F OMAC，则点 M 为 AC 的中点 ABCD，则 ME 为 RtACE 的斜边上中线 AMEM，AAEMBEF 又BC，AC90 BBEF90，则BFE90 MFBD，又 ONBD MFON （2）由（1）知 MFON，同理可证 OMNE，四边形 OMEN 是平行四边形 ACBD，OMON 四边形 OMEN 为菱形.圆的培优专题 6圆与内角（外角）平分线 一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形 1、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CD 平分ACB，ACB90.求证：CACB2CD.证：如图，在 CA 的延长线上截取 AEBC，连 D

18、E，AD，BD CD 平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS）CDDE，又ACD45 CDE 是等腰直角三角形，则 CACBCE2CD.2、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CD 平分ACB，ACB120，求CA+CBCD 的值.解：如图，在 CA 的延长线上截取 AEBC，连 DE，AD，BD CD 平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS）CDDE，又ACD60 CDE 是等边三角形 CDCECABC，即CA+CBCD 1 3、如图，过 O、M(1,1)的动圆1O交y轴、x轴于点 A、B，求 OAOB 的值.解：如图，过点 M 作

19、MEy轴，MFx轴，连 AM、BM 由 M（1，1）知：四边形 OFME 是正方形 OEOF4，EMFM，又MBFMAE，AEMBFM（AAS），则 AEBF OAOBAEOEOFBF8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关 4、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CP 平分ABC 的外角ACQ，ACB90.求证：（1）PAPB；（2）ACBC2PC.证：（1）如图，连接AP，则PCQPAB 又PCQPCA，则PABPCA PAPB （2）连接 BP，由（1）得，PAPB 在 AC 上截取 ADBC，连 PD，又PADPBC PADPBC（SAS），则 PDPC 又PCD45，则PCD 是等腰直

20、角三角形，ACBCCD2PC.5、如图，O 为ABC 的外接圆，弦CP 平分ABC 的外角ACQ，ACB120.求BCACPC 的值.解：如图，在 BC 上截取 BDAC，连 AP、BP、DP PCBPCQPBA APBP，又CAPDBP CAPDBP（SAS），则 CPDP 又ACB120，PCD30，BCACPC CDPC 3 6、如图，A(4,0)，B(0,4)，1O经过 A、B、O 三点，点 这 P 为OA上动点（异于 O、A）.求PBPAPO 的值.解：如图，在 BP 上截取 BCAP A(4,0)，B(0,4)，则 OAOB4 又OAPOBC OAPOBC（SAS）OCOP，且CO

21、PAOB90，则PBPAPO PCPO 2.圆的培优专题 7与切线有关的角度计算 一 切线与一个圆 答案：1、70；2、20；3、80；4、120；5、130；6、45 1、如图，AD 切O 于 A，BC 为直径，若ACB20，则CAD .第 6 题 2、如图，AP 切O 于 P，PB 过圆心，B 在O 上，若ABP35，则APB .3、如图，PA、PB 为O 的切线，C 为ACB上一点，若BCA50，则APB .4、如图，PA、PB 为O 的切线，C 为AB上一点，若BCA150，则APB .5、如图，点 O 是ABC 的内切圆的的圆心，若 BAC80，则BOC .6、如图，PA 切O 于

22、A，若 PAAB，PD 平分 APB 交 AB 于 D，则ADP .（设元，列方程）二 切线与两个圆 7、如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB、AC 分别切小圆于 D、E，小圆的DE的度数为110，则大圆的BC的度数为 .8、如图，O1和O2交于 A、B 两点，且点 O1在O2上，若D110，则C 9、如图，O1和O2外切于 D，AB 过点 D，若AO2D100，C 为优弧BD上任一点，则DCB .答案：7、140；8、40；9、50（过点 D 作两圆的切线）圆的培优专题 8与切线有关的长度计算 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第4 题 第 5 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题

23、 1、如图，在O 的内接ACB 中，ABC30，AC 的延长线与过点 D 的切线 BD 交于 点 D，若O 的半径为 1，BD/OC，则 CD .（CD33）2、如图ABC 内接于O，ABBC，过点 A 的切线与 OC 的延长线交于 D，BAC75，CD3，则 AD .（AD3）3、如图，O 为BCD 的外接圆，过点 C 的切线交 BD 的延长线于 A，ACB75，ABC45，则 CDDB 的值为 .（CDDB 2）4、如图，AB 为O 的直径，弦 DC 交 AB 于 E，过 C 作O 的切线交 DB 的延长线于 M，若 AB4，ADC45，M75，则 CD .（CD2 3）5、如图，等边AB

24、C 内接于O，BD 切O 于 B，ADBD 于 D，AD 交O 于 E，O 的半径为 1，则 AE .（AE1）6、如图，ABC 中，C90，BC5，O 与 ABC 的三边相切于 D、E、F，若O 的 半径为 2，则ABC 的周长为 .（C30）7、如图，ABC 中，C90，AC12，BC16，点 O 在 AB 上，O 与 BC 相切于 D，连接 AD，则 BD .（示：过 D 作 DEAB，设 CDDEx，BD10）解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.圆的培优专题 9圆的切线与垂径定理 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第

25、 7 题 1、如图，AB 为O 的直径，C 为AE的中点，CDBE 于 D.（1）判断 DC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 DC3，O 的半径为 5，求 DE 的长.解：（1）DC 是O 的切线，理由如下：如图，连接 OC，BC，则ABCCBDOCB OCBD，又 CDBE OCCD，又 OC 为O 的半径 DC 是O 的切线 （2）如图，过 O 作 OFBD，则四边形 OFDC 是矩形，且 BEEF OFCD3，DFOC5，EFBF22534，DEDFEF1 2、如图，AB 为O 的直径，D 是BC的中点，DEAC 交 AC 的延长线于 E，O 的切线 BF 交 AD 的延长线于点

26、 F.（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 DE3，O 的半径为 5，求 DF 的长.（1）证：显然，CADOADODA ODAE，又 DEAC，ODDE，又 OD 为O 半径 DE 为O 的切线（2）解：如图，过点 O 作 OGAC，则 OGDE 是矩形，即 OGDE3，DEOD5 AG22534，则 AE549，22933 10 连接 BD，则 BDAD，BD2210(3 10)10 设 DFx，则22(10)x BF22(3 10)10 x，DF103x.3、如图，四边形ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，AECD 于 E，DA 平分BDE.（1）求证：AE 是O 的切线；（2）

27、若 AE2，DE1，求 CD 的长.（1）证：如图，连接OA，则ADEADOOAD OACD，又 AECD OAAE，又 OA 为O 的半径 AE 是O 的切线（2）解：如图，过点O 作 OFCD，则 CD2DF，且四边形OFEA 是矩形 EFOAOD，OFAE2 设 DFx，则 ODEF1x 2222(1)xx，1.5x CD2CF23x 4、如图，AE 是O 的直径，DF 切O 于 B，ADDF 于 D，EFDF 于 F.（1）求证：EFADAE；（2）若 EF1，DF4，求四边形 ADFE 的周长.（1）证：如图，连接 CE，则四边形 CDFE 是矩形 连接 OB 交 CE 于点 G，D

28、F 是O 的切线 OBDF，OBCE BGCDEF，OGAC，又 AOOE AC2OG EFADACCDEF2OG2BG2OBAE.（2）解：显然 CEDF4，CDEF1 设 ACx，则 AD1x，AE2x 2224(2)xx，则3x，则 AC3，AD4，AE5 四边形 CDFE 的周长为 14.圆的培优专题 10圆的切线与勾股定理 1、如图，已知点 A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于点 B，OCBC，AC12OB.（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若ACD45，OC2，求弦 CD 的长.（1）证：OCOB，AC 为 OAB 的 OB 边上的中线，又 AC12OB

29、 OAB 是直角三角形，且OAB90，又 OA 为O 的半径 AB 是O 的切线（2）解：显然，OAOCAC，即OAC 是等边三角形 AOC60，D30 如图，过点 A 作 AECD 于点 E，ACD45，AEC 是等腰直角三角形，AECE22AC22OC2，DE3AE6 CD62 2、如图，PA、PB 切O 于 A、B，点 M 在 PB 上，且 OM/AP，MNAP 于 N.（1）求证：OMAN；（2）若O 的半径3r，PA9，求 OM 的长.（1）证：如图，连接 OA，PA 为O 的切线，OAAP，又 MNAP OAMN，又 OM/AP，四边形 OANM 是矩形，即 OMAN（2）解：如图

30、，连接 OB，PB、PA 为O 的切线 OBMMNP90，PBPA9 OM/AP，OMBP，又 OBOAMN，OBMMNP（AAS）OMPM，则 32OM2（9OM）2，OM5 3、如图，AB 为O 的直径，半径 OCAB，D 为 AB 延长线上一点，过 D 作O 的切线，E 为切点，连接 CE 交 AB 于 F.（1）求证：DEDF；（2）连接 AE，若 OF1，BF3，求 DE 的长.（1）证：如图，连接 OE PE 为O 的切线，OEDE，又 OCAB CCFOOEFDEF90 又COCF，CFODFE DEFDFE，DEDF（2）解：显然，OEOBOFBF4 设 BDx，则 DEDF3

31、x，OD4x 222(3)4(4)xx，x 4.5 DE 4、如图，正方形 ABCO 的顶点分别在y轴、x轴上，以 AB 为弦的M 与x轴相切于 F，已知 A(0,8)，求圆心M 的坐标.解：如图，连接FM 交延长交AB 于点 E M 与x轴相切，即OC 是M 的切线 EFOC，又四边形ABCO是正方形 EFAB，又 A（0，8）即 ABEMOA8 AE4 设 MFAMx，则 EM8x 2224(8)xx，5x，即 MF5 点 M 的坐标为（4，5）圆的培优专题 11圆的切线与全等三角形 1、如图，BD 为O 的直径，A 为BC的中点，AD 交 BC 于 E，过 D 作O 的切线，交 BC 的

32、延长线于 F.（1）求证：DFEF；（2）若 AE2，DE4，求 DB 的长.（1）证：如图，连接 AB BD 为O 的直径，DF 为O 的切线 BADBDF90 ABCAEBADBFDE90 又ABCADB，AEBDEF DFEDEF，DEEF（2）解：如图，过点 F 作 FGED，则 EGGD2AE，又BAEFGE90，AEBGEF，ABEGFE（ASA），BEEF，即 DE 为 RBDF 的斜边上中线 DFEFDE4，BF8，则 BD4 3 2、如图，AB 为O 的直径，C、D 为O 的一点，OCAD，CFDB 于 F.（1）求证：CF 为O 的切线；（2）若 BF1，DB3，求O 的半

33、径.（1）证：AB 为O 的直径 DFAD，又 OCAD OCDF，又 CFDB OCCF，又 OC 为O 的半径 CF 为O 的切线（2）解：如图，过点 C 作 CEBD 于点 E，则 BEDE，EF 又 OCCF，CFEF 四边形 OCFE 是矩形 O 有半径 OCEF 3、如图，以O 的弦 AB 为边向圆外作正方形 ABCD.（1）求证：OCOD；（2）过 D 作 DM 切O 于 M，若 AB2，DM2 2，求O 的半径.（1）证：如图，连接 OA、OB，则 OAOB OABOBA 四边形 ABCD 是正方形 ADBC，DABCBA90 OADOBC OADOBC（SAS）OCOD（2）

34、解：如图，连接 OM、BD，则 OMDM，且 BD2AB2 2DM 又 OMOB，ODOD，ODMODB（SSS）OBBD，又ABD45 OAB45，即OAB 是等腰直角三角形 OA22AB2 4、如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，以 BC 为直径的O 交 AB 于 D.（1）求证：ADBD；（2）弦 CE 交 BD 于 M，若3ABCBCMSS，求 BDCE.（1）略证：连接 CD，则 CDAB 又 ACBC，ACB90，ADBD（2）解：如图，连接 BE，过 A 作 ANCE 于 N，3ABCBCMSS，2ACMBCMSS AN2BE CANBCE，ACBC，ANCCEB ANCC

35、EB（AAS）BECN，CEAN 设 CNBEx，则 CEANBE2x，BC5x，AB2BC10 x，即 BD102x BDCE 104.圆的培优专题 12圆的切线与等腰三角形 1、如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC 交于 D，与边 AC 交于 E，过 D 作 DFAC 于 F.（1）求证：DF 为O 的切线；（2）若 DE5，AB5，求 AE 的长.（1）证：如图，连接 AD，OD，AB 为O 的直径，ADBC，又 ABAC，OAOB EADDABADO ODAC，又 DFAC ODDF，又 OD 为O 的直径 DF 为O 的切线（2）解：EADDAB，BDDE5

36、，又 AB5，AD225(5)2 5 DFACADCD，DF2，CFEF52(5)21，AE523 2、如图，在 ABC中，ABAC，以边AB 为直径作O，交 BC 于 D，过 D 作 DEAE.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接OC，若CAB120，求 DEOC 的值.（1）证：如图，连接 AD，OD，则 ADBC 又 ABAC，CDBD，又 AOOB ODAC，又 DEAE ODDF，DE 是O 的切线；（2）解：如图，过点 O 作 OFBD 于 F，则 BD2BF ABAC，CAB120，B30 设 OFx，则 BF3x，OB2x，ACAB4x，CDBD2 3x，则 CF3 3x

37、 由勾股定理，得 OC2 7x，由面积法，得 DE3x，DEOC 2114.3、如图，ABAC，点 O 在 AB 上，O 过点 B，分别交 BC 于 D、AB 于 E，DFAC.（1）证：DF 为O 的切线；（2）若 AC 切O 于 G，O 的半径为 3，CF1，求 AC.（1）证：如图，连接 OD，ABAC，OBOD BCODB ODAC，又 DFAC ODDF，又 OD 为O 的半径 DF 为O 的切线（2）解：如图，连接 OG，AC 为O 的切线 OGAC，又 ODDF，DFAC，OGOD 四边形 ODFG 是正方形，即 OBOGGF3 设 AGx，则 ABAC4x，则 AO1x 232

38、3(1)xx，4x，则 AC8 4、如图，CD 是O 的弦，A 为CD的中点，E 为 CD 延长线上一点，EG 切O 于 G.（1）求证：KGGE；（2）若 AC/EG，DKCK 35，AK2 10，求O 的半径.（1）证：如图，连接 OG，OA 交 CD 于点 F A 为CD的中点，EG 是O 的切线 OACD，OGGE OAGAKFOGAEGK 又OAGOGA，AKFEKG EGKEKG KGGE（2）解：ACEG，CAKEGK，又EGKEKGCKA CAKCKA，CACK 设 CKCA5x，则 DK3x，CD8x，CF4x，EGx AF22(5)(4)3xxx 在 RtAFK 中，222

39、(3)(2 10)xx，2x CE8，AE6，设O 的半径为 R，则 R282（R6）2，R253 圆的培优专题 13圆与三角形的内心 1、如图，AB 是O 的直径，ACCE，点 M 为 BC 上一点，且 CMAC.（1）求证：M 为ABE 的内心；（2）若O 的半径为 5，AE8，求BEM 的面积.（1）证：如图，连接 CE，则 ACCECM CMECEM，CEACBE CBEBEMCEAAEM AEMBEM，又ABCCBE 点 M 为ABE 的内心.（2）解：如图，过点 M 作 MNBE 于点 N，则 MN 为ABE 的内切圆的半径.AB10，AE8，则 BE221086 MN68 102

40、2，MN2abcababc2 BME 的面积为12626.2、如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分BAC 点 M 是ABC 的内心.（1）求证：BC2DM；（2）若 DM5 2，AB8，求 OM 的长.（1）证：如图，连接 BD，CD，BC 为直径，AD 平分BAC BDCD，BDC90，BC2CD 连接 CM，则ACMBCM，DACBCD DMCACMDACBCMBCDDCM，DMCD，即 BC2DM（2）解：显然，BC2DM10，AB8，则 AC6，且MAE45 如图，过 M 作 MEBC 于点 N，作 MFAC 于点 F，则 MEMFAF2 CFCE4，则 OE1 OM

41、22215.3、如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC的中点，DEAB 于 E，I 是ABD 的内心，DI 的延长线交O 于 N.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE4，CE2，求O 的半径和 IN 的长.（1）证：D 是BC的中点，OAOD CADDAOADO ODAE，又 DEAB ODDE，又 OD 为O 的半径 DE 是O 的切线.（2）解：如图，过点 O 作 OFAC，则 AFCF DEAB，ODDE 四边形 ODEF 是矩形，则 OFDE4 设O 的半径为 R，则 OAODEFR，AFCFR2 （R2）242 R2，R5，AB10，如图，连接 BI，AN，

42、BN，则 INBNAN5 2 4、如图，在ABC 中，ABAC，I 是ABC 的内心，O 交 AB 于 E，BE 为O 的直径.（1）求证：AI 与O 相切；（2）若 BC6，AB5，求O 的半径.（1）证：如图，延长 AI 交 BC 于点 D，则 ADBC，连接 OI，则OIBOBIOBD OIBC，又 ADBC ADOI，又 OI 为O 的半径 AI 与O 相切（2）显然 BD3，AB5，则 AD4 如图，过点 I 作 IFAB 于点 F，则 BFBD3，AF2，IFID，设 IFIDx，则 AI4x，2222(4)xx，则 IF32x 设 O 的半径为R，则 OF3R，（3R）2（32）

43、2 R2，R158 圆的培优专题14圆中动态问题 1、如图，点P 是等边ABC 外接圆BC上的一个动点，求证 PAPBPC.证：如图，在 AP 上截取 PDPC，连接 CD ABC 是等边三角形，ABCACB60 DPCABC60 PCD 是等边三角形，即 CDPC ACDBCDBCPBCD60 ACDBCP，又 ACBC ACDBCP（SAS）ADBP PAADDPPBPC.2、已知弦 ADBD，且 AB2，点 C 在圆上，CD1，直线 AD、BC 交于点 E.（1）如图 1，若点 E 在O 外，求AEB 的度数；（2）如图 2，若 C、D 两点在O 上运动，CD 的 长度不变，点 E 在O

44、 内，求AEB 的度数.解：（1）如图1，连接 OC，OD ADBD AB 为O 的直径，且 AB2 CDOCOD1，即OCD 是等边三角形 COD60 CBD12 COD=30 AEB60 图1 图2 （2）如图2，连接 OC，OD 同理可得：ACD60，CBD12 COD=30 又ADB90，AED120 3、已知直线l经过O 的圆心 O，且交O 于 A、B，点 C 在O 上，且AOC30，点 P 是直线l上一个动点（与 O 不重合），直线 CP 与O 交于 Q，且 QPQO.（1）如图 1，当点 P 在线段 AO 上时，求OCP 的度数；（2）如图 2，当点 P 在线段 OA 的延长线上

45、时，求OCP 的度数；（3）如图 3，当点 P 在线段 OB 的延长上时，求OCP 的度数.解：（1）如图1，设OCPx OCOQ，则OQPx 又AOC30，QPQO QOPQPO30 x 2(30)180 xx OCP40 x （2）如图2，设COQx，又AOC30，QPQO 图1 图2 QOPQPO30 x 又 OCOQ OQPOCQ60 x (60)2(30)180 xx COQ20 x OCP100 （3）如图3，设QPOx QPPO，则QOPQPOx OCOQ OCQOQC2x 230 xx QPOx10 OCP20 圆的培优专题 15聚焦圆中无图多解题 圆是中考数学考查的一个热点，

46、题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。由于圆是一个特殊对称图形，而同学们往往考虑不周，丢掉另一种情况，造成失分较多，现将圆中无图两解或多解试题 图3 列举如下，供同学们参考：1、已知O 的半径是 6cm，O 的弦 AB63，则弦 AB 所对的圆周角是 .答案：60或 120 2、若 AB 是O 的直径，AC、AD 是弦，AB2，AC2，AD1，则CAD .答案：15或 105 3、在直径为 50cm 的O 中，弦 AB40cm，弦 CD48cm，且 ABCD，则 AB 与 CD 之 间的距离是 .答案：22cm 或 8cm 4、已知

47、 P 点到O 的最短距离为 2cm，最长距离为 6cm，则O 的半径为 .答案：4cm 或 2cm 5、相交两圆的公共弦长为 6cm，两圆的半径分别为 32，5，则这两圆的圆心距等于 .答案：7cm 或 1 cm 6、点 P 是半径为 5 的O 内的一点，且 OP3cm，在过点 P 的所有弦中长度为整数的弦一 共有 条.答案：4 条 7、已知O 的半径为 5cm，弦 AB8，P 为 AB 上一动点，且 OP 长为整数，满足条件的 P 点有 个.答案：5 个 8、O1和O2交于 A、B 两点，且O1经过点 O2，若AO1B90那么AO2B 的度数 是 .答案：135或 45 9、从不在O 上的一

48、点 A，作O 的割线交O 于 B、C，且 AB AC64，OA10，则 O 的半径等于 .答案：241或 6 10、已知O 的半径为 5cm，AB 是弦，P 是直线 AB 上的一点，PA3cm，AB8cm，则 tanOPB 的值为 .答案：3 或73 11、已知 PA、PB 是O 的两条切线，点 C 是O 上异于 A、B 的一点，过 C 点切线交 PA、PB 于 D、E 两点，若 APB400，则DOE .答案：70或 110 12、已知等腰 ABC 内接于O，底边 BC8cm，圆心 O 到 BC 的距离等于 3cm，则腰长 AB .答案：25cm 或 45cm 13、在ABC 中，C90o，

49、AC3，BC4，若以 C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边只 有一个公共点，则 R 的取值范围 .答案：R或 3R4 14、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 .答案：外离或内含 15、在 RtABC 中，AB6，BC8，则这个三角形的外接圆的直径是 .答案：10 或 8 16、已知O1和O2仅有一条公切线，O1半径为 3cm，且 O1O25cm,则O2的半径等 于 .答案：2cm 或 8cm 17、已知O 上有 A、B、C 三点，若弦 AC 的长恰好等于O 的半径，则ABC .答案：30或 150 18、已知O 的半径是 5cm，P 是直线l上的一点，且 OP5cm，那么直线l与O 的位置关系是 .答案：相交或相切 19、在ABC 中，ABAC5cm，且ABC 的面积为 12cm2，则ABC 外接圆的半径 为 .答案：625cm 或 825cm 20、AB、AC 是O 的两条切线，A、B 为切点，A50，点 P 是圆上异于 A、B 的一动点，则BPC .答案：65或 115