幂函数与指数函数的区别_1.pdf

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1、幂函数与指数函数的区别 1.指数函数：自变量 x 在指数的位置上，y=ax（a0，a 不等于 1）性质比较单一，当 a1 时，函数是递增函数，且 y0;当 0a0.2.幂函数：自变量 x 在底数的位置上，y=xa（a 不等于 1）.a 不等于 1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握 a=-1、2、3、1/2 时的图像即可。其中当 a=2 时，函数是过原点的二次函数。其他 a 值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。=8是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数 y=8x（a=8），当

2、 x=时，y 的值；或者将其看成：幂函数 y=x（a=），当 x=8 时，y 的值。幂函数的性质：根据图象,幂函数性质归纳如下：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）当 a0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数 特别地，当 a1 时，幂函数的图象下凸；当 0a1 时，幂函数的图象上凸；（3）当 a0，且 a1)，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:logaN=b。其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。注意:由于 a0，故 N0，即 N 为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题:通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，。以 e

3、为底的对数叫做自然对数，。2对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3三个对数恒等式 由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a0，a1）前提下有:4.三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在 a0，a1 的前提下有:(1)令 am=M，an=N，则有 m=logaM，n=logaN，m+n=loga(MN)，即 (2)，令 am=M，an=N，则有 m=logaM，n=logaN，即。(3)，令 am=

4、M，则有 m=logaM，mn=n Mn=amn，mn=(n R)，n=。5两个换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a0，a1，M0 的前提下有:(1)令 logaM=b，则有 ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:。(2)，令 logaM=b，则有 ab=M，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论:例题选讲:第一阶梯 例 1将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：(1)log216=4；(3)54=625；解：(1)24=16 (3)54=625，log5625=4

5、.例 2解下列各式中的 x：(3)2x=3；(4)log3(x-1)=log9(x+5).解：(3)x=log23.(4)将方程变形为 例 3求下列函数的定义域：思路分析：求定义域即求使解析式有意义的 x 的范围，真数大于 0、底大于 0 且不等于 1 是对数运算有意义的前提条件。解：(1)令 x2-4x-50，得(x-5)(x+1)0，故定义域为x|x5 04x-31。所以所求定义域为x|-10，或 0X2.第二阶梯 例 4比较下列各组数中两个值的大小 (1)，；(2)log0.31.8，；(3)，(a0，a1)。思路分析：题中各组数可分别看作对数函数 y=log2x、y=、y=logax

6、的两函数值，可由对数函数的单调性确定。解：(1)因为底数 21，所以对数函数 y=log2x 在(0，+)上是增函数，于是；(2)因为底数为，又 0；(3)当 a1 时，函数 y=logax 在(0，+)上是增函数，所以；当 0。说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1 的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。例 5若 a0，a1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是（）(1)logaxlogay=loga(x+y)；(2)logax-logay=loga(x-y)；(4)logaxy=lo

7、gaxlogay；A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析：对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax，logax 是不可分开的一个整体。4 个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。答案：A 例 6已知 lg2=，lg3=，求。思路分析：解本题的关键是设法将 的常用对数分解为 2，3 的常用对数代入计算。解：第三阶梯 例 7若方程 lg(ax)lg(ax2)=4 的所有解都大于 1，求 a 的取值范围。思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于 lgx 的一元二次方程，化归为一元

8、二次方程解的讨论问题。解：原方程化为 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4。2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0，令 t=lgx，则原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*)若原方程的所有解都大于 1，则方程（*）的所有解均大于 0，则 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。例 8将 y=2x 的图像（）A、先向左平行移动 1 个单位 B、先向右平行移动 1 个单位 C、先向上平行移动 1 个单位 D、先向下平行移动 1 个单位 再作关于直线 y=x 对称的图像，可得函数 y=log2(x+1)的图像。思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可

9、逆向分析。解法 1：在同一坐标系内分别作为 y=2x 与 y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得 D。解法 2：与函数 y=log2(x+1)的图像关于直线 y=x 以对称的曲线是它的反函数 y=2x-1 的图像，为了得到它，只需将 y=2x 的图像向下平移 1 个单位。解法 3：本身。函数 y=2x 的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除 A、B、C，即得 D。说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。例 9已知 log189=a，18b=5，求 log3645 的值；（用含有 a、b 的式子表示）思路分析：当指数的取值范围扩展到有理数后，对数

10、运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。解：由 18b=5，得 b=log185，又 log189=a，log189+log185=log3645=a+b，则 说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。详细题解 1求值:(1)(2)(3)解:(1)。(2)(3)注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。2求值:(1)(2

11、)(3)解:(1)(2)。(3)法一：法二：注意:运用换底公式时，理论上换成以大于 0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以 10 为底的常用对数也可。(3)的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。3已知:log23=a，log37=b，求:log4256=解:，4已知:a2+b2=7ab，a0，b0。求证:。证明:a2+b2=7ab，a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，lg(a+b)2=lg(9ab)，a0，b0，2lg(a+b)=lg9+lga+lgb，2lg(a+b)-lg3=lga+lgb 即 5.已知:求证:3ab

12、-bc-2ac=0。证明:设，则:，3ab=bc+2ac，即 3ab-bc-2ac=0。6求值:解:另解:设=m(m0)，lg2=lgm，2=m，即。课后练习:1 2 3 4已知:xlog34=1，求:的值。5已知:lg2=a，lg3=b，求:log512 的值。参考答案:1.-2.-3.4.5.对数函数的性质及应用 概念与规律:1对数函数 y=logax 是指数函数 y=ax 的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2在同一坐标系内，当 a1 时，随 a 的增大，对数函数的图像愈靠近 x 轴；当 0A1时，对数函数的图象随 a 的增大而远离 x 轴。（见图 1）

13、例 1求下列函数的定义域。(1)y=(2)y=ln(ax-k2x)(a0 且 a1，kR)解:(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2)。(2)因为 ax-k2x0，所以()xk。10，当 k0 时，定义域为 R；20，当 k0 时，(i)若 a2，则函数定义域为(k，+)；(ii)若 0A2，且 a1，则函数定义域为(-，k)；(iii)若 a=2，则当 0K1时，函数定义域为 R；当 k1 时，此时不能构成函数，否则定义域为。例 2若(m，n0，且 m1，n1)，试比较 m，n 的大小。解:(1)当 m1，n1 时，1，由对数函数性质:当底数和真数都大于 1 时，对同一真数，底数

14、大的对数值小，nm1。(2)当 m1，0N1时，0，0，0N1M也是符合题意的解。(3)当 0M1，0N1时，1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故 0MN1。综上所述，m，n 的大小关系有三种:1MN或 0N1M或0MN1。例 3作出下列函数的图象:(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx (2)y=lg|x|(3)y=-1+lgx 解:(1)如图 2；(2)如图 3；(3)如图 4。例 4函数 y=f(2x)的定义域为-1，1，求 y=f(log2x)的定义域。提示:由-1x1，可得 y=f(x)的定义域为，2，再由 log2x2得 y=f(log2x)的定义域为，4。例 5

15、求函数 y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间。解:设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4，y=t为减函数，且0T4，y=-2，即函数的值域为-2，+)。再由:函数 y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1X3。t=-x2+2x+3 在(-1，1）上递增而在1，3)上递减，而 y=t 为减函数。函数 y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3)。例 6已知 f(x)=ax-a-x(其中 0A1)。(1)求函数 f(x)的反函数 f-1(x)；(2)试判断函数 f-1(x)的奇偶性，并证明你的结论。解:(1)设 y=ax-a-x，则 a2x-y

16、ax-1=0，ax0，解得 ax=，x=loga，所求函数的反函数 f-1(x)=loga(xR)。(2)xR 且 f-1(-x)=loga=loga=loga()-1=-f-1(x)。函数 f-1(x)是奇函数。例 7已知 f(logax)=(a0 且 a1)，试判断函数 f(x)的单调性。解:设 t=logax(xR+，tR)。当 a1 时，t=logax 为增函数，若 t1T2，则 0X1X2，f(t1)-f(t2)=，0X11，f(t1)F(T2)，f(t)在 R 上为增函数，当 0A1时，同理可得 f(t)在 R 上为增函数。不论 a1 或 0A1，f(x)在 R 上总是增函数。例

17、8已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)。(1)若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围。分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为 R，即关于 x 的不等式 ax2+2x+10的解集为 R，这是不等式中的常规问题。f(x)的值域为 R 与 ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图 5，我们会发现，使 u 能取遍一切正数的条件是。解:(1)f(x)的定义域

18、为 R，即:关于 x 的不等式 ax2+2x+10 的解集为 R，当 a=0 时，此不等式变为 2x+10，其解集不是 R；当 a0 时，有 a1。a 的取值范围为 a1。(2)f(x)的值域为 R，即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正数a=0 或 0a1，a 的取值范围为 0a1。例 9已知函数 h(x)=2x(xR)，它的反函数记作 g(x)，A、B、C 三点在函数 g(x)的图象上，它们的横坐标分别为 a，a+4，a+8(a1)，记 ABC 的面积为S。(1)求 S=f(a)的表达式；(2)求函数 f(a)的值域；(3)判断函数 S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若 S2，求 a

19、 的取值范围。解:(1)依题意有 g(x)=log2x(x0)，并且 A、B、C 三点的坐标分别为 A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4)，C(a+8，log2(a+8)(a1)，如图 6。A，C 中点 D 的纵坐标为log2a+log2(a+8)S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。(2)把 S=f(a)变形得:S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+)。由于 a1 时，a2+8a9，11+，又函数 y=log2x 在(0，+)上是增函数，02log2(1+)2log2，

20、即 0S2LOG2。(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下:任取 a1，a2，使1A1A21，a21，且 a2a1，a1+a2+80，+8a20，+8a10，a1-a20，11+f(a2)S=f(a)在(1，+)上是减函数。(4)由 S2，即得，解之可得:10 且 a1，b1 时，f(x)在(-，)，(-，+)上都是增函数，0A1时，f(x)在(-，)，(-，+)上都是减函数。(4)f-1(x)=(x0，xR)。3.(1)证明 f(x)为奇函数；(2)证明 f(x)为 R 上的增函数。4log2 A1。专题辅导 对数与对数函数 1本单元重、难点分析 1）重点：对数的定义；对数

21、的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。2）难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。2典型例题选讲 例 1已知 log23=a，3b=7，求 log1256 的值。讲解：先将 3b=7 转化为 log37=b，然后设法将 log1256 化成关于 log23 和log37 的表达式，即可求值。解法 1 log23=a，2a=3。又 3b=7，7=(2a)b=2ab，故 56=23+ab。又 12=34=2a4=2a+2。从而 56=，故 log1256=log12。解法 2 log23=a，log32

22、=，又 3b=7，log37=b，从而 log1256=。解法 3 log23=a，lg3=alg2，又 3b=7，lg7=blg3，lg7=ablg2。从而 log1256=。说明：解法 1 借助指数变形来解；解法 2 与解法 3 是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例 2已知 loga3logb30，则 a，b，1 的大小关系是_。讲解：由对数函数的性质可知，a1，b1，关键是判断 a 与 b 的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。解法 1 由 loga3logb30 0 log3bl

23、og3a0 log3blog3alog31。y=log3x 是增函数，故 ba1。解法 2 由 loga3logb30 0。lg30，lga0，lgb0，上式等价于0 lgblga0 lgblgalg1。y=lgx 是增函数，故 ba1。解法 3分别作出 y=logax 与 y=logbx 的图象，然后根据图象特征进行推断。loga3logb30，a1，b1，故 y=logax 与 y=logbx 均为增函数。又 loga3logb30，当 x1 时，y=logax 的图象应在 y=logbx 图象的上方，如图所示。根据对数函数的图象分布规律，可知：ba1。说明：解法 1 利用了 logab

24、与 logba 互为倒数，转化为同底的对数，再利用单调性判断。解法 2 利用了换底公式。解法 3 利用了图象的特征。3容易产生的错误 1）对数式 logaN=b 中各字母的取值范围(a0 且 a1，N0，bR)容易记错。2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立。如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的。二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下

25、面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga。3）解决对数函数 y=logax(a0 且 a1)的单调性问题时，忽视对底数 a 的讨论。4）关于对数式 logaN 的符号问题，既受 a 的制约又受 N 的制约，两种因素交织在一起，学生应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考。以 1 为分界点，当 a，N 同侧时，logaN0；当 a，N 异侧时，logaN1 3图 2 中曲线是对数函数 y=logax 的图象，已知 a 值取，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依 次为（）。A、B、C、D、4函数的单调递

26、增区间为（）。A、(-,3 B、(-,1)或3，5)C、3,+)D、(1,3)或(5,+)5设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-,0)上是增函数，则 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系是（）。A、f(a+1)=f(b+2)B、f(a+1)f(b+2)C、f(a+1)F(B+2)D、不能确定 6设方程 2x+x-3=0 的根为，方程 log2x+x-3=0 的根为，则+的值是（）。A、1 B、2 C、3 D、6 二、填空题：7已知函数 y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为 R，则 k 的取值范围是_；若函数的值域为 R，则 k 的取值范围是_。8已知函数，则 f(lo

27、g23)的值为_。9已知 a=,b=,c=,d=，则 a,b,c,d 的大小关系是_。三、解答题：10设 logac,logbc 是方程 x2-3x+1=0 的两根，求的值。11设 1）判断 f(x)的单调性，并给出证明；2）若 f(x)的反函数为 f-1(x)，证明 f-1(x)=0 有唯一解；3）解关于 x 的不等式。12光线通过一块玻璃板，其强度要损失 10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为 a，通过 x 块玻璃板以后强度值为 y。1）试写出 y 关于 x 的函数关系式；2）通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的以下。答案：一、选择题 1、B 2、D 3、A 4、B

28、5、B 6、C 1设 3a=4b=6c=k,则 a=log3k,b=log4k,c=log6k,同理，而，即。2当 a1 时，由 知，故 a1；当 0A1时，由知 0A1。4因为，所以只求出 y=|x2-6x+5|的递减区间即可。f(x)的定义域为(-,1)(1,5)(5,+)。作出y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的图象。如图 3 所示，由图象即可知。5由 f(x)是偶函数，得 b=0；又因为 f(x)在(-,0)上是增函数，得 0A1.所以 0A+1，由 f(x)在(0,+)上是减函数，得 f(a+1)f(b+2)6将方程整理得 2x=-x+3，log2x=-x+3，如图 4 所

29、示，可知 a 是指数函数y=2x 的图象与直线 y=-x+3 的交点 A 的横坐标；是对数函数 y=log2x 的图象与直线 y=-x+3 的交点 B 的横坐标。由于函数 y=2x 与函数 y=log2x 互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称，所以 A，B 两点也关于直线 y=x 对称，所以 A(,),B(,)。注意到 A(,)在直线 y=-x+3 上，所以有=-+3，即+=3。二、填空题：7。要使函数的定义域为 R，只需对一切实数 x,kx2+4kx+30 恒成立，其充要条件是 k=0 或 解得 k=0 或，故 k 的取值范围是。要使函数的值域为 R，只需 kx2+4kx+3 能取遍

30、一切正数，则，解得。故 k 的取值范围是。8。1LOG234,.又当 xadc,0，30,a=0,b=0.31,01,c=0,d=1,a=a 而,dc.三、解答题：10依题意得：即，即 。故。11 1）由得-1X所以 f(x)的定义域为(-1,1).设-1X1X20,(1-x1)(1+x2)0,(1+x1)(1-x2)0,所以 所以，又易知，f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2).故 f(x)在(-1,1)上是减函数。2）因为，所以，即 f-1(x)=0 有一个根。假设 f-1(x)=0 还有一个根，则 f-1(x0)=0，即，这与 f(x)在(-1,1)内单调递减相矛盾。故是方程

31、 f-1(x)=0 的唯一解。3）因为，所以。又 f(x)在(-1,1)上单调递减，所以。解得。12 1经过 1 块玻璃板后光线强度为：(1-10%)a=0.9a；经过 2 块玻璃板后光线强度为：(1-10%)0.9a=0.92a；经过 3 块玻璃板后光线强度为：(1-10%)0.92a=0.93a；经过 x 块玻璃板后光线强度为：.所以，y=(xN+).2由题意可知：，两边取常用对数得：，又.故 xmin=11.答：需要 11 块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的以下。检测题 1、在 b=log(a-2)(5-a)中，实数 a 的范围是（）A、a5 或 a2 B、2Aa3 或 3aa4

32、 B、1 D、2 3、若 logab=logba(ab)，则 ab=（）A、1 B、2 D、4 4、若 lg2=a，lg3=b，则 log512 等于（）6、（）7、y=-x+1 的反函数是（）A、y=log5x+1(x0)B、y=log5x+1(x0 且x1)C、y=log5(x+1)(x-1)D、y=log5(x-1)(x1)8、已知 y=loga(2-ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（）A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、2，+）9、若 0A0 且不=1)，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示

33、为 a 的不同大小影响函数图形的情况。在函数 y=ax 中可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时 a 等于一般也不考虑。（2）指数函数的值域为大于 0 的实数集合。（3）函数图形都是下凹的。（4）a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5）可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴

34、的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点 （8）显然指数函数无界。（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的 a 互为倒数是，此函数图像是偶函数。例 1：下列函数在 R 上是增函数还是减函数说明理由.y=4x 因为 41，所以 y=4x 在 R 上是增函数；y=(1/4)x 因为 01/40，且 a1)的 b 次幂等于 N，即 ab=N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b,其中 a 叫做对数的底

35、数，N 叫做真数.由定义知：负数和零没有对数;a0 且 a1,N0;loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以 10 为底的对数叫常用对数，记作 log10N,简记为 lgN；以无理数 e(e=28)为底的对数叫做自然对数，记作 logeN，简记为 lnN.2 对数式与指数式的互化 式子名称 abN 指数式 ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式 logaN=b(底数)(对数)(真数)3 对数的运算性质 如果 a0,a1,M0,N0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlog

36、aM(nR).自然对数到底有什么用 自然对数 当 x 趋近于正无穷或负无穷时，1+(1/x)x 的极限就等于 e，实际上 e 就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于.它用 e 表示 以 e 为底数的对数通常用于 而且 e 还是一个超越数 e 在科学技术中用得非常多，一般不使用以 10 为底数的对数。以 e 为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形

37、式来表达：k=e 其中，和 k 为常数，是极角，是极径，e 是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e 或由 e 经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是 e，其值为，是一个无限循环数。、“自然律”之美 “自然律”是 e 及由 e 经过一定变换和复合的形式。e 是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：(1+1/x)x 当 X 趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 (1+1/x)x X 的 X 次方，当 X 趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当 X 趋向正无穷大的时，上式的极限等于

38、 e=，当 X 趋向负无穷大时候，上式的结果也等于 e=）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看

39、成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、

40、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。e=是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线

41、是 1638 年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗 我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，

42、在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质核酸结构也是螺螺状的。古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“

43、多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清 e=给数学家带来多少方便和成功人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢螺线！有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“

44、自然律”也同样具有这种结构如表的游丝、机械中的弹簧等等。“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载科学之春杂志 1984 年第 4 期，原题为：自然律美学家和艺术家的瑰宝）附：这是小数点后面两千位：e=:18284 5904

45、5 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 8477

46、4 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 4249

47、9 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 9208

48、6 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 9819

49、3 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 4423

50、5 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 0687